中考数学压轴题汇编.doc

1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.
（1）求证：DC=BC;
（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.

2．如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为．
（1）求AO与BO的长；
(2)若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.
①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝ ，试求AA’的长

3．已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证t△PME∽t△PNF，得出PN= 3PM．（不需证明）
当PC= 2PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明

4．操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．

5．在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：

①量得OA=3cm； ②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5．
请完成下列问题： （1）写出抛物线的对称轴； （2）求抛物线的解析式；
（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H、G，交抛物线于点E、F．求证：S梯形EFGH= 16(EF2-9)．

6．如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2-x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

7. 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；
（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式

1.（1）过A作DC的垂线AM交DC于M, 则AM=BC=2.
∵tan∠ADC=2,∴.即DC=BC.
（2）等腰三角形 证明：∵.
∴△DEC≌△BFC .
则△ECF是等腰直角三角形.
（3）设,则，∴ .
∵，又
∴.
2．（1）中,∠O=,∠α= ∴∠OAB=，又ＡＢ＝4m
∴m. m.
（2）设在中,
根据勾股定理: ∴
∴ ∵　　∴
∴ AC=2x= 即梯子顶端A沿NO下滑了米.
（3）∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点
∴， ∴
∴ ∴
∵ ∴∴
∴米
3．如图2，如图3中都有结论：PN＝PM
如图2： 在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F
∴四边形BFPE是矩形     ∴∠EPF＝90º， ∵∠EPM＋∠MPF＝∠FPN＋∠MPF＝90º
可知∠EPM＝∠FPN      ∴△PFN∽△PEM ∴＝ 
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中 ∠A＝30º，∠C＝60°
∴PF＝PC，PE＝PA ∴＝＝   
∵PC＝PA  ∴＝   即：PN＝PM   
若选如图3，其证明过程同上（其他方法如果正确，可参照给分）
4．（1）连接PC． ∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= 12∠ACB=45° ∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°， ∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE． ∴PD=PE；

（2）共有四种情况：
①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB； ②CE=2-√2，此时PB=BE；
③当CE=1时，此时PE=BE； ④当E在CB的延长线上，且CE=2+√2时，此时PB=EB；
（3）MD：ME=1：3． 过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H．
∴MH∥AC，MF∥BC． ∴四边形CFMH是平行四边形． ∵∠C=90°，
∴CFMH是矩形． ∴∠FMH=90°，MF=CH． ∵ CH：HB=AM：MB=1：3，HB=MH，
∴ MF：MH=1：3． ∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°， ∴∠DMF=∠EMH．
∵∠MFD=∠MHE=90°， ∴△MDF∽△MEH． ∴ MD：ME=MF：MH=1：3．
5．
6．（1）对称轴：直线 解析式：或 顶点坐标：M（1，）
（2）由题意得 3
得：①
得： ② 把②代入①并整理得：
当时， 解得：
把代入抛物线解析式得 ∴点A1（6，3）………5分
（3）存在 易知直线AB的解析式为，
可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为 ∴BD=5，DE=，DP=5－t，DQ= t
当∥时， 得
①当时 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA＝∠FEQ
∴∠DPQ＝∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴
∴ 得 ∴(舍去)
②当时 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG＝∠FQE
∵∠DQP＝∠FQE ∠FAG＝∠EBD ∴∠DQP＝∠DBE 易得△DPQ∽△DEB
∴ ∴， ∴
∴当秒时，使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似

解析：
(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0) 则设抛物线的解析式为
又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1
∴y=x2-2x-3 自变量范围：-1≤x≤3
解法2：设抛物线的解析式为(a≠0)
根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上
∴，解之得： ∴y=x2-2x-3 自变量范围：-1≤x≤3
(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，
在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=
在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4
∴点C、E的坐标分别为(0，)，(-3,0) ∴切线CE的解析式为
(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0)
由题意可知方程组只有一组解
即有两个相等实根，∴k=-2 ∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3