2015年福建省莆田市中考数学试卷（含解析版）.doc

2015年福建省莆田市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1（4分）（2015莆田）2的相反数是（）AB2CD22（4分）（2015莆田）下列运算正确的是（）A（a2）3=a5Ba2+a4=a6Ca3a3=1D（a3a）a=a23（4分）（2015莆田）右边几何体的俯视图是（） A B C D 4（4分）（2015莆田）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） A 等边三角形 B 平行四边形 C 矩形 D 正五边形5（4分）（2015莆田）不等式组的解集在数轴上可表示为（）ABCD6（4分）（2015莆田）如图，AEDF，AE=DF，要使EACFDB，需要添加下列选项中的（）AAB=CDBEC=BFCA=DDAB=BC7（4分）（2015莆田）在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是（）A平均数是5B中位数是6C众数是4D方差是3.28（4分）（2015莆田）如图，在O中，=，AOB=50，则ADC的度数是（）A50B40C30D259（4分）（2015莆田）命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题则在下列选项中，可以作为反例的是（）Ab=3Bb=2Cb=1Db=210（4分）（2015莆田）数学兴趣小组开展以下折纸活动：（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN观察，探究可以得到ABM的度数是（）A25B30C36D45二、细心填一填（共6小题，每小题4分，满分24分）11（4分）（2015莆田）要了解一批炮弹的杀伤力情况，适宜采取（选填“全面调查”或“抽样调查”）12（4分）（2015莆田）八边形的外角和是13（4分）（2015莆田）中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为14（4分）（2015莆田）用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm215（4分）（2015莆田）如图，AB切O于点B，OA=2，BAO=60，弦BCOA，则的长为（结果保留）16（4分）（2015莆田）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是三、耐心做一做（共10小题，满分86分）17（7分）（2015莆田）计算：|2|+（1）018（7分）（2015莆田）解分式方程：=19（8分）（2015莆田）先化简，再求值：，其中a=1+，b=1+20（10分）（2015莆田）为建设”书香校园“，某校开展读书月活动，现随机抽取了一部分学生的日人均阅读时间x（单位：小时）进行统计，统计结果分为四个等级，分别记为A，B，C，D，其中：A：0x0.5，B：0.5x1，C：1x1.5，D：1.5x2，根据统计结果绘制了如图两个尚不完整的统计图（1）本次统计共随机抽取了名学生；（2）扇形统计图中等级B所占的圆心角是；（3）从参加统计的学生中，随机抽取一个人，则抽到“日人均阅读时间大于或等于1小时”的学生的概率是；（4）若该校有1200名学生，请估计“日人均阅读时间大于或等于0.5小时”的学生共有人21（8分）（2015莆田）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点（1）请判断OEF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长22（8分）（2015莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cosBOE=求证：CB是O的切线23（8分）（2015莆田）某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放，某日从上午7点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的变化趋势如图1，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图2，若该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同（1）求图2中所确定抛物线的解析式；（2）若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？24（8分）（2015莆田）如图，矩形OABC，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，直线y=x+6交边BC于点M（m，n）（mn），并把矩形OABC分成面积相等的两部分，过点M的双曲线y=（x0）交边AB于点N若OAN的面积是4，求OMN的面积25（10分）（2015莆田）抛物线y=ax2+bx+c，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线y=x2的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由26（12分）（2015莆田）在RtACB和RtAEF中，ACB=AEF=90，若点P是BF的中点，连接PC，PE特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）问题探究：把图1中的AEF绕着点A顺时针旋转（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记=k，当k为何值时，CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）2015年福建省莆田市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1（4分）（2015莆田）2的相反数是（）AB2CD2考点： 相反数菁优网版权所有分析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数解答： 解：2的相反数是2，故选：B点评： 本体考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数2（4分）（2015莆田）下列运算正确的是（）A（a2）3=a5Ba2+a4=a6Ca3a3=1D（a3a）a=a2考点： 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；整式的除法菁分析： 利用幂的有关性质、合并同类型及整式的除法分别运算后即可确定正确的选项解答： 解：A、（a2）3=a6，故错误；B、a2+a4不能进行运算，因为二者不是同类项；C、a3a3=1，正确；D、（a3a）a=a21，故错误，故选C点评： 本题考查了幂的有关性质、合并同类型及整式的除法，解题的关键是能够熟练掌握有关幂的运算性质，难度不大3（4分）（2015莆田）右边几何体的俯视图是（） A B C D 考点： 简单组合体的三视图菁优网版权所有分析： 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中解答： 解：从上往下看，易得三个并排的长方形故选A点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从上向下得到的物体的正视图4（4分）（2015莆田）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A等边三角形B平行四边形C矩形D正五边形考点： 中心对称图形；轴对称图形菁优网版权所有分析： 根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误故选C点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合5（4分）（2015莆田）不等式组的解集在数轴上可表示为（）ABCD考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组菁优网版权所有分析： 分别求出两个不等式的解集，即可作出判断解答： 解：解不等式x+21得：x1；解不等式x1得：x2，所以次不等式的解集为：1x2故选A点评： 本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键6（4分）（2015莆田）如图，AEDF，AE=DF，要使EACFDB，需要添加下列选项中的（）AAB=CDBEC=BFCA=DDAB=BC考点： 全等三角形的判定菁优网版权所有分析： 添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AEFD，可得A=D，再利用SAS定理证明EACFDB即可解答： 解：AEFD，A=D，AB=CD，AC=BD，在AEC和DFB中，EACFDB（SAS），故选：A点评： 此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角7（4分）（2015莆田）在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是（）A平均数是5B中位数是6C众数是4D方差是3.2考点： 方差；加权平均数；中位数；众数菁优网版权所有分析： 根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可解答： 解：A、平均数=5，此选项正确；B、3，4，4，6，8中位数是4，此选项错误；C、3，4，4，6，8众数是4，此选项正确；D、方差S2=3.2，此选项正确；故选B点评： 本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式，此题难度不大8（4分）（2015莆田）如图，在O中，=，AOB=50，则ADC的度数是（）A50B40C30D25考点： 圆周角定理；垂径定理菁优网版权所有分析： 先求出AOC=AOB=50，再由圆周角定理即可得出结论解答： 解：在O中，=，AOC=AOB，AOB=50，AOC=50，ADC=AOC=25，故选D点评： 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键9（4分）（2015莆田）命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题则在下列选项中，可以作为反例的是（）Ab=3Bb=2Cb=1Db=2考点： 命题与定理；根的判别式菁优网版权所有专题： 计算题分析： 由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出b的范围即可做出判断解答： 解：方程x2+bx+1=0，必有实数解，=b240，解得：b2或b2，则命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题则在下列选项中，可以作为反例的是b=1，故选C点评： 此题考查了命题与定理，以及根的判别式，熟练掌握举反例说明命题为假命题的方法是解本题的关键10（4分）（2015莆田）数学兴趣小组开展以下折纸活动：（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN观察，探究可以得到ABM的度数是（）A25B30C36D45考点： 翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有分析： 连接AN，根据折叠的性质得到ABN为等边三角形，可得ABN=60，于是得到ABM=NBM=30解答： 解：连接AN，EF垂直平分AB，AN=BN，由折叠知AB=BN，AN=AB=BN，ABN为等边三角形，ABN=60，ABM=NBM=30故选B点评： 本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，翻折前后对应角相等；对应边相等；注意特殊角及三角函数的应用二、细心填一填（共6小题，每小题4分，满分24分）11（4分）（2015莆田）要了解一批炮弹的杀伤力情况，适宜采取抽样调查（选填“全面调查”或“抽样调查”）考点： 全面调查与抽样调查菁优网版权所有专题： 计算题分析： 了解炮弹的杀伤力情况，不可能全面调查，炮弹全部用完没有意义，即可得到结果解答： 解：要了解一批炮弹的杀伤力情况，适宜采取抽样调查故答案为：抽样调查点评： 此题考查了全面调查与抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查12（4分）（2015莆田）八边形的外角和是360考点： 多边形内角与外角菁优网版权所有分析： 任何凸多边形的外角和都是360度解答： 解：八边形的外角和是360度故答案为：360点评： 本题考查了多边形的内角与外角的知识，多边形的外角和是360度，不随着边数的变化而变化13（4分）（2015莆田）中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为9.6106考点： 科学记数法表示较大的数菁优网版权所有分析： 科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数解答： 解：将9600000用科学记数法表示为9.6106故答案为9.6106点评： 本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值14（4分）（2015莆田）用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是64cm2考点： 二次函数的最值菁优网版权所有分析： 设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16x）cm，则矩形的面积S即可表示成x的函数，根据函数的性质即可求解解答： 解：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16x）cm则矩形的面积S=x（16x），即S=x2+16x，当x=8时，S有最大值是：64故答案是：64点评： 本题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解15（4分）（2015莆田）如图，AB切O于点B，OA=2，BAO=60，弦BCOA，则的长为2（结果保留）考点： 切线的性质；弧长的计算菁优网版权所有专题： 计算题分析： 连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到AB与OB垂直，在直角三角形AOB中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径，由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，进而求出BOC度数，利用弧长公式即可求出弧BC的长解答： 解：连接OB，OC，AB为圆O的切线，OBAB，在AOB中，OA=2，BAO=60，AOB=30，即AB=，根据勾股定理得：OB=3，BCOA，OBC=AOB=30，OB=OC，OBC=OCB=30，BOC=120，则的长l=2，故答案为：2点评： 此题考查了切线的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键16（4分）（2015莆田）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是考点： 规律型：图形的变化类菁优网版权所有分析： 根据题意，每次挖去等边三角形的面积的，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解解答： 解：图2阴影部分面积=1=，图3阴影部分面积=（）2，图4阴影部分面积=（）2=（）3，图5阴影部分面积=（）3=（）4=故答案为：点评： 本题是对图形变化规律的考查，观察出每次挖出后剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的是解题的关键三、耐心做一做（共10小题，满分86分）17（7分）（2015莆田）计算：|2|+（1）0考点： 实数的运算；零指数幂菁优网版权所有分析： 本题涉及绝对值，零指数幂、二次根式化简三个考点针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果解答： 解：|2|+（1）0=23+1=点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算18（7分）（2015莆田）解分式方程：=考点： 解分式方程菁优网版权所有分析： 先去分母，把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可解答： 解：方程两边都乘以x（x+2）得：2（x+2）=3x，解得：x=4，检验：把x=4代入x（x+2）0，所以x=4是原方程的解，即原方程的解为x=4点评： 本题考查了解分式方程的应用，解此题的关键是能把分式方程转化成整式方程，难度适中19（8分）（2015莆田）先化简，再求值：，其中a=1+，b=1+考点： 分式的化简求值菁优网版权所有专题： 计算题分析： 原式变形后，利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值解答： 解：原式=ab，当a=1+，b=1+时，原式=2点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键20（10分）（2015莆田）为建设”书香校园“，某校开展读书月活动，现随机抽取了一部分学生的日人均阅读时间x（单位：小时）进行统计，统计结果分为四个等级，分别记为A，B，C，D，其中：A：0x0.5，B：0.5x1，C：1x1.5，D：1.5x2，根据统计结果绘制了如图两个尚不完整的统计图（1）本次统计共随机抽取了100名学生；（2）扇形统计图中等级B所占的圆心角是72；（3）从参加统计的学生中，随机抽取一个人，则抽到“日人均阅读时间大于或等于1小时”的学生的概率是0.7；（4）若该校有1200名学生，请估计“日人均阅读时间大于或等于0.5小时”的学生共有1080人考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式菁优网版权所分析： （1）利用扇形统计图和条形统计图得出C组的人数为40，在扇形统计图中占40%，进而求出即可；（2）利用等级B在样本中所占比例，进而求出所占的圆心角；（3）利用“日人均阅读时间大于或等于1小时”的学生所占比例，得出概率；（4）利用“日人均阅读时间大于或等于0.5小时”所占比例求出答案解答： 解：（1）由C组的人数为40，在扇形统计图中占40%，故本次统计共随机抽取了：4040%=100（名），故答案为：100；（2）由题意可得：20100360=72故答案为：72；（3）D组所占比例为：30%，C组所占比例为：40%，“日人均阅读时间大于或等于1小时”的学生的所占比例为：70%，抽到“日人均阅读时间大于或等于1小时”的学生的概率是：0.7；故答案为：0.7；（4）样本中日人均阅读时间小于0.5小时的有10人，所占样本数据的100%=10%，该校有1200名学生，“日人均阅读时间大于或等于0.5小时”的学生共有：1200（110%）=1080（人）故答案为：1080点评： 此题主要考查了条形统计图与扇形统计图的应用，根据题意得出正确信息是解题关键21（8分）（2015莆田）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点（1）请判断OEF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长考点： 菱形的性质；勾股定理；三角形中位线定理菁优网版权所有分析： （1）利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而求出即可；（2）利用勾股定理得出BO的长再利用三角形中位线定理得出EF的长解答： 解：（1）OEF是等腰三角形，理由：四边形ABCD是菱形，AB=AD，ACBD，点E，F分别是边AB，AD的中点，EO=AB，OF=AD，EO=FO，OEF是等腰三角形；（2）四边形ABCD是菱形，AC=10，AO=5，AOB=90，BO=12，BD=24，点E，F分别是边AB，AD的中点，EFBD，EF=12点评： 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，熟练应用菱形的性质是解题关键22（8分）（2015莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cosBOE=求证：CB是O的切线考点： 切线的判定菁优网版权所有专题： 证明题分析： 连接OD，可得OB=OD，由AB=AD，得到AE垂直平分BD，在直角三角形BOE中，利用锐角三角函数定义求出OE的长，根据勾股定理求出BE的长，由OCOE求出CE的长，再利用勾股定理求出BC的长，利用勾股定理逆定理判断得到BC与OB垂直，即可确定出BC为圆O的切线解答： 证明：连接OD，可得OB=OD，AB=AD，AE垂直平分BD，在RtBOE中，OB=3，cosBOE=，OE=，根据勾股定理得：BE=，CE=OCOE=，在RtCEB中，BC=4，OB=3，BC=4，OC=5，OB2+BC2=OC2，OBC=90，即BCOB，则BC为圆O的切线点评： 此题考查了切线的判定，勾股定理及逆定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键23（8分）（2015莆田）某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放，某日从上午7点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的变化趋势如图1，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图2，若该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同（1）求图2中所确定抛物线的解析式；（2）若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？考点： 二次函数的应用菁优网版权所有分析： （1）设，当x=2时，y1=y2=40，利用待定系数法即可解答；（2）设y1=kx+b（1x3），把（1，0），（2，40）分别代入y1=kx+b，求得y2=40x40，当x=3时，y1=80，y2=90，设需要开放m个普通售票窗口，所以80m+905900，解得m5，因为m取整数，所以m6，即可解答解答： 解：（1）设，当x=2时，y1=y2=40，把（2，40）代入，4a=40，解得：a=10，（2）设y1=kx+b（1x3），把（1，0），（2，40）分别代入y1=kx+b得：解得：，y2=40x40，当x=3时，y1=80，y2=90，设需要开放m个普通售票窗口，80m+905900，m5，m取整数，m6答：至少需要开放6个普通售票窗口点评： 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式24（8分）（2015莆田）如图，矩形OABC，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，直线y=x+6交边BC于点M（m，n）（mn），并把矩形OABC分成面积相等的两部分，过点M的双曲线y=（x0）交边AB于点N若OAN的面积是4，求OMN的面积考点： 反比例函数与一次函数的交点问题菁优网版权所有分析： 由反比例函数性质求出SOCM=SOAN=4，得到mn=8，根据点M（m，n）在直线y=x+6上，得到m+6=n，联立解方程组，得m、n的值，再根据直线y=x+6分矩形OABC面积成相等的两部分，求出点B的坐标，进而求出OA=BC=8，AB=OC=4，BM=6，BN=3，由SOMN=S矩形OABCSOCMSBMNSOAN计算即可解答： 解：点M、N在双曲线y=（x0）上，SOCM=SOAN=4，mn=4，mn=8，点M（m，n）在直线y=x+6上，m+6=n，解得：或（舍去）直线y=x+6分矩形OABC面积成相等的两部分，直线y=x+6过矩形OABC的中心，设B（a，4）E（，2）+6=2a=8，OA=BC=8，AB=OC=4，BM=6，BN=3，SOMN=S矩形OABCSOCMSBMNSOAN=32494=15点评： 本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数与反比例函数的综合运用、待定系数法以及数形结合思想，求出m、n的值以及点B的坐标是解决问题的关键25（10分）（2015莆田）抛物线y=ax2+bx+c，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线y=x2的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题菁优网版权所有专题： 综合题分析： （1）由“恒定”抛物线y=ax2+bx+c，得到b=a+c，即ab+c=0，即可确定出抛物线恒过定点（1，0）；（2）先求出抛物线y=x2的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PACQ，PA=CQ；存在两种情况：作QMAC于M，则QM=OP=，证明RtQMCRtPOA，MC=OA=1，得出点Q的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+2）2，把点A坐标代入求出a的值即可；顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明OQCOPA，得出OQ=OP=，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+，把点C坐标代入求出a的值即可解答： （1）证明：由“恒定”抛物线y=ax2+bx+c，得：b=a+c，即ab+c=0，抛物线y=ax2+bx+c，当x=1时，y=0，“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A（1，0）；（2）解：存在；理由如下：“恒定”抛物线y=x2，当y=0时，x2=0，解得：x=1，A（1，0），B（1，0）；x=0时，y=，顶点P的坐标为（0，），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，PACQ，PA=CQ，存在两种情况：如图1所示：作QMAC于M，则QM=OP=，QMC=90=POA，在RtQMC和RtPOA中，RtQMCRtPOA（HL），MC=OA=1，OM=2，点A和点C是抛物线上的对称点，AM=MC=1，点Q的坐标为（2，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=a（x+2）2，把点A（1，0）代入得：a=，抛物线的解析式为：y=（x+2）2，即yx2+4x+3；如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，点C坐标为（1，0），CQPA，OQC=OPA，在OQC和OPA中，OQCOPA（AAS），OQ=OP=，点Q坐标为（0，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=ax2+，把点C（1，0）代入得：a=，抛物线的解析式为：y=x2+；综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：y=x2+4x+3，或y=x2+点评： 本题是二次函数综合题目，考查了新定义“恒定”抛物线、用待定系数法求抛物线的解析式、全等三角形的判定与性质、抛物线的对称性、坐标与图形性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要作辅助线证明三角形全等求出点的坐标才能得出抛物线的解析式26（12分）（2015莆田）在RtACB和RtAEF中，ACB=AEF=90，若点P是BF的中点，连接PC，PE特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）问题探究：把图1中的AEF绕着点A顺时针旋转（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记=k，当k为何值时，CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）考点： 几何变换综合题菁优网版权所有分析： （1）首先过点P作PMCE于点M，然后根据EFAE，BCAC，可得EFMPCB，推得，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此推得PC=PE即可（2）首先过点F作FDAC于点D，过点P作PMAC于点M，连接PD，然后根据全等三角形判定的方法，判断出DAFEAF，即可判断出AD=AE；再判断出DAPEAP，即可判断出PD=PE；最后根据FDAC，BCAC，PMAC，可得FDBCPM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可推得PC=PE（3）首先根据CPE总是等边三角形，可得CEP=60，再推得CAB=60；然后根据ACB=90，求出CBA=30；最后根据=k，=tan30，求出当CPE总是等边三角形时，k的值是多少即可解答： 解：（1）如图2，过点P作PMCE于点M，PC=PE成立，理由如下：EFAE，BCAC，EFMPCB，点P是BF的中点，EM=MC，又PMCE，PC=PE（2）如图3，过点F作FDAC于点D，过点P作PMAC于点M，连接PD，PC=PE成立，理由如下：DAF=EAF，FDA=FEA=90，在DAF和EAF中，DAFEAF（AAS），在DAP和EAP中，DAPEAP（SAS），PD=PE，FDAC，BCAC，PMAC，FDBCPM，点P是BF的中点，DM=MC，又PMAC，PC=PD，又PD=PE，PC=PE（3）如图4，CPE总是等边三角形，CEP=