2020年高考真题数学【新高考全国Ⅰ卷】(山东卷)（含解析版）.docx

2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考全国一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合Ax|1x3，Bx|2x4，则AB等于()Ax|2x3 Bx|2x3Cx|1x4 Dx|1x4答案C解析ABx|1x3x|2x4x|1x42.等于()A1 B1 Ci Di答案D解析i.36名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A120种 B90种 C60种 D30种答案C解析先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有CCC60(种)不同的安排方法4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为()A20 B40 C50 D90答案B解析如图所示，O为赤道平面，O1为A点处的日晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40可知OAO140，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与O1所在的面垂直，则晷针AC与水平面所成角为40.5某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A62% B56% C46% D42%答案C解析用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%x)(82%x)x96%，解得x46%.6基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A1.2天 B1.8天 C2.5天 D3.5天答案B解析由R01rT，R03.28，T6，得r0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)2I(t1)，即e0.38t22e0.38t1，所以e0.38(t2t1)2，即0.38(t2t1)ln 2，所以t2t11.8.7已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是()A(2,6) B(6,2) C(2,4) D(4,6)答案A解析如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(1，)设P(x，y)，则(x，y)，(2,0)，且1x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x3.故满足xf(x1)0的x的取值范围是1,01,3二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9已知曲线C：mx2ny21.()A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是两条直线答案ACD解析对于A，当mn0时，有0，方程化为1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确对于B，当mn0时，方程化为x2y2，表示半径为的圆，故B错误对于C，当m0，n0时，方程化为1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a，b，渐近线方程为yx；当m0时，方程化为1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a，b，渐近线方程为yx，故C正确对于D，当m0，n0时，方程化为y，表示两条平行于x轴的直线，故D正确10如图是函数ysin(x)的部分图象，则sin(x)等于()Asin BsinCcos Dcos答案BC解析由图象知，得T，所以2.又图象过点，由“五点法”，结合图象可得，即，所以sin(x)sin，故A错误；由sinsinsin知B正确；由sinsincos知C正确；由sincoscoscos知D错误11已知a0，b0，且ab1，则()Aa2b2 B2abClog2alog2b2 D.答案ABD解析因为a0，b0，ab1，所以ab2，当且仅当ab时，等号成立，即有ab.对于A，a2b2(ab)22ab12ab12，故A正确；对于B,2ab22a122a，因为a0，所以22a1，即2ab，故B正确；对于C，log2alog2blog2ablog22，故C错误；对于D，由()2ab2122，得，故D正确12信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量X所有可能的取值为1,2，n，且P(Xi)pi0(i1,2，n)，i1，定义X的信息熵H(X)ilog2pi.()A若n1，则H(X)0B若n2，则H(X)随着pi的增大而增大C若pi(i1,2，n)，则H(X)随着n的增大而增大D若n2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2，m，且P(Yj)pjp2m1j(j1,2，m)，则H(X)H(Y)答案AC解析对于A，当n1时，p11，H(X)1log210，故A正确；对于B，当n2时，有p1p21，此时，若p1或都有H(X)，故B错误；对于C，当pi(i1,2，n)时，H(X)log2nlog2log2n.显然H(X)随n的增大而增大，故C正确；对于D，方法一当n2m时，H(X)(p1log2p1p2log2p2p2m1log2p2m1p2mlog2p2m)(p1log2p1p2mlog2p2m)(p2log2p2p2m1log2p2m1)(pmlog2pmpm1log2pm1)，H(Y)(p1p2m)log2(p1p2m)(p2p2m1)log2(p2p2m1)(pmpm1)log2(pmpm1)，由于p1log2p1p2mlog2p2mlog2( )log2(p1p2m)p1log2 (p1p2m)log2(p1p2m)，同理可证p2log2p2p2m1log2p2m1(p2p2m1)log2(p2p2m1)，pmlog2pmpm1log2pm1H(Y)方法二(特值法)令m1，则n2，p1，p2.P(Y1)1，H(Y)log210，H(X)0，H(X)H(Y)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|_.答案解析如图，由题意得，抛物线焦点为F(1,0)， 设直线AB的方程为y(x1) 由得3x210x30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以|AB|x1x22.14将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_答案3n22n解析方法一(观察归纳法)数列2n1的各项为1,3,5,7,9,11,13，；数列3n2的各项为1,4,7,10,13，.观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，是首项为1，公差为6的等差数列，则an16(n1)6n5.故前n项和为Sn3n22n.方法二(引入参变量法)令bn2n1，cm3m2，bncm，则2n13m2，即3m2n1，m必为奇数令m2t1，则n3t2(t1,2,3，)atb3t2c2t16t5，即an6n5.以下同方法一15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BCDG，垂足为C，tanODC，BHDG，EF12 cm，DE2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为_ cm2. 答案4解析如图，连接OA，过A作APEF，分别交EF，DG，OH于点P，Q，R.由题意知APEP7，又DE2，EF12，所以AQQG5，所以AHOAGQ.因为OAAH，所以AOH，AOB.设ARx，则ORx，RQ5x.因为tanODC，所以tanODC，解得x2，则OA2.所以SS扇形AOBSAOHS小半圆(2)24212cm2.16已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，BAD60.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_答案解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由BAD60，ABAD，知ABD为等边三角形，D1B1DB2，D1B1C1为等边三角形，则D1E且D1E平面BCC1B1，E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r.又由题意可得EPEQ，球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P，B1P1，同理C1Q1，P，Q分别为BB1，CC1的中点，PEQ，知的长为，即交线长为.四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17在ac，csin A3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，C，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解方案一：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由ac，解得a，bc1.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c1.方案二：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc，BC，A.由csin A3，所以cb2，a6.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c2.方案三：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由cb，与bc矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在18已知公比大于1的等比数列an满足a2a420，a38.(1)求an的通项公式；(2)记bm为an在区间(0，m(mN*)中的项的个数，求数列bm的前100项和S100.解(1)由于数列an是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q，依题意有解得或(舍)所以an的通项公式为an2n，nN*.(2)由于212,224,238,2416,2532,2664，27128，所以b1对应的区间为(0,1，则b10；b2，b3对应的区间分别为(0,2，(0,3，则b2b31，即有2个1；b4，b5，b6，b7对应的区间分别为(0,4，(0,5，(0,6，(0,7，则b4b5b6b72，即有22个2；b8，b9，b15对应的区间分别为(0,8，(0,9，(0,15，则b8b9b153，即有23个3；b16，b17，b31对应的区间分别为(0,16，(0,17，(0,31，则b16b17b314，即有24个4；b32，b33，b63对应的区间分别为(0,32，(0,33，(0,63，则b32b33b635，即有25个5；b64，b65，b100对应的区间分别为(0,64，(0,65，(0,100，则b64b65b1006，即有37个6.所以S10012222323424525637480.19为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：g/m3)，得下表： SO2PM2.50,50(50,150(150,4750,3532184(35,756812(75,1153710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的22列联表： SO2PM2.50,150(150,4750,75(75,115(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2，P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解(1)由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32618864，所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为0.64.(2)由所给数据，可得22列联表： SO2PM2.50,150(150,4750,756416(75,1151010(3)根据22列联表中的数据可得K27.4846.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关20.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l平面PDC；(2)已知PDAD1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值(1)证明在正方形ABCD中，ADBC，因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC，又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBCl，所以ADl，因为在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，所以ADDC，所以lDC，且PD平面ABCD，所以ADPD，所以lPD，因为DCPDD，所以l平面PDC.(2)解以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，如图建立空间直角坐标系Dxyz，因为PDAD1，则有D(0,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1，1,0)，设Q(m,0,1)，则有(0,1,0)，(m,0,1)，(1,1，1)，设平面QCD的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则zm，所以平面QCD的一个法向量为n(1,0，m)，则cosn，.根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于|cosn，|，当且仅当m1时取等号，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.21已知函数f(x)aex1ln xln a.(1)当ae时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)1，求a的取值范围解f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex1.(1)当ae时，f(x)exln x1，f(x)ex，所以f(1)e1，f(1)e1，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x2.直线y(e1)x2在x轴，y轴上的截距分别为，2.因此所求三角形的面积为.(2)当0a1时，f(1)aln a1.当a1时，f(x)ex1ln x，f(x)ex1.当x(0,1)时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)1，从而f(x)1.当a1时，f(x)aex1ln xln aex1ln x1.综上，a的取值范围是1，)22已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点A(2,1)(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值(1)解由题设得1，解得a26，b23.所以C的方程为1.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为ykxm，代入1，得(12k2)x24kmx2m260.于是x1x2，x1x2.由AMAN，得0，故(x12)(x22)(y11)(y21)0，整理得(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)(m1)240.将代入上式，可得(k21)(kmk2)(m1)240，整理得(2k3m1)(2km1)0.因为A(2,1)不在直线MN上，所以2km10，所以2k3m10，k1.所以直线MN的方程为yk(k1)所以直线MN过点P.若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，y1)由0，得(x12)(x12)(y11)(y11)0.又1，所以3x8x140.解得x12(舍去)，x1.此时直线MN过点P.令Q为AP的中点，即Q.若D与P不重合，则由题设知AP是RtADP的斜边，故|DQ|AP|.若D与P重合，则|DQ|AP|.综上，存在点Q，使得|DQ|为定值