上海市宝山区行知中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题.docx

上海市行知中学 2020 学年第一学期期中
高一年级数学学科试卷
11.12
一、填空题（本题满分 54 分，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分）
{ }
{ }
A = 1,2,3,4
=
， B x x
³
4
A B _________.
=
1.已知集合
，则
1
3
2
( )
-
+ ( ) =
2.计算：
0
_________.
3
8
4
ìx - y =
0
的解集为_________.
3.用列举法表示方程组í
îx + y = 2
log 2 = a
log 27 =
4.记
，则
_________（用a 来表示）
3
4
x -1 + 3- x ³ 2
x
5.不等式
等号成立的 的取值范围是_________.
ax -b
x - 6
ax+b > 0
> 0的解集为
6.设关于 x 的不等式
的解集是(1,+¥)
，则关于 x 的不等式
_________.
1
1
- 2 +
> x - 2 +
的解集是_________.
7.不等式 x
x + 3
x + 3
x + 2 - x -3 ³ k
8.关于 x 的不等式
的解集为 R ，则实数k 的取值范围是_________.
x -m <1成立的充分不必要条件是1
1
2
< <
x
9.已知不等式
，则实数m 的取值范围是
3
_________.
ì ax >1
a
的解集不是空集，则实数 的取值范围是_________.
10.关于 x 的不等式组í
- a > 0
îx
ì lg x ,0 < x £10,
ï
，若 a,b,c
互不相等，且
f (a) = f (b) = f (c)
，则abc
(x) =
11.已知函数 f
í 1
- x + 6, x >10.
ï
î 2

的取值范围是_________.
{
}
I = 1,2,3,4,5
①A Í I,② A £ min(A)
A
，（其中 表
12.设集合
，若非空集合 同时满足
A
示 A中元素的个数，min(A)
表示集合 中最小的元素），称集合 为 的一个好子集， 的
A I
I
A
所有好子集的个数为_________.
二、选择题
> b
13.若 a2
，则下列不等式中成立的是（
）
2
a > 0 > b
a > b > 0
a > b
a > b
A.
B.
C.
D.
Î A
14.“存在 x
，使得 x 满足性质 P ”的否定形式为（ ）
0
0
Î A
Ï A
x Ï A
A. “存在 x
，使得不满足性质 P ”
，使得满足性质 P ”
B. “存在
，使得满足性质 P ”
0
0
x Î A
，使得满足性质 P ”
C. “对任意 x
D. “对任意
0
0
1- x2
(x) =
15.函数 f
的图像可能是（
）
x
3
2a +3b
a +b
> 0,b > 0
2 - + 4 £ 0
且 a b
（
）
16.已知a
，则
14
14
17
6
17
6
A. 有最小值
B. 有最大值
C. 有最小值
D. 有最大值
5
5
三、解答题：（76 分）

17.（14 分）解关于 x 的不等式ax2 - (a +1)x +1 > 0(a Î R)
.
18.（14 分）若 a,b,c,d Î R
，且
ac = 2(b + d)
2 + + = 0
，求证：一元二次方程 x ax b 和
2 + + = 0
x cx d
中至少有一个方程有实根.
19. （第 1 问 7 分，第2 问 7 分，共14 分 ）“双十一”网购狂欢节抢购活动已经演变为电商行
业的大型集体促销盛宴.某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销.经调查测算，
2
该促销产品在 “双十一”的销售量
(万件)与促销费用 x (万元)满足 = 3-
p
p
. (其中
x +1
0 £ x £ a a
， 为正常数)，已知生产该产品还需投入成本10 + 2 p
万元(不含促销费用)，每一
20
件产品的销售价格定为(4 + )
元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.
p
x
（1）将该产品的利润 y （万元)表示为促销费用 (万元）的函数;
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?并求出最大利润的值.

(x) = x2 + ax + b(a,bÎ R)
20.（第 1 问 4 分 ，第 2 问 6 分，第 2 问 6 分，共 16 分）已知函数 f
.
1
f
(x) > 0
的解集是 -¥ -
( , 2) ( , )
- +¥
x
（1）若关于 的不等式
b
，求a 、 的值
2
[ ]
0,2 f (x) - g(x) <1恒成立，求实
，使得
= -2,b = 0, g(x) = kx
（2）若 a
，定义域都是
k
数 的取值范围.
(x) = 0 在区间(1,2)
上有两个不同的实根，求
f (1)的取值范围.
（3）若方程 f

21.（第 1 问 4 分，第 2 问 6 分，第 2 问 8 分，共 18 分）
f (x)
(x)
若函数 f
在定义域内的某个区间I 上是增函数，而 =
y
在区间 I 上是减函数，
x
则称函数 y
= f (x)在区间 I 上是“弱增函数”.
( )
f x
（1）分别判断
xex， g x x
( ) = 2 + 4 + 2 在区间(1,2)上是否是“弱增函数”
=
x
（不必证明）；
1
（2）若函数 ( ) = 2 + ( - )x +b （ m 、b是常数）在区间(0，1]
上是“弱增函数”，
h x x
m
2
求 、b 应满足的条件；
m
(x) =| x -1| + | x -2| +k | x -3|
（ k 是常数且k
¹ 0），若存在区间 I
（3）已知 f
使得 y
= f (x)在区间 I 上是“弱增函数”，求 k 的取值范围.

上海市行知中学 2020 学年第一学期期中
高一年级数学学科试卷
11.12
一、填空题（本题满分 54 分，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分）
{ }
{ }
A = 1,2,3,4
=
， B x x
³
4
=
_________.
1.已知集合
，则
A B
【答案】{4}
1
3
2
3
( )
-
+ ( ) =
2.计算：
0
_________.
8
4

-2
0
1
3
æ ö
æ ö
2
3
= 8 +1= 4 +1= 5
【解析】
+
.
ç ÷
ç ÷
3
8
è ø
4
è ø
ìx - y =
0
的解集为_________.
3.用列举法表示方程组í
îx + y = 2
【答案】{(1,1)}
log 2 = a
log 27 =
4.记
，则
_________（用a 来表示）
3
4
3
3 1
3
【解析】log 27 = log 3
3
= log 3 = ×
=
2
2
2 log 2 2
4
2
a
2
3
x -1 + 3- x ³ 2
5.不等式
等号成立的 x 的取值范围是_________.
【答案】
R
ax -b
x - 6
ax+b > 0
> 0的解集为
6.设关于 x 的不等式
的解集是(1,+¥)
，则关于 x 的不等式
_________.
【答案】(-¥,-1) ( )
6,+¥
1
1
- 2 +
> x - 2 +
的解集是_________.
7.不等式 x
x + 3
x + 3
1
1
x -2＜0 x+3 ¹ 0
且 ，
【解析】由| x - 2 | +
> x - 2+
得
x + 3
x + 3
故解集为(-¥,-3) ( )
-3,2
.
x + 2 - x -3 ³ k
8.关于 x 的不等式
的解集为 R ，则实数k 的取值范围是_________.
(
, 5]
-¥ -
【答案】
x -m <1成立的充分不必要条件是1
1
< < ，则实数m
x
9.已知不等式
的取值范围是
3
2

_________.
【解析】解不等式| x - m|<1
得
x m
-1< < +1
，
m
1
3
1
2
因为不等式| x -m |<1成立的充分不必要条件是
< x <
，
1
3
1
2
ì
m -1 £
m +1 ³
ï
1
4
ï
所以
（等号不同时取得），解得- £ £
m
í
ï
，
2
3
ï
î
1 4
é
ù
所以实数 的取值范围是 - ,
m
.
ê
ú
2 3
ë
û
ì ax >1
a
10.关于 x 的不等式组í
的解集不是空集，则实数 的取值范围是_________.
îx - a > 0
a = 0
Æ
【解析】当
时，解集为 ，舍去，
1
ì
ü
当 a
> 0时，解集为 x
> max ,a ，必有解，
í
ý
îa þ
1
ì
<
1
ïx
< 0
，所以a
< -1，
a
(a 0)
<
当 a
时，解集为í
a
，若有解，则 <
a
ï
îx > a
(-¥,-1) ( )
0,+¥
综上，实数 的取值范围是
.
a
ì lg x ,0 < x £10,
ï
，若 a,b,c
f (a) = f (b) = f (c)
互不相等，且 ，则abc
(x) =
11.已知函数 f
í 1
- x + 6, x >10.
ï
î 2
的取值范围是_________.
【解析】作出 f
的图像，

(a) = f (b) = f (c) = k
k ，
0 < <1
令 f
，则
不妨设0 < a <1< b <10 < c <12
，
，所以 ab
A
所以lga = -k,lgb = k
，
所以lgab = lga +lgb = 0
=1，
( )
= c Î 10,12
所以abc
.
{
}
I = 1,2,3,4,5
①A Í I,② A £ min(A)
A
，（其中 表
12.设集合
，若非空集合 同时满足
示 A中元素的个数，min(A)
表示集合 中最小的元素），称集合 为 的一个好子集， 的
A I
I
A
所有好子集的个数为_________.
【解析】由题意得min(A) =1,2,3,4,5
，
当
当
当
当
当
min(A) =1时，| A|£1，所以 A ={1}，
min(A) = 2 时，| A|£ 2
A ={2},{2,3},{2,4},{2,5}
，
，所以
，所以
，所以
，所以
min(A) = 3时，| A|£ 3
min(A) = 4 时，| A|£ 4
A ={3},{3,4},{3,5},{3,4,5}
，
A ={4},{4,5}，
min(A) = 5时，| A|£ 5
A ={5}，
所以 的所有好子集的个数是
1+ 4+ 4+ 2+1=12.
I
二、选择题
> b
13.若 a2
，则下列不等式中成立的是（ C ）
2

a > 0 > b
a > b > 0
a > b
a > b
A.
B.
C.
D.
Î A
14.“存在 x
，使得 x 满足性质 ”的否定形式为（ D ）
P
0
0
Î A
Ï A
x Ï A
A. “存在 x
，使得不满足性质 P ”
，使得满足性质 P ”
B. “存在
，使得满足性质 P ”
0
0
x Î A
，使得满足性质 P ”
C. “对任意 x
D. “对任意
0
0
1- x2
(x) =
15.函数 f
的图像可能是（
）
x
3
1- x2
【解析】因为 (- ) = -
f x
= - ( )
( )
f x ，所以 f x 为奇函数，排除 B，
x
3
® 0
f (x) > 0
f (x) > 0
，排除 C，
当 x
，
，排除 D，当 x
® -¥
时，
+
故选 A.
2a +3b
> 0,b > 0
2 - + 4 £ 0
且 a b
（
）
16.已知a
，则
a +b
14
14
17
17
6
A. 有最小值
B. 有最大值
C. 有最小值
D. 有最大值
5
5
6
【解析】因为 - + 4 £ 0
³ + 4
+ ³ + + 4
a
2
b
，所以b a
2
，所以 a b a
2
a
，
a
a
a
a
£
，所以 -
³ -
，
所以
a + b a + a + 4
a + b
a + a + 4
2
2

2a + 3b
a
a
1
1
14
5
= 3-
³ 3-
= 3-
³ 3-
=
，
所以
4
+ b
a + b
a2 + a + 4
4
a
a + +1
2 × +1
a
a
a
当且仅当a
= 2, b = 8时取等号，故选 A.
三、解答题：（76 分）
17.（14 分）解关于 x 的不等式ax2 - (a +1)x +1 > 0(a Î R)
.
【解析】不等式ax2 - ( +1) +1 > 0
( -1)( -1)> 0
，
a
x
等价于 ax
x
1
æ
ö
a < 0
当
时，解集为 ,1 ，
ç
÷
è a ø
= 0时，解集为(-¥,1)，
当 a
1
æ
ö
0 < a £1时，解集为(-¥,1)
,+¥ ，
当
ç
÷
è a
ø
1
æ
ö
当 a
>1
时，解集为ç
-¥,
(1,+¥)
.
÷
è
a ø
18.（14 分）若 a,b,c,d Î R
，且
ac = 2(b + d)
2 + + = 0
，求证：一元二次方程 x ax b 和
2 + + = 0
x cx d
中至少有一个方程有实根.
【解析】假设两个方程都没有实数根，则D = - 4 < 0 D = - 4 < 0
，
a2
b
且
c2
d
1
2
D + D = a - 4b + c - 4d = a + c - 4(b + d) < 0
所以
，
2
2
2
2
1
2
= 2(b + d)
D + D = a + c - ac = a - c) ³ 0
2
(
因为ac
，所以
，矛盾，
2
2
2
1
2
所以所给两个方程中至少有一个有实数根.

19.（第 1 问 7 分，第 2 问 7 分，共 14 分）“双十一”网购狂欢节抢购活动已经演变为电商行
业的大型集体促销盛宴.某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销.经调查测算，
2
该促销产品在 “双十一”的销售量
(万件)与促销费用 x (万元)满足 = 3-
p
p
. (其中
x +1
0 £ x £ a a
， 为正常数)，已知生产该产品还需投入成本10 + 2 p
万元(不含促销费用)，每一
20
件产品的销售价格定为(4 + )
元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.
p
(1）将该产品的利润 （万元)表示为促销费用 x (万元）的函数;
y
(2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?并求出最大利润的值.
æ
20 ö
2
【解析】（1）由题意得 = 4 +
- - (10+ 2 ) ，把 = 3-
p x
代入得
y
p
p
ç
÷
x +1
è
p ø
4
y =16 -
y =17 -
- x(0 £ x £ a) ；
x +1
4
4
æ
ç
ö
+ x +1 £17 - 2
´(x +1) =13 ，
（2）
÷
+1
x +1
è x
ø
4
x =1时取等号，
= x +1，即
当且仅当
x +1
所以当a
³1时，促销费用投入 1 万元时，厂家的利润最大，
4
æ
ö
a <1时， y =17 -
[0,a]
上单调递增，
+ +1 在
x
当
ç
÷
+1
è x
ø
<1
所以当a
时，促销费用投入 万元时，厂家的利润最大.
a
(x) = x2 + ax + b(a,bÎ R)
20.（第 1 问 4 分 ，第 2 问 6 分，第 2 问 6 分，共 16 分）已知函数 f
.

1
(x) > 0
（1）若关于 x 的不等式 f
的解集是(-¥,-2) (- ,+¥)
，求a 、 的值
b
2
[ ]
0,2 f (x) - g(x) <1恒成立，求实
，使得
= -2,b = 0, g(x) = kx
（2）若 a
，定义域都是
k
数 的取值范围.
(x) = 0 在区间(1,2)
上有两个不同的实根，求
f (1)的取值范围.
（3）若方程 f
1
æ
ö
(x) > 0
(x) = 0
【解析】（1）因为 f
的解集为(-¥,-2)
- ,+¥ ，
ç
è
÷
2
ø
1
-2
1
所以 f
的两根为
和
-
，
2
ì
(-2) + (- ) = -a
ï
ï
2
5
，所以 = , =1
由韦达定理得í
a
b
，
1
2
ï
î
(-2)´(- ) = b
ï
2
= -2
= 0
2
（2）由题意得，a
(x) - g(x) <1 [0,2]
恒成立
，b
，所以 f
(x) = x - 2x
，
因为 f
在
所以 -1< 2 - 2 - <1 [0,2]
x kx 恒成立
x
在
= 0
时，
-1< 0 <1满足题意
①当 x
②当 x
æ
1
1
Î(0,2
]
- - 2 < < + - 2 [0,2]
时， x
k x
在
恒成立
x
x
1
1
ö
÷
ø
æ
ö
- - 2
< k < x + - 2
，
即 x
ç
ç
÷
è
x
è
x
ø
max
min
1
1
因为 = - - 2 [0,2]
= + - 2 [0,1]
在 上单调递减，
y x
在
单调递增， y x
x
x
1
在(1,2]
上单调递增，所以- < k < 0
；
2
(x) = 0 在区间(1,2)
（3）因为方程 f
有两个不同的实根，

(x) = (x - x )(x - x ) = x - (x + x )x + x x
所以设 f
，
2
1
2
1
2
1 2
,x Î(1,2) x ¹ x
其中 x
且
，
1
2
1
2
与 ( ) = + +
f x x2 ax b 对比系数，得a
x x b x x ，
= -( + ), =
1
2
1 2
所以 (1)=1+ + =1-( + ) +
a b x x
x x ，
= ( -1)( -1)
f
x x
1 2
1
2
1
2
因为 , Î(1,2)
x x
¹
(1)Î(0,1).
且 x x ，所以 f
1
2
1
2
【注】本题（3）改编自上海市 2017 年春考卷 12 题.
21.（第 1 问 4 分，第 2 问 6 分，第 2 问 8 分，共 18 分）
f (x)
(x)
若函数 f
在定义域内的某个区间I 上是增函数，而 =
y
在区间 I 上是减函数，
x
则称函数 y
= f (x)在区间 I 上是“弱增函数”.
( )
f x
（1）分别判断
在区间(1,2)上是否是“弱增函数”
xe ， g x x2 x
( ) = + 4 + 2
x
=
（不必证明）；
1
（2）若函数 ( ) = 2 + ( - ) +
(0，1]
上是“弱增函数”，
h x x
m
x b （ m 、 是常数）在区间
b
2
求 m 、b应满足的条件；
(x) =| x -1| + | x -2| +k | x -3|
（ k 是常数且k
¹ 0），若存在区间 I
（3）已知 f
使得 y
= f (x)在区间 I 上是“弱增函数”，求 k 的取值范围.
f (x)
【解析】（1）因为
e 是增函数，所以 f x 不是“弱增函数”，
= x
( )
x
g(x)
1
(x) = 2x +1 (0,+¥)
= 2 +
(0,+¥)
在 上单调递
因为 g
在
上单调递增，
x
x
(x) (0,+¥)
减，所以 g
是
上的“弱增函数”；

1
2
æ
ö
÷
ø
(x) = x2 + m -
x + b 在区间(0，1]
上是增函数，
（2）由题意得h
h(x)
ç
è
b æ
1 ö
÷在区间(0，1]上是减函数，
= x + + m -
且
ç
x
x è
2 ø
1
m -
1
2
2
-
£ 0, b ³1，所以 m ³
³1
，b ；
所以
2
ì3+ 3k - (2 + k)x,x £1
ï
1+ 3k - kx, 1＜x £ 2
ï
(x)
( ) =
，
（3）先对 f
去绝对值， f x í
ï-3+ 3k + (2 - k)x,2＜x £ 3
-3-3k + (2 + k)x,x＞3
ï
î
设 y
= f (x)在区间 I = (m,n)
上是“弱增函数”，并设
I = (-¥,1), I = (1,2),I = (2,3), I = (3,+¥)，
1
2
3
4
Ç I ¹ Æ
I I ，则
= Ç
y = f (x)
若 I
，取 I
在区间 I 上也为弱增函数，
*
1
*
1
1
1
f (x) 3+ 3k
(x) = 3+3k -(2 + k)x
- (2 + k)
为减函数，
=
故 f
为增函数，
x
x
ì-(2 + k)＞0
，无解；
所以 í
î3+3k＞0
I Ç I ¹ Æ ，取 I
= I Ç I
y = f
(x)
在区间 I
若
，则
上也为弱增函数，
*
2
*
2
2
2
f (x) 1+ 3k
(x) =1+3k - kx
=
- k
为减函数，
故 f
为增函数，
x
x
ì-k >
0
1
＜k＜0
，解得 -
所以 í
；
î1+ 3k > 0
3
Ç I ¹ Æ
I I ，则 y f
= Ç
= (x)
I
若 I
，取 I
*
3
在区间 * 上也为弱增函数，
3
3
3
f (x) -3+ 3k
(x) = -3+3k +(2 -k)x
+ (2 - k)
为减函
=
所以 f
为增函数，
x
x

2 - k＞0
ì
í
î
数，所以
，解得1＜k＜2
；
-3+ 3k＞0
I Ç I ¹ Æ ，取 I
= I Ç I
y
= f (x)
在区间
I
若
，则
上也为弱增函数，
*
4
*
4
4
4
f (x) -3-3k
(x) = -3-3k +(2 + k)x
+ (2 + k)
为减函
=
所以 f
为增函数，
x
x
2+ k＞0
ì
í
î
数，所以
，解得
-2＜k＜-1；
-3-3k＞0
1
(-2,-1) (- ,0) (1,2)
综上所述， 的取值范围是
.
k
3

1
2
æ
ö
÷
ø
(x) = x2 + m -
x + b 在区间(0，1]
上是增函数，
（2）由题意得h
h(x)
ç
è
b æ
1 ö
÷在区间(0，1]上是减函数，
= x + + m -
且
ç
x
x è
2 ø
1
m -
1
2
2
-
£ 0, b ³1，所以 m ³
³1
，b ；
所以
2
ì3+ 3k - (2 + k)x,x £1
ï
1+ 3k - kx, 1＜x £ 2
ï
(x)
( ) =
，
（3）先对 f
去绝对值， f x í
ï-3+ 3k + (2 - k)x,2＜x £ 3
-3-3k + (2 + k)x,x＞3
ï
î
设 y
= f (x)在区间 I = (m,n)
上是“弱增函数”，并设
I = (-¥,1), I = (1,2),I = (2,3), I = (3,+¥)，
1
2
3
4
Ç I ¹ Æ
I I ，则
= Ç
y = f (x)
若 I
，取 I
在区间 I 上也为弱增函数，
*
1
*
1
1
1
f (x) 3+ 3k
(x) = 3+3k -(2 + k)x
- (2 + k)
为减函数，
=
故 f
为增函数，
x
x
ì-(2 + k)＞0
，无解；
所以 í
î3+3k＞0
I Ç I ¹ Æ ，取 I
= I Ç I
y = f
(x)
在区间 I
若
，则
上也为弱增函数，
*
2
*
2
2
2
f (x) 1+ 3k
(x) =1+3k - kx
=
- k
为减函数，
故 f
为增函数，
x
x
ì-k >
0
1
＜k＜0
，解得 -
所以 í
；
î1+ 3k > 0
3
Ç I ¹ Æ
I I ，则 y f
= Ç
= (x)
I
若 I
，取 I
*
3
在区间 * 上也为弱增函数，
3
3
3
f (x) -3+ 3k
(x) = -3+3k +(2 -k)x
+ (2 - k)
为减函
=
所以 f
为增函数，
x
x

2 - k＞0
ì
í
î
数，所以
，解得1＜k＜2
；
-3+ 3k＞0
I Ç I ¹ Æ ，取 I
= I Ç I
y
= f (x)
在区间
I
若
，则
上也为弱增函数，
*
4
*
4
4
4
f (x) -3-3k
(x) = -3-3k +(2 + k)x
+ (2 + k)
为减函
=
所以 f
为增函数，
x
x
2+ k＞0
ì
í
î
数，所以
，解得
-2＜k＜-1；
-3-3k＞0
1
(-2,-1) (- ,0) (1,2)
综上所述， 的取值范围是
.
k
3