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中考数学压轴题一.因动点产生的等腰三角形问题例1：（2012德阳）在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BEDB交x轴于点E（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；（2）将DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交（1）中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由；（3）过（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使PFE为等腰三角形，求Q点的坐标例2：2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1 例3：2012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由图1二.因动点产生的直角三角形问题例1 ：(2011德阳)(本小题满分14分)如图，已知抛物线经过原点O，与轴交于另一点A，它的对称轴与轴交于点C，直线经过抛物线上一点B()，且与轴、直线分别交于点D，E(1) 求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成的形式；(2) 求证：CDBE；(3) 在对称轴上是否存在点P，使PBE是直角三角形，如果存在，请求出点P的坐标，并求出PAB的面积；如果不存在，请说明理由。例2 ：2013年山西省中考第26题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由图1 例3：2012年广州市中考第24题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式图1 三因动点产生的平行四边形问题例1：2013年上海市松江区中考模拟第24题如图1，已知抛物线yx2bxc经过A(0, 1)、B(4, 3)两点 （1）求抛物线的解析式；（2）求tanABO的值；（3）过点B作BCx轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标图1 例2：2012年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以A为顶点的抛物线yax2bxc过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值图1例3：2011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MOMA二次函数yx2bxc的图象经过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标图1例4： 2009年江西省中考第24题如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF/DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系图1中考数学压轴题（解析）一 因动点产生的等腰三角形问题例1：（2012德阳）在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BEDB交x轴于点E（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；（2）将DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交（1）中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由；（3）过（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使PFE为等腰三角形，求Q点的坐标思路点拨（1）本题关键是求得E点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式如题图，可以证明BCDBAE，则AE=CD，从而得到E点坐标；（2）首先求出M点坐标，然后利用待定系数法求直线MB的解析式，令x=0，求得G点坐标，进而得到线段CG、DG的长度；由BCGBAF，可得AF=CG，从而求得OF的长度比较OF与DG的长度，它们满足OF=DG的关系，所以结论成立（3）本问关键在于分类讨论PFE为等腰三角形，如解答图所示，可能有三种情况，需逐一讨论并求解满分解答解：（1）BEDB交x轴于点E，OABC是正方形，DBC=EBA在BCD与BAE中，BCDBAE，AE=CDOABC是正方形，OA=4，D是OC的中点，A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），E（6，0）设过点D（0，2），B（4，4），E（6，0）的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则有：解得，经过点D、B、E的抛物线的解析式为：y=x2+x+2（2）结论OF=DG能成立理由如下：由题意，当DBE绕点B旋转一定的角度后，同理可证得BCGBAF，AF=CGxM=，yM=xM2+xM+2=，M（，）设直线MB的解析式为yMB=kx+b，M（，），B（4，4），解得，yMB=x+6，G（0，6），CG=2，DG=4AF=CG=2，OF=OAAF=2，F（2，0）OF=2，DG=4，结论OF=DG成立（3）如图，PFE为等腰三角形，可能有三种情况，分类讨论如下：若PF=FEFE=4，BC与OA平行线之间距离为4，此时P点位于射线CB上，F（2，0），P（2，4），此时直线FPx轴，xQ=2，yQ=xQ2+xQ+2=，Q1（2，）；若PF=PE如图所示，AF=AE=2，BAFE，BEF为等腰三角形，此时点P、Q与点B重合，Q2（4，4）；若PE=EFFE=4，BC与OA平行线之间距离为4，此时P点位于射线CB上，E（6，0），P（6，4）设直线yPF的解析式为yPF=kx+b，F（2，0），P（6，4），解得，yPF=x2Q点既在直线PF上，也在抛物线上，x2+x+2=x2，化简得5x214x48=0，解得x1=，x2=2（不合题意，舍去）xQ=2，yQ=xQ2=2=Q3（，）综上所述，Q点的坐标为Q1（2，）或Q2（4，4）或Q3（，）例2：2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1 思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时PAC的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3)，代入点C(0 ,3)，得3a3解得a1所以抛物线的函数关系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x1当点P落在线段BC上时，PAPC最小，PAC的周长最小设抛物线的对称轴与x轴的交点为H由，BOCO，得PHBH2所以点P的坐标为(1, 2)图2（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图3，当MAMC时，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此时点M的坐标为(1, 1)如图4，当AMAC时，AM2AC2解方程4m210，得此时点M的坐标为(1,)或(1,)如图5，当CMCA时，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)图3 图4 图5例3：2012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由图1思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起满分解答（1）如图2，过点B作BCy轴，垂足为C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，所以点B的坐标为（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点B，解得所以抛物线的解析式为（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为(2, y)当OPOB4时，OP216所以4+y216解得当P在时，B、O、P三点共线（如图2）当BPBO4时，BP216所以解得当PBPO时，PB2PO2所以解得综合、，点P的坐标为，如图2所示图2 图3二 因动点产生的直角三角形问题例1 ：(2011德阳)(本小题满分14分)如图，已知抛物线经过原点O，与轴交于另一点A，它的对称轴与轴交于点C，直线经过抛物线上一点B()，且与轴、直线分别交于点D，E(1) 求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成的形式；(2) 求证：CDBE；(3) 在对称轴上是否存在点P，使PBE是直角三角形，如果存在，请求出点P的坐标，并求出PAB的面积；如果不存在，请说明理由。解：(1)已知抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， 又直线经过点B()， ，解得， 点B()， 又二次函数的图象经过0(0，0) B()， 解得，抛物线的解析式为 (2)由题意解方程组， 得 点E的坐标为(2，5)，CE=5 过点B作BF垂直于轴于F， 作BH垂直于直线于H，交轴于点Q， 点B()，D(0，1)， BF=3，BH=4，CH=BF=3，OD=1，EH=8，DQ=4 在RtBHE，RtBQ0，RtBHC中有勾股定理得BE=,BD=,BC=BD=BE又EC=5，BC=CE，CDBE.(3)结论：存在点P，使PBE是直角三角形当BPE=90时，点P与(2)中的点H重合，此时点P的坐标为；延长BH与过点A(4，0)且与轴垂直的直线交于M，则当EBP=90时，设点P(2，)，E(2，5)，H(2，)，B()，BH=4，EH=8，PH=在RtPBE中，BHPE，可证得BHPEHB，即，解得，此时点P的坐标为过点P与轴平行的直线与FB的延长线交于点N，则综合，知点P的坐标为，PAB的面积为6；或点P的坐标为，PAB的面积为12.例2：2013年山西省中考第26题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由图1 思路点拨1第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQDC列方程2第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论3第（3）题BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形满分解答（1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直线DB的解析式为由点P的坐标为(m, 0)，可得，所以MQ当MQDC8时，四边形CQMD是平行四边形解方程，得m4，或m0（舍去）此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC与MQ互相平分所以四边形CQBM是平行四边形图2 图3（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(2,0)，(6,4)考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为如图3，当DBQ90时， 所以解得x6此时Q(6,4)如图4，当BDQ90时， 所以解得x2此时Q(2,0)图3 图4例3：2012年广州市中考第24题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式图1 思路点拨1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个2当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合AMB90的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合AMB90的点M只有1个3灵活应用相似比解题比较简便满分解答（1）由，得抛物线与x轴的交点坐标为A(4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线x1（2）ACD与ACB有公共的底边AC，当ACD的面积等于ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H由BD/AC，得DBGCAO所以所以，点D的坐标为因为AC/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐标为图2 图3（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M以AB为直径的G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了联结GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A6所以点M1的坐标为(4, 6)，过M1、E的直线l为根据对称性，直线l还可以是考点伸展第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO3，EO4，所以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直线CM过点C三因动点产生的平行四边形问题例1：2013年上海市松江区中考模拟第24题如图1，已知抛物线yx2bxc经过A(0, 1)、B(4, 3)两点 （1）求抛物线的解析式；（2）求tanABO的值；（3）过点B作BCx轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标图1 思路点拨1第（2）题求ABO的正切值，要构造包含锐角ABO的角直角三角形2第（3）题解方程MNyMyNBC，并且检验x的值是否在对称轴左侧满分解答（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入yx2bxc，得 解得，c1所以抛物线的解析式是（2）在RtBOC中，OC4，BC3，所以OB5如图2，过点A作AHOB，垂足为H在RtAOH中，OA1，所以 图2所以， 在RtABH中，（3）直线AB的解析式为设点M的坐标为，点N的坐标为，那么当四边形MNCB是平行四边形时，MNBC3解方程x24x3，得x1或x3因为x3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为（如图3）图3 图4考点伸展第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标那么求点M的坐标要考虑两种情况：MNyMyN或MNyNyM由yNyM4xx2，解方程x24x3，得（如图5）所以符合题意的点M有4个：，图5例2：2012年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以A为顶点的抛物线yax2bxc过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值图1思路点拨1把ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD2用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答（1）A(1, 4)因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为ya(x1)24，代入点C(3, 0)，可得a1所以抛物线的解析式为y(x1)24x22x3（2）因为PE/BC，所以因此所以点E的横坐标为将代入抛物线的解析式，y(x1)24所以点G的纵坐标为于是得到因此所以当t1时，ACG面积的最大值为1（3）或考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为FE/QC，FEQC，所以四边形FECQ是平行四边形再构造点F关于PE轴对称的点H，那么四边形EHCQ也是平行四边形再根据FQCQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQCQ列关于t的方程，检验四边形EHCQ是否为菱形如图2，当FQCQ时，FQ2CQ2，因此整理，得解得，（舍去）如图3，当EQCQ时，EQ2CQ2，因此整理，得所以，（舍去）图2 图3例3：2011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MOMA二次函数yx2bxc的图象经过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标图1思路点拨1本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据MOMA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m满分解答（1）当x0时，所以点A的坐标为(0，3)，OA3如图2，因为MOMA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为将代入，得x1所以点M的坐标为因此（2）因为抛物线yx2bxc经过A(0，3)、M，所以解得，所以二次函数的解析式为（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AECD，垂足为E在RtADE中，设AE4m，DE3m，那么AD5m因此点C的坐标可以表示为(4m，32m)将点C(4m，32m)代入，得解得或者m0（舍去）因此点C的坐标为（2，2） 图2 图3考点伸展如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图4，点C的坐标为图4 例4：2009年江西省中考第24题如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF/DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系图1思路点拨1数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长2当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程3把BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB满分解答（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是x1（2）直线BC的解析式为yx3把x1代入yx3，得y2所以点E的坐标为（1，2）把x1代入，得y4所以点D的坐标为（1，4）因此DE=2因为PF/DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为，点F的坐标为，因此当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP于是得到解得，（与点E重合，舍去）因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3因此m的变化范围是0m3图2 图3考点伸展在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此于是解得（与点CE重合，舍去），（与点E重合，舍去）因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形图4