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2013年山东省枣庄市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．﹣|﹣3|＝﹣3 B．30＝0 C．3﹣1＝﹣3 D．＝±3
2．（3分）如图，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为（　　）

A．140° B．60° C．50° D．40°
3．（3分）估计的值在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
4．（3分）化简的结果是（　　）
A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x
5．（3分）某商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为（　　）
A．240元 B．250元 C．280元 D．300元
6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）

A．20 B．12 C．14 D．13
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞1
8．（3分）对于非零的实数a、b，规定a⊕b＝﹣．若2⊕（2x﹣1）＝1，则x＝（　　）
A． B． C． D．﹣
9．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
10．（3分）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
11．（3分）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　）
A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
12．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
13．（4分）若a2﹣b2＝，a﹣b＝，则a+b的值为　 　．
14．（4分）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是　 　．

15．（4分）从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数，那么组成的两位数是3的倍数的概率是　 　．
16．（4分）从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积为　 　．

17．（4分）已知正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为　 　．
18．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝　 　．

三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）先化简，再求值：÷（m+2﹣）．其中m是方程x2+3x﹣1＝0的根．
20．（8分）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；
（2）在图2中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画一个即可）．

21．（8分）“六•一”前夕，质检部门从某超市经销的儿童玩具、童车和童装中共抽查了300件儿童用品．以下是根据抽查结果绘制出的不完整的统计表和扇形图：
类别
儿童玩具
童车
童装
抽查件数
90

请根据上述统计表和扇形图提供的信息，完成下列问题：
（1）补全上述统计表和扇形图；
（2）已知所抽查的儿童玩具、童车、童装的合格率分别为90%、88%、80%，若从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，买到合格品的概率是多少？

22．（8分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：＝1.73，＝1.41）；
（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．

23．（8分）如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB∥OC，∠AOC＝90°，∠BCO＝45°，BC＝12，点C的坐标为（﹣18，0）
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE＝4，OD＝2BD，求直线DE的解析式．

24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC＝∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝AD•AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

2013年山东省枣庄市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．【分析】A、根据绝对值的定义计算即可；
B、任何不等于0的数的0次幂都等于1；
C、根据负整数指数幂的法则计算；
D、根据算术平方根计算，直接求9的算术平方根即可．
再比较结果即可．
【解答】解：A、﹣|﹣3|＝﹣3，此选项正确；
B、30＝1，此选项错误；
C、3﹣1＝，此选项错误；
D、＝3，此选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值、零指数幂、算术平方根、负整数指数幂，解题的关键是掌握这些运算的运算法则．
2．【分析】先求出∠CDE的邻补角，再根据两直线平行，内错角相等解答．
【解答】解：∵∠CDE＝140°，
∴∠ADC＝180°﹣140°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
3．【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出的范围．
【解答】解：∵2＝＜＝3，
∴3＜＜4，
故选：B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．
4．【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．
【解答】解：＝﹣
＝
＝
＝x，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
5．【分析】设这种商品每件的进价为x元，则根据按标价的八折销售时，仍可获利l0%，可得出方程，解出即可．
【解答】解：设这种商品每件的进价为x元，
由题意得：330×0.8﹣x＝10%x，
解得：x＝240，即这种商品每件的进价为240元．
故选：A．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是根据题意列出方程，难度一般．
6．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD＝BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝CE＝AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝4+5+5＝14．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
7．【分析】根据根的判别式的意义得到△＝22﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝22﹣4m＞0，
解得m＜1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8．【分析】根据新定义得到﹣＝1，然后把方程两边都乘以2（2x﹣1）得到2﹣（2x﹣1）＝2（2x﹣1），解得x＝，然后进行检验即可．
【解答】解：∵2⊕（2x﹣1）＝1，
∴﹣＝1，
去分母得2﹣（2x﹣1）＝2（2x﹣1），
解得x＝，
检验：当x＝时，2（2x﹣1）≠0，
故分式方程的解为x＝．
故选：A．
【点评】本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解．也考查了阅读理解能力．
9．【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，
则面积是（a﹣b）2．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．
10．【分析】当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连结OP，根据切线的性质得OP⊥AP，由OB＝AB得OA＝2OP，然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到此时∠OAP的度数．
【解答】解：当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连结OP，如图，
则OP⊥AP，
∵OB＝AB，
∴OA＝2OP，
∴∠PAO＝30°．
故选：D．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
11．【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．
【解答】解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），
所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．
12．【分析】利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DE＝DG，可以求出DE，进而得到DG的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，
∴DM＝AD＝DC＝1，
∴CM＝＝，
∴ME＝MC＝，
∵ED＝EM﹣DM＝﹣1，
∵四边形EDGF是正方形，
∴DG＝DE＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理的运用，属于基础题目．
二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
13．【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a﹣b的值代入即可求出a+b的值．
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝，a﹣b＝，
∴a+b＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
14．【分析】通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形为中心对称图形．
【解答】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．
故答案为：②．

【点评】本题考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，一个图形绕端点旋转180°所形成的图形叫中心对称图形．
15．【分析】分析可得：从1，2，3，4中任取一个数作为十位上的数，再从2，3，4中任取一个数作为个位上的数，共12种取法，其中4个两位数是3的倍数，故其概率为．
【解答】解：P（两位数是3的倍数）＝4÷12＝．
故本题答案为：．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
16．【分析】根据几何体表面积的计算公式，从正方体毛坯一角挖去一个小正方体得到的零件的表面积等于原正方体表面积，即可得出答案．
【解答】解：挖去一个棱长为1的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，
则表面积是2×2×6＝24．
故答案为：24．
【点评】此题考查了几何体的表面积，本题有多种解法，一种是把每个面的面积计算出来然后相加，这样比较麻烦，另一种算法就是解答中的这种，这种方法的关键是能想象出得到的图形与原图形表面积相等．
17．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：根据中心对称的性质可知另一个交点的坐标是：（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．
18．【分析】可设AD＝x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【解答】解：∵AB＝1，
设AD＝x，则FD＝x﹣1，FE＝1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴＝，＝，
解得x1＝，x2＝（不合题意舍去），
经检验x1＝是原方程的解．
故答案为．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．【分析】先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2+3x﹣1＝0的根，那么m2+3m﹣1＝0，可得m2+3m的值，再把m2+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝
＝；
∵m是方程x2+3x﹣1＝0的根．
∴m2+3m﹣1＝0，
即m2+3m＝1，
∴原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入．
20．【分析】（1）利用网格结构，过点A的竖直线与过点B的水平线相交于点C，连接即可，或过点A的水平线与过点B的竖直线相交于点C，连接即可；
（2）根据网格结构，作出BD＝AB或AB＝AD，连接即可得解．
【解答】解：（1）如图1，①、②，画一个即可；
（2）如图2，①、②，画一个即可．

【点评】本题考查了应用与设计作图，（1）中作直角三角形时根据网格的直角作图即可，比较简单，（2）中根据网格结构作出与AB相等的线段是解题的关键，灵活性较强．
21．【分析】（1）根据童车的数量是300×25%，童装的数量是300﹣75﹣90，儿童玩具占得百分比是×100%，童装占得百分比1﹣30%﹣25%＝45%，即可补全统计表和统计图；
（2）先分别求出儿童玩具、童车、童装中合格的数量之和，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）解：（1）童车的数量是300×25%＝75，
童装的数量是300﹣75﹣90＝135，
儿童玩具占得百分比是×100%＝30%，
童装占得百分比1﹣30%﹣25%＝45%，
如图；
类别
儿童玩具
童车
童装
抽查件数
90
75
135
；

（2）根据题意得出：
＝0.85．
答：从该超市这三类儿童用品中随机购买一件买到合格品的概率是0.85．

【点评】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图能够清楚地表示各部分所占的百分比．
22．【分析】（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；
（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．
【解答】解：（1）由題意得，
在Rt△ADC中，AD＝＝≈36.33（米），…2分
在Rt△BDC中，BD＝≈12.11（米），…4分
则AB＝AD﹣BD＝36.33﹣12.11＝24.22≈24.2（米）…6分

（2）超速．
理由：∵汽车从A到B用时2秒，
∴速度为24.2÷2＝12.1（米/秒），
∵12.1×3600＝43560（米/时），
∴该车速度为43.56千米/小时，…9分
∵大于40千米/小时，
∴此校车在AB路段超速．…10分
【点评】此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．
23．【分析】（1）先过点B作BF⊥x轴于F，根据∠BCO＝45°，BC＝，求出CF＝BF的长，再根据点C的坐标，求出AB＝OF的值，从而求出点B的坐标．
（2）先过点D作DG⊥y轴于点G，根据AB∥DG，得出△ODG∽△OBA，再根据AB＝6，OA＝12，求出DG与OG的值，从而求出点D与点E的坐标，最后设直线DE的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把D与E点的坐标代入，即可求出直线DE的解析式．
【解答】解：（1）过点B作BF⊥x轴于F，
在Rt△BCF中，∠BCO＝45°，
∴∠CBF＝45°，
∵BC＝，
∴CF＝BF＝12，
∵点C的坐标为（﹣18，0），
∴AB＝OF＝18﹣12＝6．
∴点B的坐标为（﹣6，12）．

（2）过点D作DG⊥y轴于点G．
∵AB∥DG，
∴△ODG∽△OBA，
∴＝＝＝，
∵AB＝6，OA＝12，
∴DG＝4，OG＝8．
∴D（﹣4，8），E（0，4），
设直线DE的解析式为y＝kx+b（k≠0），将D（﹣4，8），E（0，4）代入，得
，
解得 ，
∴直线DE解析式为y＝﹣x+4．

【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质，关键是根据相似求出线段的长度得出点的坐标．
24．【分析】（1）连接OC，根据OA＝OC推出∠BAC＝∠OCA＝∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切线的判定推出即可；
（2）证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案；
（3）求出等边三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC为半径，
∴EF是⊙O的切线．

（2）证明：连接BC，
∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，
∴∠BCA＝∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴△ACB∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB．

（3）解：∵∠ACD＝30°，∠OCD＝90°，
∴∠OCA＝60°，
∵OC＝OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC＝OA＝OC＝2，∠AOC＝60°，
∵在Rt△ACD中，AD＝AC＝×2＝1，
由勾股定理得：DC＝，
∴阴影部分的面积是S＝S梯形OCDA﹣S扇形OCA＝×（2+1）×﹣＝﹣π．

【点评】本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，梯形的性质，扇形的面积等知识点的应用，主要考查学生能否运用性质进行推理和计算，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
25．【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得，
解得：；
所以二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3

（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO；
连接PP′，则PE⊥CO于E，
∵C（0，﹣3），
∴CO＝3，
又∵OE＝EC，
∴OE＝EC＝
∴y＝；
∴x2﹣2x﹣3＝
解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为（，）

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y＝kx+d，
则，
解得：
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
则Q点的坐标为（x，x﹣3）；
当0＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴AO＝1，AB＝4，
S四边形ABPC＝S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
＝AB•OC+QP•BF+QP•OF
＝
＝
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．

【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．
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