中考数学平行四边形提高练习题压轴题训练附答案.doc

中考数学平行四边形提高练习题压轴题训练附答案一、平行四边形1如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE（1）猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度，得到如图2情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （ab，k0），第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE2+DG2的值【答案】（1）BGDE，BG=DE；BGDE，证明见解析；（2）BGDE，证明见解析；（3）16.25【解析】分析：（1）根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定BCGDCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和详解：（1）BGDE，BG=DE；四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，BC=DC，CG=CE，BCD=ECG=90，BCG=DCE，BCGDCE，BG=DE，CBG=CDE，又CBG+BHC=90，CDE+DHG=90，BGDE（2）AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，又BCG=DCE，BCGDCE，CBG=CDE，又CBG+BHC=90，CDE+DHG=90，BGDE（3）连接BE、DG根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，BGDE，BCD=ECG=90BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理2已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明BMC=90；（2）如图2，当b2a时，点M在运动的过程中，是否存在BMC=90，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析;（3）不成立理由如下见解析.【解析】试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得AMB=DMC=45，则可求得BMC=90；（2）由BMC=90，易证得ABMDMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2bx+a2=0，由b2a，a0，b0，即可判定0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2），当b2a，a0，b0，判定方程x2bx+a2=0的根的情况，即可求得答案试题解析：（1）b=2a，点M是AD的中点，AB=AM=MD=DC=a，又在矩形ABCD中，A=D=90，AMB=DMC=45，BMC=90（2）存在，理由：若BMC=90，则AMB+DMC=90，又AMB+ABM=90，ABM=DMC，又A=D=90，ABMDMC，设AM=x，则，整理得：x2bx+a2=0，b2a，a0，b0，=b24a20，方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，当b2a时，存在BMC=90，（3）不成立理由：若BMC=90，由（2）可知x2bx+a2=0，b2a，a0，b0，=b24a20，方程没有实数根，当b2a时，不存在BMC=90，即（2）中的结论不成立考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质3操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将ABP沿AP向右翻折，得到AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，若BAP=30，求AFE的度数；若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时AFD的度数归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论【答案】（1）45；BC的中点，45；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析.【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EGAD，得EGBC，得到AF垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），AFD的度数不会发生变化，作AGDF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出1+2的度数，即为FAG度数，即可求出F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，AFD的度数不会发生变化，理由为：作AGDE于G，得DAG=EAG，设DAG=EAG=，根据FAE为BAE一半求出所求角度数即可试题解析：（1）当点P在线段BC上时，EAP=BAP=30，DAE=90302=30，在ADE中，AD=AE，DAE=30，ADE=AED=（18030）2=75，在AFD中，FAD=30+30=60，ADF=75，AFE=1806075=45；点E为DF的中点时，P也为BC的中点，理由如下：如图1，连接BE交AF于点O，作EGAD，得EGBC，EGAD，DE=EF，EG=AD=1，AB=AE，点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，AF垂直平分线段BE，OB=OE，GEBP，OBP=OEG，OPB=OGE，BOPEOG，BP=EG=1，即P为BC的中点，DAF=90BAF，ADF=45+BAF，AFD=180DAFADF=45；（2）AFD的度数不会发生变化，作AGDF于点G，如图1（a）所示，在ADE中，AD=AE，AGDE，AG平分DAE，即2=DAG，且1=BAP，1+2=90=45，即FAG=45，则AFD=9045=45；（3）如图2所示，AFE的大小不会发生变化，AFE=45，作AGDE于G，得DAG=EAG，设DAG=EAG=，BAE=90+2，FAE=BAE=45+，FAG=FAEEAG=45，在RtAFG中，AFE=9045=45考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.4操作与证明：如图1，把一个含45角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN（1）连接AE，求证：AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论结论1：DM、MN的数量关系是 ；结论2：DM、MN的位置关系是 ；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出ABEADF，得到AE=AF，从而证明出AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MNAE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到DMN=DGE=90从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD，B=ADF=90，CEF是等腰直角三角形，C=90，CE=CF，BCCE=CDCF，即BE=DF，ABEADF，AE=AF，AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；在RtADF中DM是斜边AF的中线，AF=2DM，MN是AEF的中位线，AE=2MN，AE=AF，DM=MN；DMF=DAF+ADM，AM=MD，FMN=FAE，DAF=BAE，ADM=DAF=BAE，DMN=FMN+DMF=DAF+BAE+FAE=BAD=90，DMMN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，点M为AF的中点，点N为EF的中点，MNAE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，B=ADF，CE=CF，又BC+CE=CD+CF，即BE=DF，ABEADF，AE=AF，在RtADF中，点M为AF的中点，DM=AF，DM=MN，ABEADF，1=2，ABDF，1=3，同理可证：2=4，3=4，DM=AM，MAD=5，DGE=5+4=MAD+3=90，MNAE，DMN=DGE=90，DMMN所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质5如图，在等腰中，点E在AC上且不与点A、C重合，在的外部作等腰，使，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF请直接写出线段AF，AE的数量关系；将绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；若，在图的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度 【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】【分析】如图中，结论：，只要证明是等腰直角三角形即可；如图中，结论：，连接EF，DF交BC于K，先证明再证明是等腰直角三角形即可；分两种情形a、如图中，当时，四边形ABFD是菱形、如图中当时，四边形ABFD是菱形分别求解即可.【详解】如图中，结论：理由：四边形ABFD是平行四边形，是等腰直角三角形，故答案为如图中，结论：理由：连接EF，DF交BC于K四边形ABFD是平行四边形，在和中，是等腰直角三角形，如图中，当时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知，如图中当时，四边形ABFD是菱形，易知，综上所述，满足条件的AE的长为或【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型6已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF（1）求证：DOEBOF（2）当DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）当DOE=90时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOEBOF（ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案试题解析：（1）在ABCD中，O为对角线BD的中点，BO=DO，EDB=FBO，在EOD和FOB中，DOEBOF（ASA）；（2）当DOE=90时，四边形BFDE为菱形，理由：DOEBOF，OE=OF，又OB=OD，四边形EBFD是平行四边形，EOD=90，EFBD，四边形BFDE为菱形考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定7如图，四边形ABCD中，BCD=D=90，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）当B=70时，求AEC的度数；（3）当ACE为直角三角形时，求边BC的长.【答案】（1）；（2）AEC=105；（3）边BC的长为2或.【解析】试题分析：（1）过A作AHBC于H，得到四边形ADCH为矩形在BAH中，由勾股定理即可得出结论（2）取CD中点T，连接TE，则TE是梯形中位线，得ETAD，ETCD，AET=B=70又AD=AE=1，得到AED=ADE=DET=35由ET垂直平分CD，得CET=DET=35，即可得到结论 （3）分两种情况讨论：当AEC=90时，易知CBECAECAD，得BCE=30，解ABH即可得到结论当CAE=90时，易知CDABCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论试题解析：解：（1）过A作AHBC于H由D=BCD=90，得四边形ADCH为矩形在BAH中，AB=2，BHA=90，AH=y，HB=， 则（2）取CD中点T，联结TE，则TE是梯形中位线，得ETAD，ETCD，AET=B=70又AD=AE=1，AED=ADE=DET=35由ET垂直平分CD，得CET=DET=35，AEC=7035=105 （3）分两种情况讨论：当AEC=90时，易知CBECAECAD，得BCE=30，则在ABH中，B=60，AHB=90，AB=2，得BH=1，于是BC=2当CAE=90时，易知CDABCA，又，则（舍负）易知ACE90，所以边BC的长为综上所述：边BC的长为2或点睛：本题是四边形综合题考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法8已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P为点D的对应点，再将纸片还原。（I）若点P落在矩形OBCD的边OB上，如图，当点E与点O重合时，求点F的坐标；如图，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若，求点F的坐标：（）若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD，边DC上，当OP取最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）。 【答案】（I）点F的坐标为；点F的坐标为；（II）【解析】【分析】（I）根据折叠的性质可得,再由矩形的性质，即可求出F的坐标;由折叠的性质及矩形的特点，易得，得到，再加上平行，可以得到四边形DEPF是平行四边形，在由对角线垂直，得出 是菱形，设菱形的边长为x，在中，由勾股定理建立方程即可求解;()当O,P,F点共线时OP的长度最短.【详解】解：（I）折痕为EF,点P为点D的对应点四边形OBCD是矩形，点F的坐标为折痕为EF，点P为点D的对应点.四边形OBCD是矩形，；四边形DEPF是平行四边形.，是菱形. 设菱形的边长为x，则，在中，由勾股定理得 解得 点F的坐标为 （）【点睛】此题考查了几何折叠问题、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，关键是根据折叠的性质进行解答，属于中考压轴题9在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EAF=CEF=45.(1)将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG(如图)，求证：AEGAEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，EAF=GAE=45，故可证AEGAEF；（2）将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，连结GM由（1）知AEGAEF，则EG=EF再由BME、DNF、CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明GME=90，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，根据旋转的性质可以得到ADFABG，则DF=BG，再证明AEGAEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF试题解析：（1）ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，AF=AG，FAG=90，EAF=45，GAE=45，在AGE与AFE中，AGEAFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，连结GM则ADFABG，DF=BG由（1）知AEGAEF，EG=EFCEF=45，BME、DNF、CEF均为等腰直角三角形，CE=CF，BE=BM，NF=DF，aBE=aDF，BE=DF，BE=BM=DF=BG，BMG=45，GME=45+45=90，EG2=ME2+MG2，EG=EF，MG=BM=DF=NF，EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到AGH，连结HM，HE由（1）知AEHAEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BMGM）2=EH2又EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BEGH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题10已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点；再证明DAGDCG，得出AG=CG；再证出DMGFNG，得到MG=NG；再证明AMGENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG（3）结论依然成立【详解】（1）CG=EG理由如下：四边形ABCD是正方形，DCF=90在RtFCD中，G为DF的中点，CG=FD，同理在RtDEF中，EG=FD，CG=EG（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG证法一：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中，AD=CD，ADG=CDG，DG=DG，DAGDCG（SAS），AG=CG；在DMG与FNG中，DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG，DMGFNG（ASA），MG=NGEAM=AEN=AMN=90，四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN在AMG与ENG中，AM=EN，AMG=ENG，MG=NG，AMGENG（SAS），AG=EG，EG=CG证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC在DCG与FMG中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCGFMG，MF=CD，FMG=DCG，MFCDAB，EFMF在RtMFE与RtCBE中，MF=CB，MFE=EBC=90，EF=BE，MFECBEMEF=CEB，MEC=MEF+FEC=CEB+CEF=90，MEC为直角三角形MG=CG，EG=MC，EG=CG（3）（1）中的结论仍然成立理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N由于G为FD中点，易证CDGMFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证EFM=EBC，则EFMEBC，FEM=BEC，EM=ECFEC+BEC=90，FEC+FEM=90，即MEC=90，MEC是等腰直角三角形G为CM中点，EG=CG，EGCG【点睛】本题是四边形的综合题（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答11如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BFAE，垂足为G交AD于F（1）求证：AFDE；（2）连接DG，若DG平分EGF，如图（2），求证：点E是CD中点；（3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CGCD【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CGCD，见解析【解析】【分析】（1）证明BAFADE（ASA）即可解决问题（2）过点D作DMGF，DNGE，垂足分别为点M，N想办法证明AFDF，即可解决问题（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DECD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BCCP即可【详解】（1）证明：如图1中，在正方形ABCD中，ABAD，BADD90o，2+390又BFAE，AGB901+290，13在BAF与ADE中，1=3 BA=AD BAF=D，BAFADE（ASA）AFDE（2）证明：过点D作DMGF，DNGE，垂足分别为点M，N由（1）得13，BGAAND90，ABADBAGADN（AAS）AGDN， 又DG平分EGF，DMGF，DNGE，DMDN，DMAG，又AFGDFM，AGFDMFAFGDFM（AAS），AFDFDEADCD，即点E是CD的中点（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DECD，ADEECP90，DEACEP，ADEPCE（ASA）AEPE，又CEAB，BCPC，在RtBGP中，BCPC，CGBPBC，CGCD【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题12如图，四边形是知形，点是线段上一动点(不与重合)，点是线段延长线上一动点，连接交于点.设，已知与之间的函数关系如图所示.（1）求图中与的函数表达式;（2）求证:;（3）是否存在的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出的值;如果不存在，说明理由【答案】（1）y2x+4（0x2）；（2）见解析；（3）存在，x或或【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式；（2）证明CDEADF，得ADFCDE，可得结论；（3）分三种情况：若DEDG，则DGEDEG，若DEEG，如图，作EHCD，交AD于H，若DGEG，则GDEGED，分别列方程计算可得结论【详解】（1）设ykx+b，由图象得：当x1时，y2，当x0时，y4，代入得：，得，y2x+4（0x2）；（2）BEx，BC2CE2x，四边形ABCD是矩形，CDAF90，CDEADF，ADFCDE，ADF+EDGCDE+EDG90，DEDF；（3）假设存在x的值，使得DEG是等腰三角形，若DEDG，则DGEDEG，四边形ABCD是矩形，ADBC，B90，DGEGEB，DEGBEG，在DEF和BEF中，DEFBEF（AAS），DEBEx，CE2x，在RtCDE中，由勾股定理得：1+（2x）2x2，x；若DEEG，如图，作EHCD，交AD于H，ADBC，EHCD，四边形CDHE是平行四边形，C90，四边形CDHE是矩形，EHCD1，DHCE2x，EHDG，HGDH2x，AG2x2，EHCD，DCAB，EHAF，EHGFAG，（舍），若DGEG，则GDEGED，ADBC，GDEDEC，GEDDEC，CEDF90，CDEDFE，CDEADF，2x，x，综上，x或或【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键13菱形ABCD中、BAD120，点O为射线CA 上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F（1）如图，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；（2）如图，点O在CA的延长线上，且OAAC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点O在线段AC上，若AB6，BO2，当CF1时，请直接写出BE的长【答案】（1）CA=CE+CF（2）CF-CE=AC（3）BE的值为3或5或1【解析】【分析】（1）如图中，结论：CA=CE+CF只要证明ADFACE（SAS）即可解决问题；（2）结论：CF-CE=AC如图中，如图作OGAD交CF于G，则OGC是等边三角形只要证明FOGEOC（ASA）即可解决问题；（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题.【详解】（1）如图中，结论：CA=CE+CF理由：四边形ABCD是菱形，BAD=120AB=AD=DC=BC，BAC=DAC=60ABC，ACD都是等边三角形，DAC=EAF=60，DAF=CAE，CA=AD，D=ACE=60，ADFACE（SAS），DF=CE，CE+CF=CF+DF=CD=AC，CA=CE+CF（2）结论：CF-CE=AC理由：如图中，如图作OGAD交CF于G，则OGC是等边三角形GOC=FOE=60，FOG=EOC，OG=OC，OGF=ACE=120，FOGEOC（ASA），CE=FG，OC=OG，CA=CD，OA=DG，CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+AC=AC，（3）作BHAC于HAB=6，AH=CH=3，BH=3，如图-1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时OB=2，OH=1，OC=3+1=4，由（1）可知：CO=CE+CF，OC=4，CF=1，CE=3，BE=6-3=3如图-2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时由（2）可知：CE-CF=OC，CE=4+1=5，BE=1如图-3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时同法可证：OC=CE+CF，OC=CH-OH=3-1=2，CF=1，CE=1，BE=6-1=5如图-4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时同法可知：CE-CF=OC，CE=2+1=3，BE=3，综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题14已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PEPB ，PE交射线DC于点E，过点E作EFAC，垂足为点F（1）当点E落在线段CD上时（如图），求证：PB=PE；在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由【答案】（1）证明见解析；点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为；（2）画图见解析，成立 ；（3）能，1.【解析】分析：（1）过点P作PGBC于G，过点P作PHDC于H，如图1要证PB=PE，只需证到PGBPHE即可；连接BD，如图2易证BOPPFE，则有BO=PF，只需求出BO的长即可（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立（3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长详解：（1）证明：过点P作PGBC于G，过点P作PHDC于H，如图1四边形ABCD是正方形，PGBC，PHDC，GPC=ACB=ACD=HPC=45PG=PH，GPH=PGB=PHE=90PEPB即BPE=90，BPG=90GPE=EPH在PGB和PHE中，PGBPHE（ASA），PB=PE连接BD，如图2四边形ABCD是正方形，BOP=90PEPB即BPE=90，PBO=90BPO=EPFEFPC即PFE=90，BOP=PFE在BOP和PFE中， BOPPFE（AAS），BO=PF四边形ABCD是正方形，OB=OC，BOC=90，BC=OBBC=1，OB=，PF=点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示同理可得：PB=PE，PF=（3）若点E在线段DC上，如图1BPE=BCE=90，PBC+PEC=180PBC90，PEC90若PEC为等腰三角形，则EP=ECEPC=ECP=45，PEC=90，与PEC90矛盾，当点E在线段