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1.3 古典概型与几何概型 1.3.1 排列与组合公式 1.排列 从n个不同元素中任取r个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列，此种排列总数为 若r=n，则称为全排列,全排列总数为 An=n!第第1章章 概率论基础概率论基础第第1页页第第1页页 2.重复排列 从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取出下一个，如此连续取r次所得排列称为重复排列，此种重复排列数共有nr个，这里r允许大于n1.3.1 排列与组合公式排列与组合公式第第2页页第第2页页 3.组合 从n个不同元素中任取r个元素并成一组（不考虑元素先后出现次序），称为一个组合，此种组合总数为易知 ，排列组合公式在古典概型概率计算中经常使用1.3.1 排列与组合公式排列与组合公式第第3页页第第3页页 1.3.2 1.3.2 古典概型古典概型 含有下列两个特点试验称为含有下列两个特点试验称为古典概型古典概型：(1)有限性：试验样本空间只含有限个样本点；有限性：试验样本空间只含有限个样本点；(2)等等也也许许性性：试试验验中中每每个个基基本本事事件件发发生生也也许许性性相同相同 对对于于古古典典概概型型，若若样样本本空空间间中中共共有有n个个样样本本点点，事件事件A包括包括k个样本点，则事件个样本点，则事件A概率为概率为 容易验证，由上式拟定概率满足公理化定义容易验证，由上式拟定概率满足公理化定义1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型第第4页页第第4页页【例例1.5】（摸摸球球问问题题）箱箱中中盛盛有有 个个白白球球和和 个个黑黑球球，从从其其中中任任意意地地接接连连取取出出k+1个个球球(k+1 +)，假假如如每每个个球球被被取取出出后后不不再再放放回回，试试求求最最后后取取出出球球是是白球概率白球概率1.3.2 古典概型古典概型第第5页页第第5页页 解解：由于注意了球顺序，故应考虑排列由于注意了球顺序，故应考虑排列 接连不放回地取接连不放回地取k+1个球所有结果共有个球所有结果共有 个，个，即样本空间中共有即样本空间中共有 个样本点个样本点 最后取出白球能够是最后取出白球能够是 个白球中任一个，个白球中任一个，共有共有 种取法，种取法，其余其余k个能够是其余个能够是其余+1个任意个任意k个，个，共有共有 种取法，种取法，因因而而事事件件A=“取取出出k+1球球中中最最后后一一个个是是白白球球”中中共共含有含有 个样本点，于是个样本点，于是 与与k无关！无关！1.3.2 古典概型古典概型第第6页页第第6页页【例例1.6】（分分房房问问题题）有有n个个人人，每每个个人人都都以以同同样样概概率率被被分分派派在在N（n N）间间房房中中每每一一间间中中，试试求求下列各事件概率：下列各事件概率：(1)A=“某指定某指定n间房中各有一人间房中各有一人”；(2)B=“恰有恰有n间房，其中各有一人间房，其中各有一人”；(3)C=“某指定房中恰有某指定房中恰有m(m n)人人”1.3.2 古典概型古典概型第第7页页第第7页页解解：由由于于每每个个人人都都能能够够分分派派到到N间间房房中中任任一一间间，因因此此n个个人人分分派派房房间间方方式式共共有有Nn种种，即即样样本本空空间间中中所所有样本点个数为有样本点个数为Nn (1)A=“某指定某指定n间房中各有一人间房中各有一人”，“某指定某指定n间房中各有一人间房中各有一人”分派办法分派办法共有共有n!种，种，因而事件因而事件A中含有中含有n!个样本点，个样本点，于是于是1.3.2 古典概型古典概型第第8页页第第8页页(2)B=“恰有恰有n间房，其中各有一人间房，其中各有一人”这这n间房可自间房可自N间中任意选出，间中任意选出，共有种选法，共有种选法，因而事件因而事件B中含有中含有 个样本点，个样本点，于是于是1.3.2 古典概型古典概型第第9页页第第9页页(3)C=“某指定房中恰有某指定房中恰有m(m n)人人”事件事件C中中m个人可自个人可自n个人中任意选出个人中任意选出,共有种选法，共有种选法，其余其余n m个人能够任意分派在其余个人能够任意分派在其余N 1间房里，间房里，共有共有 个分派法，个分派法，因而事件因而事件C中有中有 个样本点，个样本点，于是于是1.3.2 古典概型古典概型第第10页页第第10页页 1.3.3 1.3.3 几何概型几何概型 含有下列两个特点试验称为几何概型：含有下列两个特点试验称为几何概型：(1)随机试验样本空间为某可度量区域随机试验样本空间为某可度量区域 ；(2)中中任任一一区区域域出出现现也也许许性性大大小小与与该该区区域域几几何何度量成正比而与该区域位置和形状无关度量成正比而与该区域位置和形状无关 1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型第第11页页第第11页页对对于于几几何何概概型型，若若事事件件A是是 中中某某一一区区域域，且且A能够度量，则事件能够度量，则事件A概率为概率为其其中中，假假如如 是是一一维维、二二维维或或三三维维区区域域，则则 几几何度量分别是长度、面积和体积何度量分别是长度、面积和体积1.3.3 几何概型几何概型第第12页页第第12页页【例例1.8】（约约会会问问题题）甲甲乙乙两两人人商商定定在在下下午午6点点到到7点点之之间间在在某某处处见见面面，并并商商定定先先到到者者应应等等待待另另一一人人20分钟，过时即可拜别，求两人能见面概率分钟，过时即可拜别，求两人能见面概率1.3.3 几何概型几何概型第第13页页第第13页页解解：以：以x和和y分别表示甲乙两人到达分别表示甲乙两人到达约会地点时间（以分钟为单位），约会地点时间（以分钟为单位），在平面上建立在平面上建立xOy直角坐标系，直角坐标系，由由于于甲甲乙乙都都是是在在0到到60分分钟钟内内等等也也许许到到达达，因因此此这这是一个几何概型问题是一个几何概型问题 样本空间样本空间 =(x，y)：0 x，y 60 事件事件A=“甲乙将见面甲乙将见面”=(x，y)：|x y|20因此因此 1.3.3 几何概型几何概型第第14页页第第14页页【例例1.9】（蒲蒲丰丰投投针针问问题题）平平面面上上画画有有间间隔隔为为d(d 0)等等距距平平行行线线，向向平平面面任任意意投投掷掷一一枚枚长长为为l(l d)针，求针与任一平行线相交概率针，求针与任一平行线相交概率解解：以以x表表示示针针中中点点与与最最近近一一条条平平行行线线距距离离，又又以以 表示针与直线间交角表示针与直线间交角易知样本空间易知样本空间 满足满足由这两式能够拟定由这两式能够拟定xOy面上面上一个矩形一个矩形，其其面积为面积为 1.3.3 几何概型几何概型第第15页页第第15页页事件事件A=“针与平行线相交针与平行线相交”当且仅当当且仅当因此因此1.3.3 几何概型几何概型第第16页页第第16页页 蒲丰投针试验应用及意义：蒲丰投针试验应用及意义：当当投投针针试试验验次次数数n很很大大时时，测测出出针针与与平平行行线线相相交交次数次数m，依据频率稳定性，依据频率稳定性，频率值可作为频率值可作为P(A)近似值带入上式，近似值带入上式，那么那么利用上式能够计算圆周率利用上式能够计算圆周率 近似值近似值1.3.3 几何概型几何概型第第17页页第第17页页课堂思考课堂思考 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行次接待都是在周二和周四进行,问是否问是否能够推断接待时间是有要求能够推断接待时间是有要求.假设接待站接待时间没有假设接待站接待时间没有要求要求,且各来访者在一周任一天且各来访者在一周任一天中去接待站是等也许中去接待站是等也许.解解 一周内接待一周内接待 12 次来访共有次来访共有 12 次接待都是在周二和周四进行共有次接待都是在周二和周四进行共有故故12 次接待都是在周二和周四进行概率为次接待都是在周二和周四进行概率为实际应用中，认为小概率事件在一次试验中几乎实际应用中，认为小概率事件在一次试验中几乎是不也许发生是不也许发生,从而可知接待时间是有要求从而可知接待时间是有要求.第第18页页第第18页页兴趣拓展兴趣拓展生日问题生日问题 (1)n个人个人生日生日各不相同概率各不相同概率(n365).365).解答下面问题并利用计算机进行计算解答下面问题并利用计算机进行计算:第第19页页第第19页页计算机计算结果计算机计算结果:第第20页页第第20页页
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