2018年辽宁省铁岭市中考数学试卷（解析）.doc

2018年辽宁省铁岭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣3的绝对值是：3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣b2）3＝﹣b6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
4．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得从下到上第一层有2个正方形，第二层有1个正方形，第三层有1个正方形，如图所示：．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识．注意主视图是指从物体的正面看物体．
5．【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：A．x2+1＝0中△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，没有实数根；
B．x2﹣2x+1＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
C．x2+2x+4＝0中△＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，没有实数根；
D．x2﹣x﹣3＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，有两个不相等的实数根；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6．【分析】8张看上去无差别的卡片中有4张卡片是偶数，根据概率公式可计算出从中任意抽取一张，抽到偶数的概率．
【解答】解：∵共有8张无差别的卡片，其中偶数有2、4、6、8，共4张，
∴从中任意抽取一张卡片数字是偶数的概率是＝；
故选：C．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；关键是找出卡片中偶数的个数．
7．【分析】根据平行线的性质，知∠3的度数，再根据邻补角得出∠2＝150°．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝30°，
∴∠3＝∠1＝30°，
又∵∠3+∠2＝180°，
∴∠2＝150°，
故选：C．

【点评】此题考查平行线的性质，关键是能够明确各个角之间的位置关系．熟练运用平行线的性质以及邻补角的性质．
8．【分析】根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解：∵在这6个数中，30（℃）出现了3次，出现的次数最多，
∴该日最高气温（℃）的众数是30；
把这组数据按照从小到大的顺序排列为：29，29，30，30，30，31，
则中位数为：＝30；
故选：B．
【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9．【分析】根据AC：BD＝3：4和菱形对角线的性质得：AO：OB＝3：4，设AO＝3x，OB＝4x，则AB＝5x，由S菱形ABCD＝，可得AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，
∵AC：BD＝3：4，
∴AO：OB＝3：4，
设AO＝3x，OB＝4x，则AB＝5x，
∵AB＝5，
∴5x＝5，x＝1，
∴AC＝6，BD＝8，
S菱形ABCD＝，
∴，
AE＝，
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用菱形的面积求出AE的长是解题关键．
10．【分析】作CH⊥y轴于H，如图，先利用一次函数解析式确定B（0，2）、A（2，0），D（3，﹣1），则AD＝，再证明△OAB为等腰直角三角形得到∠OAB＝∠ABO＝45°，接着证明△OBC∽△DAO，则利用相似比得到BC＝2，于是利用△BCH为等腰直角三角形求出CH＝BH＝BC＝2，从而得到C（﹣2，4），然后根据反比例函数图象上点的坐标确定k的值．
【解答】解：作CH⊥y轴于H，如图，
当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，则B（0，2）；
当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝2，则A（2，0），
当x＝3时，y＝﹣x+2＝﹣1，则D（3，﹣1），
∴AD＝＝，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠ABO＝45°，
∴∠OBC＝∠OAD＝135°，∠CBH＝45°，
∵∠COD＝135°，
而∠AOB＝90°，
∴∠1+∠2＝45°，
∵∠OAB＝∠2+∠3＝45°，
∴∠1＝∠3，
∴△OBC∽△DAO，
∴＝，即＝，解得BC＝2，
∵△BCH为等腰直角三角形，
∴CH＝BH＝BC＝2，
∴C（﹣2，4），
把C（﹣2，4）代入y＝得k＝﹣2×4＝﹣8．
故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质．
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1200000＝1.2×106，
故答案为：1.2×106．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】先提出公因式mn，再利用平方差公式即可解答．
【解答】解：m3n﹣mn＝mn（m2﹣1）＝mn（m﹣1）（m+1），
故答案为：mn（m﹣1）（m+1）．
【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行分解因式，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
13．【分析】根据方差的意义即方差越小数据越稳定，从而得出答案．
【解答】解：∵甲、乙两名男生6次立定跳远的平均成绩都是2.2米，S甲2＝0.004，S乙2＝0.006，
∴S甲2＜S乙2，
∴两名男生中成绩较稳定的是甲；
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．【分析】分别求出每个不等式的解集，再求其解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得，x≥3，
由②得，x≥4，
所以，不等式组解集为x≥4，
故答案为x≥4．
【点评】此题考查了不等式组的解法，求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
15．【分析】估算得出的范围，进而求出x与y的值，即可求出所求．
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴2＜＜3，即1＜﹣1＜2，
∴x＝1，y＝2，
则x+y＝1+2＝3，
故答案为：3
【点评】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．
16．【分析】根据等腰直角三角形的性质求得点BC、OC的长度，即点B的纵坐标，表示出B′的坐标，代入函数解析式，即可求出答案．
【解答】解：y＝x﹣2，
当y＝0时， x﹣2＝0，
解得：x＝4，
即OA＝4，
过B作BC⊥OA于C，
∵△OAB是以OA为斜边的等腰直角三角形，
∴BC＝OC＝AC＝2，
即B点的坐标是（2，2），
设平移的距离为a，
则B点的对称点B′的坐标为（a+2，2），
代入y＝x﹣2得：2＝（a+2）﹣2，
解得：a＝6，
即△OAB平移的距离是6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形和平移的性质等知识点，能求出B′的坐标是解此题的关键．
17．【分析】先根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OF⊥AB，由垂径可求出AF的长，根据特殊角的三角函数值可求出∠AOF的度数，由圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出答案．
【解答】解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OF⊥AB，则AF＝AB，∠AOF＝∠AOB，
∵OA＝3，AB＝3，
∴AF＝AB＝，
∴sin∠AOF＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOF＝120°，
∴∠ADB＝∠AOB＝×120°＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：60°或120°．

【点评】此题考查的是圆周角定理及垂径定理，解答此题时要注意一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互为补角．
18．【分析】根据两直线的解析式分别求A1、A2…An﹣1与B1、B2、…Bn的坐标坐标，求出A1B1、A2C1等线段的长，然后根据四边形AnBn∁nAn+1是菱形解得即可．
【解答】解：∵l1：y＝x，
∴l1与x轴的夹角为60°，
∵l2：y＝x，
∴l2与x轴的夹角为30°，
∵点B1作l2的垂线交l1于点A2，
∴△A1B1A2是等边三角形，
同理可得△AnBnAn+1等边三角形
∴四边形AnBn∁nAn+1是菱形；
∵OA1＝1，
∴，
∴点A1的坐标为：，
∴；
，解得，
∴点B1的横坐标为，
∴点A2的横坐标为：，
∴OA2＝2，
∴A2A3＝A2B2＝2，A2C1＝A1A2＝1，
∴OA3＝2+2＝4，
∴点A2的纵坐标为，
∴点C1的横坐标为：2，
即点C1的坐标为；
∴点A3的横坐标为2，
∴点C2的横坐标为：2+2＝4，
∵点A3的纵坐标为
∴点C2的横坐标为：，
故点C2的坐标为（22，2），
…
则点∁n的坐标为．
故答案为：
【点评】本题考查数字规律问题，解题的关键根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出AnBn的长的规律，本题属于中等题型．
三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）
19．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝•＝，
当a＝﹣时，原式＝﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】（1）用C类别人数除以其所占百分比可得总人数，用360°乘以B类别人数占总人数的比例即可得；
（2）总人数乘以A类别的百分比求得其人数，用总人数减去A，B，C的人数求得D类别的人数，据此补全图形即可；
（3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为12÷20%＝60（名），
则扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为360°×＝144°．
故答案为：60，144°．

（2）A类别人数为60×15%＝9（人），则D类别人数为60﹣（9+24+12）＝15（人），
补全条形图如下：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的结果数为8，
所以所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
四、解答题（21题12分，22题12分，共24分）
21．【分析】（1）设甲种品牌的足球的单价为x元/个，则乙种品牌的足球的单价为（x+30）元/个，根据数量＝总价÷单价结合用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设这所学校购买m个乙种品牌的足球，则购买（25﹣m）个甲种品牌的足球，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1610元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种品牌的足球的单价为x元/个，则乙种品牌的足球的单价为（x+30）元/个，
根据题意得：＝，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：甲种品牌的足球的单价为50元/个，乙种品牌的足球的单价为80元/个．
（2）设这所学校购买m个乙种品牌的足球，则购买（25﹣m）个甲种品牌的足球，
根据题意得：80m+50（25﹣m）≤1610，
解得：m≤12．
答：这所学校最多购买12个乙种品牌的足球．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠APC＝∠PAB＝30°，根据三角形的内角和得到∠CAP＝180°﹣75°﹣30°＝75°，根据等腰三角形的判定定理得到PC＝AP，过P作PF⊥AB于F，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的判定定理得到CQ＝PQ，过Q作QH⊥PC于H，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵PC∥AB，
∴∠APC＝∠PAB＝30°，
∴∠CAP＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠CAP＝∠PCA，
∴PC＝AP，
过P作PF⊥AB于F，
则PF＝CE＝100，
∴PA＝2PF＝200米；
（2）∵∠PCQ＝∠QPC＝30°，
∴CQ＝PQ，
过Q作QH⊥PC于H，
∴PH＝PC＝100，
∴PQ＝＝米．
答：P，Q两点之间的距离是米．

【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
五、解答题（12分）
23．【分析】（1）设圆心为O，连接OE，AE，根据圆周角定理得到∠AEC＝90°，由等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠DAE，求得∠OEF＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接OB，根据圆周角定理推出△OBC是等边三角形，求得OB＝BC＝2，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：设圆心为O，连接OE，AE，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠CAE＝∠DAE，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝90°，
∴∠EAF+∠AEF＝∠AEF+∠DEF＝90°，
∴∠EAF＝∠DEF，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠OEA＝∠DEF，
∴∠OEA+∠AEF＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接OB，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
∵∠CAD＝30°，
∴∠CAE＝CAD＝15°，
∴∠COE＝2∠CAE＝30°，
∴∠BOE＝90°，
∴的长＝＝π．

【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，弧长的计算，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
六、解答题（12分）
24．【分析】（1）由待定系数法即可得到函数的解析式；
（2）根据销售量×每千克利润＝总利润列出方程求解即可；
（3）根据销售量×每千克利润＝总利润列出函数解析式求解即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
把（2，120）和（4，140）代入得，，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝10x+100；
（2）根据题意得，（60﹣40﹣x）（10x+100）＝2090，
解得：x＝1或x＝9，
∵为了让顾客得到更大的实惠，
∴x＝9，
答：这种干果每千克应降价9元；
（3）该干果每千克降价x元时，商贸公司获利最大，最大利润是w元，
根据题意得，w＝（60﹣40﹣x）（10x+100）＝﹣10x2+100x+2000，
∴w＝﹣10（x﹣5）2+2250，
故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，此类题目主要考查学生分析、解决实际问题能力，又能较好地考查学生“用数学”的意识．
七、解答题（12分）
25．【分析】（1）结论：△AEM是等边三角形，根据三个角是60°的三角形是等边三角形证明即可．
（2）结论：△AEM是等边三角形．想办法证明AM＝AE，∠MAE＝60°即可．
（3）利用勾股定理的逆定理证明∠AEC＝90°，分两种情形分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AP＝PD，PB＝PM，
∴四边形ABDM是平行四边形，
∴∠AME＝∠ABC＝60°，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DEC＝60°，
∴∠AEM＝∠DEC＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
故答案为：等边三角形；

（2）如图2中，结论：△AEM是等边三角形．

理由：设AE交BD于O，AC交BD于K，连接DM．
∵△ABC，△DEC都是等边三角形，
∴CB＝CA，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，∠CBK＝∠OAK，
∵∠BKC＝∠AKO，
∴∠AOK＝∠BCK＝60°，
∵AP＝PD，BP＝PM，
∴四边形ABDM是平行四边形，
∴AM＝BD，AM∥BD，
∴∠AOB＝∠OAM＝60°，AM＝AE，
∴△AEM是等边三角形．

（3）设CD＝a，则AC＝2a，AE＝a，
∴AC2＝AE2+EC2，
∴∠AEC＝90°
①如图3中，当点D在AC的中点时，满足条件，此时α＝60°

②如图4中，当点E落在BC的中点时，满足条件，此时α＝300°．

综上所述，满足条件的α的值为60°或300°．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
八、解答题（14分）
26．【分析】（1）把B点坐标、点C点坐标为代入抛物线y＝﹣x2+bx+c方程，即可求解；
（2）存在．设点P（1，m），由k1k2＝﹣1，即可求解；
（3）设点Q坐标为（t，﹣t2+2t+3），则：AQ所在的直线方程为：y＝（3﹣t）x+（3﹣t），△ACQ的面积与△ABQ的面积相等时，即：S四边形ACQB＝2S△ABQ，即可求解．
【解答】解：（1）把B点坐标、点C点坐标为代入抛物线y＝﹣x2+bx+c方程，
解得，抛物线方程为：y＝﹣x2+2x+3；
点A坐标为（﹣1，0），点D坐标为（2，3），函数的对称轴为x＝1；
（2）存在．设点P（1，m），
直线PD所在直线方程的k值，k1＝＝3﹣m，
直线PB所在直线方程的k值，k2＝＝﹣m，
由k1k2＝﹣1，解得：m＝1或m＝2；
则点P（1，1）或（1，2），则：PD＝或，
则PB＝或2，
tan∠BDN＝＝＝1或；
（3）设点Q坐标为（t，﹣t2+2t+3），
则：AQ所在的直线方程为：y＝（3﹣t）x+（3﹣t），
如图所示，连接CA、QB，过点Q作x轴的垂线QN交x轴于N点，

当△ACQ的面积与△ABQ的面积相等时，
即：S四边形ACQB＝2S△ABQ，
S四边形ACQB＝S梯形CONQ+S△AOC+S△BQN＝（﹣t2+2t+3+3）×t+×1×3+（3﹣t）（﹣t2+2t+3），
＝（﹣t2+3t+4），
S△ABQ＝（3+1）（﹣t2+2t+3），
∵S四边形ACQB＝2S△ABQ，
化简得：5t2﹣7t﹣12＝0，
解得：t＝﹣1或（舍去负值），
当Q在x轴下方时，
由△ACQ的面积与△ABQ的面积相等，
可得：点Q坐标为（4，﹣5），
则点Q坐标为（，）或（4，﹣5）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．