2015年福建省龙岩市中考数学试卷（含解析版）.doc

2015年福建省龙岩市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）（2015•龙岩）﹣1的倒数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
2．（4分）（2015•龙岩）下列运算正确的是（　　）
A．x2•x3=x6 B．（x2）3=x6 C．x3+x2=x5 D．x+x2=x3
3．（2015•龙岩）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）（2015•龙岩）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．的值比8大
B．购买一张彩票，中奖
C．地球自转的同时也在绕日公转
D．袋中只有5个黄球，摸出一个球是白球
5．（4分）（2015•龙岩）如图所示几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）（2015•龙岩）若甲、乙、丙、丁四位同学一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为S甲2=0.80，S乙2=1.31，S丙2=1.72，S丁2=0.42，则成绩最稳定的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（4分）（2015•龙岩）下列统计图能够显示数据变化趋势的是（　　）
A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图
8．（4分）（2015•龙岩）如图，在边长为的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（　　）

A． B． C． D．1
9．（4分）（2015•龙岩）已知点P（a，b）是反比例函数y=图象上异于点（﹣1，﹣1）的一个动点，则+=（　　）
A．2 B．1 C． D．
10．（4分）（2015•龙岩）如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．2 D．2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•龙岩）2015年6月14日是第12个“世界献血者日”，据国家相关部委公布，2014年全国献血人数达到约130 000 000人次，将数据130 000 000用科学记数法表示为　　　　　　．
12．（3分）（2015•龙岩）分解因式：a2+2a=　　　　　　．
13．（3分）（2015•龙岩）若4a﹣2b=2π，则2a﹣b+π=　　　　　　．
14．（3分）（2015•龙岩）圆锥的底面半径是1，母线长是4，则它的侧面展开图的圆心角是　　　　　　°．
15．（3分）（2015•龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是　　　　　　．
16．（3分）（2015•龙岩）我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有　　　　　　个．

三、解答题（本大题共9小题，共92分）
17．（6分）（2015•龙岩）计算：|﹣|+20150﹣2sin30°+﹣9×．

18．（6分）（2015•龙岩）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）+（x﹣1）2，其中x=2．

19．（8分）（2015•龙岩）解方程：1+=．

20．（10分）（2015•龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：AE=DC；
（2）已知DC=，求BE的长．

21．（11分）（2015•龙岩）某商场经理对某一品牌旅游鞋近一个月的销售情况进行统计后，绘制了如下统计表与条形图：
尺码（码）
数量（双）
百分比（%）
36
60
30
37
30
15
38
a
b
39
40
20
40
c
5
41
10
5
（1）写出表中a，b，c的值；
（2）补全条形图；
（3）商场经理准备购进同一品牌的旅游鞋1500双，请根据市场实际情况估计他应该购进38码的鞋多少双？

22．（12分）（2015•龙岩）下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形．

（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；
（2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置，并指出②③属于旋转、平移和轴对称中的哪一种变换；
（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形．

23．（12分）（2015•龙岩）某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表：

A
B
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
400
280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子填写下表：

车辆数（辆）
载客量
租金（元）
A
x
45x
400x
B
5﹣x

（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；
（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．

24．（13分）（2015•龙岩）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t．
（1）判断MN与AC的位置关系；
（2）求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；
（3）若△DMN是等腰三角形，求t的值．

25．（14分）（2015•龙岩）如图，已知点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．
（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）证明∠ACO=∠OBC；
（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2015年福建省龙岩市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）（2015•龙岩）﹣1的倒数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【解答】解：﹣1的倒数是﹣1，
故选：A．

2．（4分）（2015•龙岩）下列运算正确的是（　　）
A．x2•x3=x6 B．（x2）3=x6 C．x3+x2=x5 D．x+x2=x3
【解答】解：A、x2•x3=x5，错误；
B、（x2）3=x6，正确；
C、x3与x2不是同类项，不能合并，错误；
D、x与x2不是同类项，不能合并，错误；
故选B

3．（2015•龙岩）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：A．

4．（4分）（2015•龙岩）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．的值比8大
B．购买一张彩票，中奖
C．地球自转的同时也在绕日公转
D．袋中只有5个黄球，摸出一个球是白球
【解答】解：A、的值比8大属于不可能事件，此选项错误；
B、购买一张彩票，可能中奖，也可能不中奖，属于随机事件，此选项正确；
C、地球自转的同时也在绕日公转属于确定事件，此选项错误；
D、袋中只有5个黄球，摸出一个球是白球属于不可能事件，此选项错误．
故选：B．

5．（4分）（2015•龙岩）如图所示几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：几何体的主视图为．
故选C

6．（4分）（2015•龙岩）若甲、乙、丙、丁四位同学一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为S甲2=0.80，S乙2=1.31，S丙2=1.72，S丁2=0.42，则成绩最稳定的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：∵S甲2=0.80，S乙2=1.31，S丙2=1.72，S丁2=0.42，
∴S丁2＜S甲2＜S乙2＜S丙2，
∴成绩最稳定的同学是丁．
故选：D．

7．（4分）（2015•龙岩）下列统计图能够显示数据变化趋势的是（　　）
A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图
【解答】解：易于显示数据的变化趋势和变化规律的统计图是折线统计图．
故选C．

8．（4分）（2015•龙岩）如图，在边长为的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（　　）

A． B． C． D．1
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，
∴∠PBC==30°，
∵PC⊥BC，
∴∠PCB=90°，
在Rt△PCB中，=1，
∴点P到边AB所在直线的距离为1，
故选：D．

9．（4分）（2015•龙岩）已知点P（a，b）是反比例函数y=图象上异于点（﹣1，﹣1）的一个动点，则+=（　　）
A．2 B．1 C． D．
【解答】解：∵点P（a，b）是反比例函数y=图象上异于点（﹣1，﹣1）的一个动点，
∴ab=1，
∴+=+===1．
故选：B．

10．（4分）（2015•龙岩）如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．2 D．2
【解答】解：在菱形ABCD中，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABE=60°，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB=4，
在RT△ABE中，AE=ABsin∠ABE=4×=2，
故可得AC=2AE=4．
故选A．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•龙岩）2015年6月14日是第12个“世界献血者日”，据国家相关部委公布，2014年全国献血人数达到约130 000 000人次，将数据130 000 000用科学记数法表示为　1.3×108　．
【解答】解：将130 000 000用科学记数法表示为1.3×108．
故答案为：1.3×108．

12．（3分）（2015•龙岩）分解因式：a2+2a=　a（a+2）　．
【解答】解：a2+2a=a（a+2）．

13．（3分）（2015•龙岩）若4a﹣2b=2π，则2a﹣b+π=　2π　．
【解答】解：因为4a﹣2b=2π，
所以可得2a﹣b=π，
把2a﹣b=π代入2a﹣b+π=2π．

14．（3分）（2015•龙岩）圆锥的底面半径是1，母线长是4，则它的侧面展开图的圆心角是　90　°．
【解答】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为n．
根据题意得2π×1=
解得n=90°．
故答案为：90°

15．（3分）（2015•龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是　y=﹣2x2﹣4x﹣3　．
【解答】解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，
抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，
化为一般式，得
y=﹣2x2﹣4x﹣3，
故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．

16．（3分）（2015•龙岩）我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有　9　个．
【解答】解：如图，，
正方形一共有9个腰点，除了正方形的中心外，两条与边平行的对称轴上各有四个腰点．
故答案为：9．

三、解答题（本大题共9小题，共92分）
17．（6分）（2015•龙岩）计算：|﹣|+20150﹣2sin30°+﹣9×．
【解答】解：原式=+1﹣2×+2﹣3=0．

18．（6分）（2015•龙岩）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）+（x﹣1）2，其中x=2．
【解答】解：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）+（x﹣1）2
=x2﹣1+2x﹣x2+x2﹣2x+1，
=x2，
把x=2代入原式=（2）2=12．

19．（8分）（2015•龙岩）解方程：1+=．
【解答】解：方程两边同乘以 （x﹣2）得，
（x﹣2）+3x=6，
解得；x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，
∴x=2不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．

20．（10分）（2015•龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：AE=DC；
（2）已知DC=，求BE的长．

【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=DC；
（2）解：由（1）得AE=DC，
∴AE=DC=，
在矩形ABCD中，AB=CD=，
在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（）2+（）2=BE2，
∴BE=2．

21．（11分）（2015•龙岩）某商场经理对某一品牌旅游鞋近一个月的销售情况进行统计后，绘制了如下统计表与条形图：
尺码（码）
数量（双）
百分比（%）
36
60
30
37
30
15
38
a
b
39
40
20
40
c
5
41
10
5
（1）写出表中a，b，c的值；
（2）补全条形图；
（3）商场经理准备购进同一品牌的旅游鞋1500双，请根据市场实际情况估计他应该购进38码的鞋多少双？

【解答】解：（1）根据题意得：60÷30%=200，c=200×5%=10，a=200﹣60﹣30﹣40﹣10﹣10=50；×100%=25%，即b=25；
（2）补全条形统计图，如图所示：

（3）由（1）可得38码的旅游鞋大约占25%，故购进1500双旅游鞋中应购进38码鞋375双．

22．（12分）（2015•龙岩）下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形．

（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；
（2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置，并指出②③属于旋转、平移和轴对称中的哪一种变换；
（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形．
【解答】解：（1）根据剪拼前后图形的面积相等，得出拼成的正方形的边长==4，
（2）如图，②③都属于平移，

（3）如图乙：

或者

23．（12分）（2015•龙岩）某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表：

A
B
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
400
280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子填写下表：

车辆数（辆）
载客量
租金（元）
A
x
45x
400x
B
5﹣x
　30（5﹣x）　
　280（5﹣x）　
（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；
（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
【解答】解：（1）∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，
∴B型客车载客量=30（5﹣x）；B型客车租金=280（5﹣x）；
故填：30（5﹣x）；280（5﹣x）．
（2）根据题意，400x+280（5﹣x）≤1900，解得：x≤4，
∴x的最大值为4；
（3）由（2）可知，x≤4，故x可能取值为0、1、2、3、4，
①A型0辆，B型5辆，租车费用为400×0+280×5=1400元，但载客量为45×0+30×5=150＜195，故不合题意舍去；
②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4=1520元，但载客量为45×1+30×4=165＜195，故不合题意舍去；
③A型2辆，B型3辆，租车费用为400×2+280×3=1640元，但载客量为45×2+30×3=180＜195，故不合题意舍去；
④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2=1760元，但载客量为45×3+30×2=195=195，符合题意；
⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400×4+280×1=1880元，但载客量为45×4+30×1=210，符合题意；
故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆．

24．（13分）（2015•龙岩）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t．
（1）判断MN与AC的位置关系；
（2）求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；
（3）若△DMN是等腰三角形，求t的值．

【解答】解：（1）∵在△ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，
∴MN∥AC；
（2）如图1，分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，

根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是▱AFGE的面积，
∵AC=6，BC=8，
∴AE=3，GC=4，
∵∠ACB=90°，
∴S四边形AFGE=AE•GC=3×4=12，
∴线段MN所扫过区域的面积为12．
（3）据题意可知：MD=AD，DN=DC，MN=AC=3，
①当MD=MN=3时，△DMN为等腰三角形，此时AD=AC=6，
∴t=6，
②当MD=DN时，AD=DC，如图2，过点D作DH⊥AC交AC于H，则AH=AC=3，

∵cosA==，
∴=，解得AD=5，
∴AD=t=5．
③如图3，当DN=MN=3时，AC=DC，连接MC，则CM⊥AD，

∵cosA==，即=，
∴AM=，
∴AD=t=2AM=，
综上所述，当t=5或6或时，△DMN为等腰三角形．

25．（14分）（2015•龙岩）如图，已知点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．
（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）证明∠ACO=∠OBC；
（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），
∴点D的纵坐标是4，
又∵点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，
∴4=，
解得x=5，
故点D的坐标是（5，4）．
如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，

在RT△DAE中，DA=5，DE=4，
∴AE==3，
∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8，
∴A（2，0），B（8，0），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），由于它过点C（0，4），
∴a（0﹣2）（0﹣8）=4，解得a=，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+4．
（2）如图2，连接AC，

在RT△AOC中，OA=2，CO=4，
∴tan∠ACO==，
在RT△BOC中，OB=8，CO=4，
∴tan∠CBO==，
∴∠ACO=∠CBO．
（3）∵B（8，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，
如图3，分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，

设P（t，t2﹣t+4），
①AQ：AP=1：4，则易得Q（，），
∵点Q在直线y=﹣x+4上，
∴﹣+4=，整理得t2﹣8t﹣36=0，
解得t1=4+2，t2=4﹣2，
∴P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），
②AQ：AP=2：4，则易得Q（，），
∵点Q在直线y=﹣x+4上，
∴﹣•+4=，
整理得t2﹣8t﹣12=0，解得P3=4+2，P4=4﹣2，
∴P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；
③AQ：AP=3：4，则易得Q（，），
∵点Q在直线y=﹣x+4上，
∴﹣•+4=，整理得t2﹣8t﹣4=0，解得t5=4+2，t6=4﹣2，
∴P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+），
综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的四等分点，其坐标分别为P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+）．

参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；1987483819；gbl210；73zzx；sks；放飞梦想；sjzx；sdwdmahongye；caicl；HLing；蓝月梦；王学峰；wkd；522286788；1339885408@（排名不分先后）
菁优网
2016年4月14日
第24页（共24页）