曲线的标准展开市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

1.6 曲线在一点原则展开曲线在一点原则展开第1页第1页一曲线局部规范形式按照Taylor展开式基本思想，曲线位置向量函数在所指定任意点邻近都能够用适当次数多项式向量函数来迫近对于 C3 弧长 s 参数化曲线 C:r r(s)，任取其上一点 P0:r(s0)，不妨设 s0 0，则有Peano余项形式Taylor展开式 其中余项 o(s3)是 s3 高阶无穷小向量若 C 无逗留点，则上式可用Frenet标架表出事实上，记 r(0);T(0),N(0),B(0)r0;T0,N0,B0,(0)0,(0)0，则易知有第2页第2页一曲线局部规范形式对于 C3 弧长 s 参数化曲线 C:r r(s)，任取其上一点 P0:r(s0)，不妨设 s0 0，则有Taylor展开式若 C 无逗留点，则上式可用Frenet标架表出事实上，记 r(0);T(0),N(0),B(0)r0;T0,N0,B0,(0)0,(0)0，则易知有(5.2)r(0)T0,r(0)0N0，r(0)(0)N0 00T0 0B0 此式阐明：通过对线性无关向量组 r(s),r(s),r(s)进行规范Schmidt正交化，所得到原则单位正交基事实上就是Frenet标架基向量组 T(s),N(s),B(s)第3页第3页一曲线局部规范形式对于 C3 弧长 s 参数化曲线 C:r r(s)，任取其上一点 P0:r(s0)，不妨设 s0 0，则有Taylor展开式若 C 无逗留点，则(5.2)r(0)T0,r(0)0N0，r(0)(0)N0 00T0 0B0 取 r0;T0,N0,B0 为 E3 一个新单位正交右手标架，所建立新直角坐标系坐标识为(x*,y*,z*)，则此时曲线 C 参数方程转化为r*r*(s)(x*(s),y*(s),z*(s)x*(s)T0+y*(s)N0+z*(s)B0 其中 r*(s)r(s)r0 第4页第4页一曲线局部规范形式由此，将(5.2)式代入(5.1)式，C 分量形式即为(5.2)r(0)T0,r(0)0N0,r(0)(0)N0 00T0 0B0 r*r*(s)r(s)r0 (x*(s),y*(s),z*(s)x*(s)T0+y*(s)N0+z*(s)B0 第5页第5页一曲线局部规范形式 其中余项 ox*(s3),oy*(s3),oz*(s3)分别是 s3 高阶无穷小.此式称为曲线 C 在点 P0 处原则展开原则展开或局部规范形式局部规范形式，或称为Bouquet公式公式对于挠曲线，其局部规范形式主要部分拟定了一条三次多项式曲线曲线 C 在 P0 点局部近似曲线近似曲线：C*:r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)第6页第6页二曲线局部近似曲线挠曲线 C 在 P0 点局部近似曲线近似曲线 C*:r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)直接计算表明，其位置向量导数在 P0 点与曲线 C 含有相同取值进一步，曲线 C*与曲线 C 在 P0 点含有相同Frenet标架以及相同曲率值和挠率值（习题）；这阐明它们几何行为在 P0 点附近也是很靠近 在 P0 点局部近似近似注意：曲线 C*与曲线 C 弧长参数并不一定一致（习题），只是上述各取值相同之处一定包括着所考虑点 P0 而已第7页第7页二曲线局部近似曲线但无论如何，从迫近角度去看，近似曲线局部形状已经足以反应出原有挠曲线局部形状为观测近似曲线 C*在 P0 点附近图形，能够通过观测其向Frenet标架坐标面上投影曲线图形而进行，从而得到其基本特性挠曲线 C 在 P0 点局部近似曲线近似曲线 C*:r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)曲线 C*与曲线 C 弧长参数并不一定一致第8页第8页曲线局部近似图形向密切平面上投影曲线为抛物线C*:r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)为观测近似曲线 C*在 P0 点附近图形，能够通过观测其向Frenet标架坐标面上投影曲线图形而进行，从而得到其基本特性第9页第9页曲线局部近似图形向从切平面投影曲线为立方抛物线向法平面投影曲线为半立方抛物线C*:r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)第10页第10页曲线局部近似图形后面两者平面图形走向显然与挠率符号相关；其立体投影图形也能够仿照图2-8做出（自己练习）类似于图2-7所表示局部情形，当 0 0 时，近似曲线和原曲线都是从密切平面“下方”“右旋上升”穿过法平面和密切平面而去C*:r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)第11页第11页图2-9示意了当 0 0 时，近似曲线和原曲线都是从密切平面“下方”“右旋上升”穿过法平面和密切平面而去第12页第12页三曲线切触为了比较两条曲线在某个局部靠近程度，通常为了以便而将所考虑一对相应点视为两条曲线公共点假如还想知道这两条曲线位置差别程度，那么，引进所谓切触及其阶数概念将是以便设相交于点 P0 曲线 C:r(s)和曲线 C*:r*(s)同时以 s 为弧长参数，并且不妨设 OP0 r(s0)r*(s0)，则两条曲线上点相应关系要求为取相同参数值，几何意义即为相应点到公共交点 P0 弧段含有相同有向长度此时，相应点之间在 E3 中距离若为它们到交点 P0 弧段长度高阶无穷小，则称两条曲线 C 和 C*在点 P0 切触切触.第13页第13页三曲线切触比较两条曲线在某个局部靠近程度设 C:r(s)和 C*:r*(s)同时以 s 为弧长参数，并且 OP0 r(s0)r*(s0)，点相应关系要求为取相同参数值；相应点之间在 E3 中距离若为它们到交点 P0 弧段长度高阶无穷小，即 则称两条曲线 C 和 C*在点 P0 切触切触.若正整数 n 使 则称两条曲线 C 和 C*在点 P0 有 n 阶阶切切触触（或n 阶阶密切密切）第14页第14页三曲线切触(5.3)式和(5.4)式阐明 挠曲线及其近似曲线有至少二阶切触从(5.1)式和(5.2)式还能够看到，相切两条曲线若在切点含有相同非零曲率值和相同有向密切平面，则它们在切点有至少二阶切触第15页第15页三曲线切触(5.3)式和(5.4)式阐明挠曲线及其近似曲线有至少二阶切触从(5.1)式和(5.2)式还能够看到，相切两条曲线若在切点含有相同非零曲率值和相同有向密切平面，则它们在切点有至少二阶切触由此，密切平面上存在以曲率半径为半径圆周与原曲线有至少二阶切触；称该圆周为原曲线在切触点曲率圆周曲率圆周，称曲率圆周圆心为原曲线曲率中心曲率中心曲线与曲面靠近程度 也能够用同样办法进行考察第16页第16页