课02-复变函数pt课件市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

一、复变函数定义一、复变函数定义1.复变函数定义复变函数定义:1.4 复变函数1第1页第1页2.单单(多多)值函数定义值函数定义:3.定义集合和函数值集合定义集合和函数值集合:2第2页第2页4.复变函数与实变量之间关系复变函数与实变量之间关系:比如比如,3第3页第3页二、映射概念二、映射概念1.引入引入:4第4页第4页5第5页第5页3.两个特殊映射两个特殊映射:6第6页第6页且是全同图形且是全同图形.7第7页第7页8第8页第8页依据复数乘法公式可知依据复数乘法公式可知,9第9页第9页(下列页图下列页图)10第10页第10页 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形同一个长方形.11第11页第11页以原点为焦点以原点为焦点,开口相左抛物线开口相左抛物线.(图中红色曲线图中红色曲线)以原点为焦点以原点为焦点,开口相右抛开口相右抛物线物线.(图中蓝色曲线图中蓝色曲线)12第12页第12页4.反函数定义反函数定义:13第13页第13页依据反函数定义依据反函数定义,当反函数为单值函数时当反函数为单值函数时,此后不再区别函数与映射此后不再区别函数与映射.14第14页第14页设函数 定义域为 ，函数 定义域为 ，值域 .若对任一 ，通过 有拟定与之相应，从而通过 有拟定 值与 相应，按照函数定义，在 中拟定了 是 函数，记作 ，称其为 与 复合函数.5.复合函数定义复合函数定义:15第15页第15页解解三、典型例题三、典型例题例例1 1还是线段还是线段.16第16页第16页例例1 1解解17第17页第17页例例1 1解解仍是扇形域仍是扇形域.18第18页第18页例例2 2解解19第19页第19页因此象参数方程为因此象参数方程为20第20页第20页四、小结与思考四、小结与思考 复变函数以及映射概念是本章一个重点复变函数以及映射概念是本章一个重点.注意：注意：复变函数与一元实变函数定义完全同样复变函数与一元实变函数定义完全同样,只要将后者定义中只要将后者定义中“实数实数”换为换为“复数复数”就行了就行了.21第21页第21页思考题思考题“函数函数”、“映射映射”、“变换变换”等名词有无等名词有无区别？区别？22第22页第22页思考题答案思考题答案 在复变函数中在复变函数中,对对“函数函数”、“映射映射”、“变换变换”等名词使用等名词使用,没有本质上区别没有本质上区别.只是函数只是函数普通是就数相应而言普通是就数相应而言,而映射与变换普通是就而映射与变换普通是就点相应而言点相应而言.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.23第23页第23页一、指数函数一、指数函数1.指数函数定义指数函数定义:1.5 初等函数2.指数函数性质指数函数性质:24第24页第24页(2)模与幅角性质模与幅角性质:指数函数定义等价于关系式指数函数定义等价于关系式:25第25页第25页(3)运算性质运算性质:证证26第26页第26页例例1 解解27第27页第27页28第28页第28页例例2 解解求出下列复数辐角主值求出下列复数辐角主值:29第29页第29页30第30页第30页31第31页第31页例例3 解解32第32页第32页二、对数函数二、对数函数1.对数函数定义对数函数定义2.对数函数性质对数函数性质(1)多值性质33第33页第33页其余各值为其余各值为特殊地特殊地,(2)回归性质34第34页第34页例例4 解解注意注意:在实变函数中在实变函数中,负数无对数负数无对数,而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数拓广数函数是实变数对数函数拓广.(3)负数性质35第35页第35页例例5解解36第36页第36页例例6解解37第37页第37页38第38页第38页(4)运算性运算性质质39第39页第39页三、乘幂三、乘幂 与幂函数与幂函数1.乘幂定义乘幂定义注意注意:40第40页第40页41第41页第41页特殊情况特殊情况:42第42页第42页2.幂函数定义幂函数定义43第43页第43页例例7 7解解答案答案课堂练习课堂练习44第44页第44页例例8 8解解45第45页第45页46第46页第46页四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数1.三角函数定义三角函数定义将两式相加与相减将两式相加与相减,得得现在把余弦函数和正弦函数定义推广到自变数现在把余弦函数和正弦函数定义推广到自变数取复值情况取复值情况.47第47页第47页48第48页第48页例例9 9解解49第49页第49页相关正弦函数和余弦函数几组主要公式相关正弦函数和余弦函数几组主要公式50第50页第50页(注意：这是与实变函数完全不同)51第51页第51页其它复变数三角函数定义其它复变数三角函数定义52第52页第52页例例1010解解53第53页第53页例例1111解解54第54页第54页例例1212解解55第55页第55页56第56页第56页2.双曲函数定义双曲函数定义57第57页第57页它们导数分别为它们导数分别为并有下列公式并有下列公式:它们都是以它们都是以 为周期周期函数为周期周期函数,58第58页第58页例例1313解解59第59页第59页五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数定义反三角函数定义两端取对数得两端取对数得60第60页第60页 同样能够定义反正弦函数和反正切函数同样能够定义反正弦函数和反正切函数,重复以上环节重复以上环节,能够得到它们表示式能够得到它们表示式:2.反双曲函数定义反双曲函数定义61第61页第61页例例1414解解62第62页第62页六、小结与思考六、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内自然推广,它既保持了后者一些基本性质,又有一些与后者不同特性.如:1.指数函数含有周期性指数函数含有周期性2.负数无对数结论不再成立负数无对数结论不再成立3.三角正弦与余弦不再含有有界性三角正弦与余弦不再含有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数双曲正弦与余弦都是周期函数63第63页第63页思考题思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同哪些异同?64第64页第64页思考题答案思考题答案 两者在函数奇偶性、周期性、可导性上是类两者在函数奇偶性、周期性、可导性上是类似似,并且导数形式、加法定理、正余弦函数平方和并且导数形式、加法定理、正余弦函数平方和等公式也有相同形式等公式也有相同形式.最大区别是最大区别是,实变三角函数中实变三角函数中,正余弦函数都正余弦函数都是有界函数是有界函数,但在复变三角函数中但在复变三角函数中,放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.65第65页第65页