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中学自主招生数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．9的平方根为（ ）
A．3
B．-3
C．±3
D．±
2．如图的几何体，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（-3mn）2=-6m2n2
B．4x4+2x4+x4=6x4
C．（xy）2÷（-xy）=-xy
D．（a-b）（-a-b）=a2-b2
4．如图，AE∥CD，△ABC为等边三角形，若∠CBD=15°，则∠EAC的度数是（ ）
A．60°
B．45°
C．55°
D．75°
5．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（a-2，b）和点B（a，b+4），则k的值为（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2
6．如图，△ABC中，∠A=25°，∠B=65°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD的度数是（ ）
A．25°
B．20°
C．30°
D．15°
7．直线l1：y=-x+1与直线l2关于点（1，0）成中心对称，下列说法正确的是（ ）
A．将l1向下平移2个单位得到l2
B．将l1向右平移2个单位得到l2
C．将l1向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到l2
D．将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到l2
8．如图，BD为菱形ABCD的一条对角线，E、F在BD上，且四边形ACEF为矩形，若EF=BD，则 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC=110°，则∠BCD的度数是（ ）
A．35°
B．46°
C．55°
D．70°
10．关于x的二次函数y=mx2+（m-4）x+2（m＜0），下列说法：①二次函数的图象开口向下；②二次函数与x轴有两个交点；③当x＜-，y随x的增大而增大；④二次函数图象顶点的纵坐标大于等于6，其中正确的论述是（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
11．不等式的最小整数解为
12．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD，则∠CAD的度数是 度
13．若直线y=-x+m与双曲线y=（x＞0）交于A（2，a），B（4，b）两点，则mn的值为 .
14．如图，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF=AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．计算：
16．解方程：
17．如图，已知四边形ABCD中，AD＜BC，AD∥BC，∠B为直角，将这个四边形折叠使得点A与点C重合，请用尺规作图法找出折痕所在的直线．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，AB∥CD，且AB=CD，连接BC，在线段BC上取点E、F，使得CE=BF，连接AE、DF．求证：AE∥DF．
19．我校“点爱”社团倡导全校学生参加“关注特殊儿童”自愿捐款活动，并对此次活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款人数的比为1：5．请结合以上信息解答下列问题．
组别
捐款额x/元
人数
A
1≤x＜10
B
10≤x＜20
100
C
20≤x＜30
D
30≤x＜40
E
x≥40
（1）a= ，本次抽样调查样本的容量是 ；
（2）补全“捐款人数分组统计图1”；
（3）若记A组捐款的平均数为5元，B组捐款的平均数为15元，C组捐款的平均数为25元，D组捐款的平均数为35元，E组捐款的平均数为50元，全校共有2000名学生参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额大约为多少元．
20．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向2千米处．有一艘小船在观测点A北偏西60°的方向上航行，一段时间后，到达点C处，此时，从观测点B测得小船在北偏西15°方向上．求点C与点B之间的距离．（结果保留根号）
21．为了美化环境，建设最美西安，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用为y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为100元/m2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少费用为多少元？
22．甲、乙、丙、丁4人聚会，吗，每人带了一件礼物，4件礼物从外盒包装看完全相同，将4件礼物放在一起．
（1）甲从中随机抽取一件，则甲抽到不是自己带来的礼物的概率是 ；
（2）甲先从中随机抽取一件，不放回，乙再从中随机抽取一件，求甲、乙2人抽到的都不是自己带来的礼物的概率．
23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点O为AB上一点，且3AO=AB，以OA为半径作半圆O，交AC于点D，AB于点E，DE与OC相交于F．
（1）求证：CB与⊙O相切；
（2）若AB=6，求DF的长度．
24．已知抛物线L：y=ax2+bx+3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）若将抛物线L沿y轴平移后得到抛物线L′，抛物线L′经过点E（4，1），与y轴的交点为C′，顶点为D′，在抛物线L′上是否存在点M，使得△MCC′的面积是△MDD′面积的2倍？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．发现问题：如图1，直线a∥b，点B、C在直线b上，点D为AC的中点，过点D的直线与a，b分别相交于M、N两点，与BA的延长线交于点P，若△ABC的面积为1，则四边形AMNB的面积为 ；
探究问题：如图2，Rt△ABC中，∠DAC=∠BAC，DA=2，求△ABC面积的最小值；
拓展应用：如图3，矩形花园ABCD的长AD为400米，宽CD为300米，供水点E在小路AC上，且AE=2CE，现想沿BC上一点M和CD上一点N修一条小路MN，使得MN经过E，并在四边形AMCN围城的区域内种植花卉，剩余区域铺设草坪根据项目的要求种植花卉的区域要尽量小．请根据相关数据求出四边形AMCN面积的最小值，及面积取最小时点M、N的位置．（小路的宽忽略不计）
参考答案与试题解析
1. 【分析】根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个．
【解答】解：9的平方根有：±=±3．
故选：C．
【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
2. 【分析】找到从几何体的上面看所得到的图形即可．
【解答】解：这个几何体的俯视图为
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3. 【分析】根据积的乘方、合并同类项、整式的乘法、除法，即可解答．
【解答】解：A、（-3mn）2=9m2n2，故错误；
B、4x4+2x4+x4=7x4，故错误；
C、正确；
D、（a-b）（-a-b）=-（a2-b2）=b2-a2，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查了积的乘方、合并同类项、整式的乘法、除法，解决本题的关键是熟记相关法则．
4. 【分析】如图，延长AC交BD于H．求出∠CHB即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AC交BD于H．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB=∠CBD+∠CHB，∠CBD=15°，
∴∠CHB=45°，
∵AE∥BD，
∴∠EAC=∠CHB=45°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5. 【分析】由正比例函数y=kx可得k=，将点A与B代入可得，求出b=2a-4，再将A点代入即可求解．
【解答】解：由正比例函数y=kx可得k=，
∵图象经过点A（a-2，b）和点B（a，b+4），
∴，
∴b=2a-4，
∴A（a-2，2a-4），
将点A代入y=kx可得2a-4=k（a-2），
∴k=2，
故选：C．
【点评】本题考查正比例函数的性质；能够根据已知点建立方程求出b=2a-4是解题的关键．
6. 【分析】根据∠ECD=∠DCB-∠ECB，求出∠DCB，∠ECB即可．
【解答】解：∵∠ACB=180°-∠A-∠B=90°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=×90°=45°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°-65°=25°，
∴∠ECD=45°-25°=20°．
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7. 【分析】设直线l2的点（x，y），则（2-x，-y）在直线l1：y=-x+1上，代入可得直线l2解析式，根据直线l1与直线l2的解析式即可判断．
【解答】解：设直线l2的点（x，y），则（2-x，-y）在直线l1：y=-x+1上，
∴-y=-（2-x）+1，
∴直线l2的解析式为：y=-（x-2）+1，
∴将l1向右平移2个单位得到l2，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，求得直线l2的解析式是解题的关键．
8. 【分析】由菱形的性质可知对角线垂直且互相平分，由矩形的性质可知对角线又互相平分且相等，再加上EF=BD，可以得到OA=OC=OE=OF=OB=BD，设OA=x，用勾股定理可以表示出AE、AD，进而求出他们的比值，再做出选择．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵AFCE是矩形，
∴AC=EF=2OF=2OE，
又∵EF=BD，
∴OA=OF，OB=2OA，
设OA=x，则OE=x，OB=2x，
在Rt△AOE和Rt△AOB中，
，
故选：A．
【点评】考查菱形的性质、矩形的性质、直角三角形的勾股定理等知识，合理的转化以及设参数是解决问题常用方法．
9. 【分析】连接BC，根据圆周角定理求得∠ABC的度数，然后根据直角三角形的锐角互余即可求解．
【解答】解：连接BC，
∵∠AOC=110°，
∴∠ABC=∠AOC═55°，
∵CD⊥AB，
∴∠BEC=90°，
∴∠BCD=90°-55°=35°，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理以及圆周角定理，根据圆周角定理把求∠ABD的问题转化成求等腰三角形的底角的问题．
10. 【分析】①由m＜0即可判断出①；②令y=mx2+（m-4）x+2=0，求出根的判别式△＞0，判断②；③求出抛物线的对称轴，即可判断③；④根据顶点坐标式求出抛物线的顶点，然后根据顶点纵坐标判断④．
【解答】解：①∵m＜0，∴二次函数的图象开口向下，故①正确，
②令y=mx2+（m-4）x+2=0，求△=（m-8）2-48，
∵m＜0，
∴△=（m-8）2-48＞0，
∴二次函数与x轴有两个交点，故②正确，
③抛物线开口向下，对称轴，
∵，
∴，
所以当时，y随x的增大而增大，故③错误，
④y=mx2+（m-4）x+2，
∵，
∴，
∴二次函数图象顶点的纵坐标大于等于6，故④正确，
正确的结论有①②④，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握抛物线的图象以及二次函数的性质，此题难度一般．
11. 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最小整数解即可．
【解答】解：，
x-4＞8-2x，
3x＞12
x＞4，
故不等式的最小整数解为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
12. 【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABC≌△AED，AC=AD，AB=BC=AE=ED，先求出∠BAC和∠DAE的度数，再求∠CAD就很容易了．
【解答】解：根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，
∴∠CAB=∠DAE=（180°-108°）=36°，
∴∠CAD=108°-36°-36°=36°．
【点评】本题考查了正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．
13【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征得出，解方程组即可求得m、n的值，从而求得mn的值．
【解答】解：由题意得，
①-②得，=2，解得n=8，
把n=8代入①求得m=6，
∴mn=48，
故答案为48．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，根据题意得到关于m、n的方程组是解题的关键．
14.【分析】如图，作点C关于直线B的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH=AD，连接EH，BH，DE．想办法证明AF=DE=EH，BE+AF的最小值转化为EH+EB的最小值．
【解答】解：如图，作点C关于直线B的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH=AD，连接EH，BH，DE．
∵CA=CB，∠C=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵C，D关于AB对称，
∴DA=DB，∠DAB=∠CAB=45°，∠ABD=∠ABC=45°，
∴∠CAD=∠CBD=∠ADC=∠C=90°，
∴四边形ACBD是矩形，
∵CA=CB，
∴四边形ACBD是正方形，
∵CF=AE，CA=DA，∠C=∠EAD=90°，
∴△ACF≌△DAE（SAS），
∴AF=DE，
∴AF+BE=ED+EB，
∵CA垂直平分线段DH，
∴ED=EH，
∴AF+BE=EB+EH，
∵EB+EH≥BH，
∴AF+BE的最小值为线段BH的长，BH=，
∴AF+BE的最小值为2，
故答案为2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
15. 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=3-（2-）+8
=3-2++8
=4+6．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16. 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：1-x-2x+4=3，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17. 【分析】由折叠可得，折痕所在直线垂直平分对称点的连线AC，故作线段AC的垂直平分线EF，则EF即为所求．
【解答】解：如图所示，连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，则EF即为所求．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，利用轴对称的性质是解决问题的关键．
18. 【分析】根据平行线的性质可得∠C=∠B，再根据等式的性质可得CF=BE，然后利用SAS判定△AEB≌△DFC，根据全等三角形对应边相等可得∠AEB=∠DFC即可解决问题．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠C=∠B，
∵CE=BF，
∴CE+EF=FB+EF，
即CF=BE，
在△AEB和△DFC中
，
∴△AEB≌△DFC（SAS），
∴∠AEB=∠DFC，
∴AE∥DF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19. 【分析】（1）由B组人数为100且A、B两组捐款人数的比为1：5可得a的值，用A、B组人数和除以其所占百分比可得总人数；
（2）先求出C组人数，继而可补全图形；
（3）先求出抽查的500名学生的平均捐款数，再乘以总人数可得．
【解答】解：（1）a=100×=20，
本次调查样本的容量是：（100+20）÷（1-40%-28%-8%）=500，
故答案为：20，500；
（2）∵500×40%=200，
∴C组的人数为200，
补全“捐款人数分组统计图1”如右图所示；
（3）∵A组对应百分比为×100%=4%，B组对应的百分比为×100%=20%，
∴抽查的500名学生的平均捐款数为5×4%+15×20%+25×40%+35×28%+50×8%=27（元），
则估计此次活动可以筹得善款的金额大约为2000×27=54000（元）．
【点评】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20. 【分析】作BH⊥AC于H，根据含30°的直角三角形的性质求出BH，根据等腰直角三角形的性质求出BC．
【解答】解：作BH⊥AC于H，
由题意得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，
∴∠C=180°-105°-30°=45°，
∵∠AHB=90°，∠BAC=30°，
∴BH=AB=1，
在Rt△BCH中，∠C=45°，
∴BC=BH=（千米），
答：点C与点B之间的距离为千米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21. 【分析】（1）y与x之间的函数关系是分段函数关系，当0＜x≤200时，y与x是正比例函数，当x＞200时，y与x是一次函数，可分别用待定系数法求出其函数关系式；
（2）根据题意，可以确定自变量的取值范围，在自变量的取值范围内，依据函数的增减性确定种植面积和最小值的问题．
【解答】解：（1）当0＜x≤200时，y与x是正比例函数，由于过（200，24000）
∴k=120
∴y与x之间的函数关系式为：y=120x （0＜x≤200），
当x＞200时，y与x是一次函数，由于过（200，24000），（300，32000）
设y=kx+b，代入得：，解得：k=80，b=8000，
∴y与x之间的函数关系式为：y=80x+8000 （x≥200），
答：y与x之间的函数关系式为：y=．
（2）由题意得：，解得：200≤x≤800，
又∵y=80x+8000 （x≥200），
∴y随x的增大而增大，
当x=200时，y最小=200×80+8000=24000元，此时，甲花卉种200m2，乙花卉种1000m2，
答：甲花卉种200m2，乙花卉种1000m2，才能使种植费用最少，最少费用为24000元．
【点评】考查一次函数的性质，待定系数法求函数的关系式，一元一次不等式组应用等知识，正确地掌握这些知识，是解决问题的前提和基础．
22. 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出答案；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）甲抽到不是自己带来的礼物的概率为：；
故答案为：；
（2）设甲、乙、丙、丁4人的礼物分别记为a、b、c、d，
根据题意画出树状图如图：
一共有12种等可能的结果，甲、乙2人抽到的都不是自己带来的礼物的结果有7个，
∴甲、乙2人抽到的都不是自己带来的礼物的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 【分析】（1）过O作OH⊥BC与H，根据直角三角形的性质得到OH=OB，证得OH=OA，于是得到结论；
（2）解直角三角形得到BC=AB=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：过O作OH⊥BC与H，
∵∠ACB=90°，
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）初步核算并经国家统计局核定，2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元，比上年增长7.5%．将90000亿元用科学记数法表示应为（ ）元．
A．9×1011 B．9×104 C．9×1012 D．9×1010
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．2的相反数是2 B．2的绝对值是2
C．2的倒数是2 D．2的平方根是2
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a2）3＝a5
C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（3分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是（ ）
A．75° B．85° C．60° D．65°
7．（3分）如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
8．（3分）有三张正面分别写有数字﹣1，﹣2，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）点A（t，2）在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．2 D．3
10．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在AD上，且AE＝1，点P是线段AB上一动点，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN，过点P作PQ⊥AB，交MN所在的直线于点Q．设x＝AP，y＝PQ，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2＝x的解是 ．
12．（4分）因式分解：3x2+6x+3＝ ．
13．（4分）把抛物线y＝2x2﹣1向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为 ．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝14cm，BD＝8cm，AD＝6cm，则△OBC的周长是 ．
15．（4分）在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，的值为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：﹣|﹣3|+﹣4cos30°
18．（6分）先化简，后求值：（x﹣）÷，其中x＝2．
19．（6分）已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°（如图）．
（1）请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）证明：△ABC∽△BDC．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：
（1）本次接受问卷调查的学生总人数是 ；
（2）补全折线统计图．
（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为 ，m的值为 ；
（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．
21．（7分）某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
22．（7分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．
（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；
（2）当∠BAE＝30°时，求CF的长．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（b为常数）与反比例函数y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C，且OB＝AB．
（1）如图①，若点A的坐标为（6，0）时，求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）如图①，若∠OBA＝90°，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下中，如图②，△PA1A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，斜边A1A都在x轴上，求点A1的坐标．
24．（9分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．
（1）求证：BC是⊙D的切线；
（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，若AB＝2，求图中阴影部分的面积；
（3）假设圆的半径为r，⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动，且∠FDM＜90°，连接DM，MF，当S四边形DFHM：S四边形ABCD＝3：4时，求动点M经过的弧长．
25．（9分）如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，），点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
（1）求a，c的值；
（2）求线段DE的长度；
（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．
【解答】解：只有选项C连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合．
故选：C．
【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合，和正奇边形有关的一定不是中心对称图形．
2．（3分）初步核算并经国家统计局核定，2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元，比上年增长7.5%．将90000亿元用科学记数法表示应为（ ）元．
A．9×1011 B．9×104 C．9×1012 D．9×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：90000亿＝9×1012，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．2的相反数是2 B．2的绝对值是2
C．2的倒数是2 D．2的平方根是2
【分析】根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答即可．
【解答】解：A、2的相反数是﹣2，错误；
B、2的绝对值是2，正确；
C、2的倒数是，错误；
D、2的平方根是±，错误；
故选：B．
【点评】此题考查了实数的性质，关键是根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a2）3＝a5
C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝a6，不符合题意；
C、原式＝a，符合题意；
D、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
5．（3分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据数轴判断即可．
【解答】解：由数轴可得：﹣2＜x≤1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是（ ）
A．75° B．85° C．60° D．65°
【分析】先根据平行线的性质，得出∠3的度数，再根据三角形外角性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，∵DE∥BC，
∴∠2＝∠3＝115°，
又∵∠3是△ABC的外角，
∴∠1＝∠3﹣∠A＝115°﹣30°＝85°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
7．（3分）如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】利用平行线的性质即可求得∠C的度数，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠O的度数，再利用三角形的外角的性质即可求解．
【解答】解：∵OC∥AB，
∴∠C＝∠A＝20°，
又∵∠O＝2∠A＝40°，
∴∠1＝∠O+∠C＝20°+40°＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理与平行线的性质定理，正确利用圆周角定理求得∠O的度数是关键．
8．（3分）有三张正面分别写有数字﹣1，﹣2，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中点（a，b）在第二象限的有2种结果，
所以点（a，b）在第二象限的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
9．（3分）点A（t，2）在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．2 D．3
【分析】如图，作AE⊥x轴于E．根据tan∠AOE＝＝，构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E．
由题意：tan∠AOE＝＝，
∵A（t，2），
∴AE＝2，OE＝﹣t，
∴＝，
∴t＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在AD上，且AE＝1，点P是线段AB上一动点，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN，过点P作PQ⊥AB，交MN所在的直线于点Q．设x＝AP，y＝PQ，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】过点E作EF⊥QP，垂足为F，连接EQ．由翻折的性质可知QE＝QP，从而可表示出QF、EF、EQ的长度，然后在△EFQ中利用勾股定理可得到函数的关系式．
【解答】解：如图所示，过点E作EF⊥QP，垂足为F，连接EQ．
由翻折的性质可知：EQ＝QP＝y．
∵∠EAP＝∠APF＝∠PFE＝90°，
∴四边形EAPF是矩形．
∴EF＝AP＝x，PF＝EA＝1．
∴QF＝QP﹣PF＝y﹣1．
在Rt△EFQ中，由勾股定理可知：EQ2＝QF2+EF2，即y2＝（y﹣1）2+x2．
整理得：y＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质和判定、勾股定理的应用，表示出QF、EF、EQ的长度，在△EFQ中利用勾股定理列出函数关系式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
12．（4分）因式分解：3x2+6x+3＝ 3（x+1）2 ．
【分析】原式提取3，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2+2x+1）＝3（x+1）2，
故答案为：3（x+1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（4分）把抛物线y＝2x2﹣1向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为 y＝2x2 ．
【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加1即可得新函数解析式y＝2x2．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣1向上平移一个单位长度，
∴新抛物线为y＝2x2．
故答案为y＝2x2．
【点评】此题比较容易，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝14cm，BD＝8cm，AD＝6c
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