湖北省荆州市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

2019年湖北省荆州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中最大的是（　　）
A． B．π C． D．|﹣4|
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x﹣x＝ B．a3•（﹣a2）＝﹣a6
C．（﹣1）（+1）＝4 D．﹣（a2）2＝a4
3．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
4．（3分）某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．该几何体是长方体
B．该几何体的高是3
C．底面有一边的长是1
D．该几何体的表面积为18平方单位
5．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA＝OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（　　）
A．（，1） B．（，﹣1） C．（2，1） D．（0，2）
8．（3分）在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为1.65米，而甲、乙、丙三位同学的平均身高为1.63米，下列说法一定正确的是（　　）
A．四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高
B．丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高
C．丁同学的身高为1.71米
D．四位同学身高的众数一定是1.65
9．（3分）已知关于x的分式方程﹣2＝的解为正数，则k的取值范围为（　　）
A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1
10．（3分）如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l：l＝1：3（l表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（　　）

A．1：3 B．1：π C．1：4 D．2：9
二、填空题（本大题共6小题每小题3分，共18分）
11．（3分）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是　 　．
12．（3分）如图①，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为　 　cm2．

13．（3分）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，则（x）＝n．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5x﹣1）＝6，则实数x的取值范围是　 　．
14．（3分）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为　 　海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50，≈2.24）

15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝10，BD＝6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为　 　．

16．（3分）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y＝k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过B点的双曲线y＝的一支交其中两个正方形的边于C，D两点，连接OC，OD，CD，则S△OCD＝　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）已知：a＝（﹣1）（+1）+|1﹣|，b＝﹣2sin45°+（）﹣1，求b﹣a的算术平方根．
18．（8分）先化简（﹣1）÷，然后从﹣2≤a＜2中选出一个合适的整数作为a的值代入求值．
19．（8分）如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），连接AF，DE（如图②）．
（1）在图②中，∠AOF＝　 　；（用含α的式子表示）
（2）在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．

20．（8分）体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：
组别
个数段
频数
频率
1
0≤x＜10
5
0.1
2
10≤x＜20
21
0.42
3
20≤x＜30
a

4
30≤x＜40

b
（1）表中的数a＝　 　，b＝　 　；
（2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；
（3）排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率．

21．（8分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）当点E是的中点时，
①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．

23．（10分）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：

甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为　 　辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

2019年湖北省荆州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：∵＜π＜＜|﹣4|＝4，
∴所给的几个数中，最大的数是|﹣4|．
故选：D．
2．【解答】解：A、x﹣x＝x，故本选项错误；
B、a3•（﹣a2）＝﹣a5，故本选项错误；
C、（﹣1）（+1）＝5﹣1＝4，故本选项正确；
D、﹣（a2）2＝﹣a4，故本选项错误；
故选：C．
3．【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠2+∠ABC+∠1+∠BAC＝180°，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣30°﹣90°﹣40°＝20°，
故选：B．
4．【解答】解：A、该几何体是长方体，正确；
B、该几何体的高为3，正确；
C、底面有一边的长是1，正确；
D、该几何体的表面积为：2×（1×2+2×3+1×3）＝22平方单位，故错误，
故选：D．
5．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AE＝CE，
而OA＝OC，
∴OE为∠AOC的平分线．
故选：C．
6．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，
∴k＞0，b≤0，
∴△＝k2﹣4b＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．

∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°
∴∠AOE＝∠A′，
∵OA＝OA′，
∴△AOE≌△OA′F（AAS），
∴OF＝AE＝，A′F＝OE＝1，
∴A′（，1）．
故选：A．
8．【解答】解：A、四位同学身高的中位数可能是某两个同学身高的平均数，故错误；
B、丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高，错误；
C、丁同学的身高为1.65×4﹣1.63×3＝1.71米，正确；
D．四位同学身高的众数一定是1.65，错误．
故选：C．
9．【解答】解：∵＝2，
∴＝2，
∴x＝2+k，
∵该分式方程有解，
∴2+k≠1，
∴k≠﹣1，
∵x＞0，
∴2+k＞0，
∴k＞﹣2，
∴k＞﹣2且k≠﹣1，
故选：B．
10．【解答】解：连接OD交OC于M．

由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°，
∴∠OAM＝30°，
∴∠AOM＝60°，
∵且：＝1：3，
∴∠AOB＝80°
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
＝2πr，
∴r：i＝2：9．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题每小题3分，共18分）
11．【解答】解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，
即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，
故答案为：7．
12．【解答】解：∵已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，
∴GF＝GE＝EF＝＝2，
过G作GH⊥EF于H，
∴GH＝GF＝，
∴图②中阴影部分的面积＝×2×＝2cm2．
故答案为：2．

13．【解答】解：依题意得：6﹣0.5≤0.5x﹣1＜6+0.5
解得13≤x＜15．
故答案是：13≤x＜15．
14．【解答】解：由题意得，MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，
∴BN＝MN＝20，
如图，过A作AE⊥BN于E，
则四边形AMNE是矩形，
∴AE＝MN＝20，EN＝AM，
∵AM＝MN•tan26.5°＝20×0.50＝10，
∴BE＝20﹣10＝10，
∴AB＝＝10≈22.4海里．
故答案为：22.4．

15．【解答】解：∵过B点的切线交AC的延长线于点D，
∴AB⊥BD，
∴AB＝＝＝8，
当∠AEP＝90°时，∵AE＝EC，
∴EP经过圆心O，
∴AP＝AO＝4；
当∠APE＝90°时，则EP∥BD，
∴＝，
∵DB2＝CD•AD，
∴CD＝＝＝3.6，
∴AC＝10﹣3.6＝6.4，
∴AE＝3.2，
∴＝，
∴AP＝2.56．
综上AP的长为4和2.56．
故答案为4和2.56．
16．【解答】解：设A（4，t），
∵直线y＝k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，
∴×4×t＝4+1，解得t＝，
∴A（4，），
把A（4，）代入直线y＝k1x得4k1＝，解得k1＝，
∴直线解析式为y＝x，
当x＝2时，y＝x＝，则B（2，），
∵双曲线y＝经过点B，
∴k2＝2×＝，
∴双曲线的解析式为y＝＝，
当y＝2时，＝2，解得x＝，则C（，2）；
当x＝3时，y＝＝，则D（3，），
∴S△OCD＝3×2﹣×3×﹣×2×﹣（2﹣）×（3﹣）＝．
故答案为．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．【解答】解：∵a＝（﹣1）（+1）+|1﹣|＝3﹣1+﹣1＝1+，
b＝﹣2sin45°+（）﹣1＝2﹣+2＝+2．
∴b﹣a＝+2﹣1﹣＝1．
∴＝＝1．
18．【解答】解：（﹣1）÷
＝
＝
＝，
当a＝﹣2时，原式＝＝﹣1．
19．【解答】解：（1）如图2，
∵△OEF绕点O逆时针旋转α角，
∴∠DOF＝∠COE＝α，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣α；
故答案为90°﹣α；
（2）AF＝DE．
理由如下：
如图②，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD，
∵∠DOF＝∠COE＝α，
∴∠AOF＝∠DOE，
∵△OEF为等腰直角三角形，
∴OF＝OE，
在△AOF和△DOE中
，
∴△AOF≌△DOE（SAS），
∴AF＝DE．
20．【解答】解（1）抽查了九年级学生数：5÷0.1＝50（人），
20≤x＜30的人数：50×＝20（人），即a＝20，
30≤x＜40的人数：50﹣5﹣21﹣20＝4（人），
b＝＝0.08，
故答案为20，0.08；
（2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450×（1﹣0.1）＝405（人），
答：该九年级排球垫球测试结果小于10的人数为405人；
（3）列表如下

∴P（选出的2人为一个男生一个女生的概率）＝＝．
21．【解答】解：∵y＝x2﹣4，
∴其顶点坐标为（0，﹣4），
∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，
∴（0，﹣4）在一次函数y＝﹣x+p的图象上，
∴﹣4＝0+p．
∴p＝﹣4，
∴一次函数为：y＝﹣x﹣4，
∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），
∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，
∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：．

（2）设函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝n，
∴，
∵函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，
∴，
解得，n＝﹣3，
∴函数y＝x2+2x+n为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数，
∴﹣4＝﹣m﹣3，
∴m＝1．
22．【解答】解：（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵PF⊥AB，
∴∠BPD＝90°，
∴∠OBC+∠BDP＝90°，
∵FC＝FD
∴∠FCD＝∠FDC
∵∠FDC＝∠BDP
∴∠OCB+∠FCD＝90°
∴OC⊥FC
∴FC是⊙O的切线．
（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，
①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，
∵点E是的中点，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∵OB＝OE＝OC
∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB＝BE＝CE＝OC
∴四边形BOCE是菱形；
②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．
∵＝tan∠ABC＝，设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），
由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，
∴AC＝12，BC＝16，
∵点E是的中点，
∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，
∴OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，
由勾股定理得OP＝＝＝6，
∴BP＝OB﹣OP＝10﹣6＝4，
∵＝tan∠ABC＝，即DP＝BP＝＝3
∴DE＝PE﹣DP＝8﹣3＝5．

23．【解答】解：（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，
依题意，得：，
解得：．
答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．
（2）∵（234+16）÷35＝7（辆）……5（人），16÷2＝8（辆），
∴租车总辆数为8辆．
故答案为：8．
（3）设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆，
依题意，得：，
解得：2≤m≤5．
∵m为正整数，
∴m＝2，3，4，5，
∴共有4种租车方案．
设租车总费用为w元，则w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w的值随m值的增大而增大，
∴当m＝2时，w取得最小值，最小值为2720．
∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．
24．【解答】解：（1）∵平行四边形OABC中，A（6，0），C（4，3）
∴BC＝OA＝6，BC∥x轴
∴xB＝xC+6＝10，yB＝yC＝3，即B（10，3）
设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x﹣

（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P
∵C（4，3）
∴OC＝
∵BC∥OA
∴∠OEC＝∠AOE
∵OE平分∠AOC
∴∠AOE＝∠COE
∴∠OEC＝∠COE
∴CE＝OC＝5
∴xE＝xC+5＝9，即E（9，3）
∴直线OE解析式为y＝x
∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x＝﹣7
∴F（7，）
∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上
∴E'（9，﹣3），PE＝PE'
∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小
设直线E'F解析式为y＝kx+h
∴ 解得：
∴直线E'F：y＝﹣x+21
当﹣x+21＝0时，解得：x＝
∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（，0）．

（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．
设AH与OE相交于点G（t，t），如图2
∵AH⊥OE于点G，A（6，0）
∴∠AGO＝90°
∴AG2+OG2＝OA2
∴（6﹣t）2+（t）2+t2+（t）2＝62
∴解得：t1＝0（舍去），t2＝
∴G（，）
设直线AG解析式为y＝dx+e
∴ 解得：
∴直线AG：y＝﹣3x+18
当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5
∴H（5，3）
∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称
①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2
则HE∥MN，MN＝HE＝4
∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上
∴xM＝7+4或7﹣4，即xM＝11或3
当x＝3时，yM＝﹣×9+×9﹣＝
∴M（3，）或（11，）
②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3
则HE、MN互相平分
∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上
∴点M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点
∴yM＝﹣×49+×7﹣＝4
∴M（7，4）
综上所述，点M坐标为（3，）、（11，）或（7，4）．

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