2020年高考真题数学【新高考全国Ⅰ卷】(山东卷)（含解析版）.pdf

2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试新高考全国新高考全国 一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合 Ax|1x3，Bx|2x4，则 AB 等于()Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|1x4 Dx|1x4 答案C 解析ABx|1x3x|2x4 x|1x4 2.等于()2i12iA1 B1 Ci Di 答案D 解析i.2i12i2i12i12i12i5i536 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有()A120 种 B90 种 C60 种 D30 种 答案C 解析先从 6 名同学中选 1 名安排到甲场馆，有 C 种选法，再从剩余的 5 名同学中选 2 名安排到乙场馆，有 C1 6种选法，最后将剩下的 3 名同学安排到丙场馆，有 C 种选法，由分步乘法计数原理知，共有 C C C 60(种)2 53 31 62 53 3不同的安排方法 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 40，则晷针与点 A 处的水平面所成角为()A20 B40 C50 D90 答案B 解析如图所示，O 为赤道平面，O1为 A 点处的日晷面所在的平面，由点 A 处的纬度为北纬 40可知OAO140，又点 A 处的水平面与 OA 垂直，晷针 AC 与O1所在的面垂直，则晷针 AC 与水平面所成角为 40.5某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A62%B56%C46%D42%答案C 解析用 Venn 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为 x，则(60%x)(82%x)x96%，解得 x46%.6基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R01rT.有学者基于已有数据估计出 R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 20.69)()A1.2 天 B1.8 天 C2.5 天 D3.5 天 答案B 解析由 R01rT，R03.28，T6，得 r0.38.R01T3.2816由题意，累计感染病例数增加 1 倍，则 I(t2)2I(t1)，即 e0.38t22e0.38t1，所以 e0.38(t2t1)2，即 0.38(t2t1)ln 2，所以 t2t11.8.ln 20.380.690.387已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 的取值范围是()AP AB A(2,6)B(6,2)C(2,4)D(4,6)答案A 解析如图，取 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(1，)33设 P(x，y)，则(x，y)，(2,0)，且1x0 时，要满足 xf(x1)0，则 f(x1)0，得 1x3.故满足 xf(x1)0 的 x 的取值范围是1,01,3 二、选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分)9已知曲线 C：mx2ny21.()A若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B若 mn0，则 C 是圆，其半径为 nC若 mn0，则 C 是两条直线 答案ACD 解析对于 A，当 mn0 时，有 0，方程化为 1，表示焦点在 y 轴上的椭圆，故 A 正确 1n1mx21my21n对于 B，当 mn0 时，方程化为 x2y2，表示半径为的圆，故 B 错误 1n1n对于 C，当 m0，n0 时，方程化为1，表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a，b，渐近x21my21n1m1n线方程为 yx；当 m0 时，方程化为1，表示焦点在 y 轴上的双曲线，其中 a，bmny21nx21m1n，渐近线方程为 yx，故 C 正确 1mmn对于 D，当 m0，n0 时，方程化为 y，表示两条平行于 x 轴的直线，故 D 正确 1n10如图是函数 ysin(x)的部分图象，则 sin(x)等于()Asin Bsin(x3)(32x)Ccos Dcos(2x6)(562x)答案BC 解析由图象知 ，得 T，T22362所以 2.2T又图象过点，(6，0)由“五点法”，结合图象可得 ，即，323所以 sin(x)sin，故 A 错误；(2x23)由 sinsinsin知 B 正确；(2x23)(32x)(32x)由 sinsincos知 C 正确；(2x23)(2x26)(2x6)由 sincoscos(2x23)(2x6)(2x56)cos知 D 错误(562x)11已知 a0，b0，且 ab1，则()Aa2b2 B2ab 1212Clog2alog2b2 D.ab2答案ABD 解析因为 a0，b0，ab1，所以 ab2，ab当且仅当 ab 时，等号成立，即有 ab.1214 对于 A，a2b2(ab)22ab12ab12 ，故 A 正确；1412对于 B,2ab22a1 22a，12因为 a0，所以 22a1，即 2ab，故 B 正确；12对于 C，log2alog2blog2ablog22，故 C 错误；14对于 D，由()2ab2122，ababab得，故 D 正确 ab212信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量 X 所有可能的取值为 1,2，n，且 P(Xi)pi0(i1,2，n)，i1，定义 X 的信息熵 H(X)ilog2pi.()ni1pni1pA若 n1，则 H(X)0 B若 n2，则 H(X)随着 pi的增大而增大 C若 pi(i1,2，n)，则 H(X)随着 n 的增大而增大 1nD若 n2m，随机变量 Y 所有可能的取值为 1,2，m，且 P(Yj)pjp2m1j(j1,2，m)，则H(X)H(Y)答案AC 解析对于 A，当 n1 时，p11，H(X)1log210，故 A 正确；对于 B，当 n2 时，有 p1p21，此时，若 p1 或 都有 H(X)，故 B 错误；1434(14log21434log234)对于 C，当 pi(i1,2，n)时，1nH(X)log2n log2log2n.ni11n1n1n1n显然 H(X)随 n 的增大而增大，故 C 正确；对于 D，方法一当 n2m 时，H(X)(p1log2p1p2log2p2p2m1log2p2m1p2mlog2p2m)(p1log2p1p2mlog2p2m)(p2log2p2p2m1log2p2m1)(pmlog2pmpm1log2pm1)，H(Y)(p1p2m)log2(p1p2m)(p2p2m1)log2(p2p2m1)(pmpm1)log2(pmpm1)，由于 p1log2p1p2mlog2p2mlog2()log2(p1p2m)p1 11pp22mpmp212()mpmpplog2(p1p2m)log2(p1p2m)，1212()mppmpp同理可证 p2log2p2p2m1log2p2m1(p2p2m1)log2(p2p2m1)，pmlog2pmpm1log2pm1H(Y)方法二(特值法)令 m1，则 n2，p1，p2.1434P(Y1)1，H(Y)log210，H(X)0，(14log21434log234)H(X)H(Y)三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13斜率为的直线过抛物线 C：y24x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则|AB|_.3答案 163解析如图，由题意得，抛物线焦点为 F(1,0)，设直线 AB 的方程为 y(x1)3由Error!Error!得 3x210 x30.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，103所以|AB|x1x22.16314将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为_ 答案3n22n 解析方法一(观察归纳法)数列2n1的各项为 1,3,5,7,9,11,13，；数列3n2的各项为 1,4,7,10,13，.观察归纳可知，两个数列的公共项为 1,7,13，是首项为 1，公差为 6 的等差数列，则 an16(n1)6n5.故前 n 项和为 Sn na1an2n16n523n22n.方法二(引入参变量法)令 bn2n1，cm3m2，bncm，则 2n13m2，即 3m2n1，m 必为奇数 令 m2t1，则 n3t2(t1,2,3，)atb3t2c2t16t5，即 an6n5.以下同方法一 15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，垂足为 C，tanODC，BHDG，EF12 cm，DE2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则35图中阴影部分的面积为_ cm2.答案4 52解析如图，连接 OA，过 A 作 APEF，分别交 EF，DG，OH 于点 P，Q，R.由题意知 APEP7，又 DE2，EF12，所以 AQQG5，所以AHOAGQ.4因为 OAAH，所以AOH，AOB.434 设 ARx，则 ORx，RQ5x.因为 tanODC，35所以 tanODC，5x7x35解得 x2，则 OA2.2所以 SS扇形 AOBSAOHS小半圆 (2)2 42 12 123421212cm2.(524)16已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，BAD60.以 D1为球心，为半径的球面与侧面5BCC1B1的交线长为_ 答案 22解析如图，设 B1C1的中点为 E，球面与棱 BB1，CC1的交点分别为 P，Q，连接 DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由BAD60，ABAD，知ABD 为等边三角形，D1B1DB2，D1B1C1为等边三角形，则 D1E且 D1E平面 BCC1B1，3E 为球面截侧面 BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为 r，则 r.R2 球D1E2532又由题意可得 EPEQ，2球面与侧面 BCC1B1的交线为以 E 为圆心的圆弧 PQ.又 D1P，5B1P1，D1P2D1B2 1同理 C1Q1，P，Q 分别为 BB1，CC1的中点，PEQ，2知的长为，即交线长为.PQ222222四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17在ac，csin A3，cb 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存33在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin Asin B，C，_？36注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解方案一：选条件.由 C 和余弦定理得.6a2b2c22ab32由 sin Asin B 及正弦定理得 ab.33于是，3b2b2c223b232 由此可得 bc.由ac，解得 a，bc1.33因此，选条件时问题中的三角形存在，此时 c1.方案二：选条件.由 C 和余弦定理得.6a2b2c22ab32由 sin Asin B 及正弦定理得 ab.33于是，3b2b2c223b232由此可得 bc，BC，A.623由csin A3，所以 cb2，a6.3因此，选条件时问题中的三角形存在，此时 c2.3方案三：选条件.由 C 和余弦定理得.6a2b2c22ab32由 sin Asin B 及正弦定理得 ab.33于是，3b2b2c223b232由此可得 bc.由cb，与 bc 矛盾 3因此，选条件时问题中的三角形不存在 18已知公比大于 1 的等比数列an满足 a2a420，a38.(1)求an的通项公式；(2)记 bm为an在区间(0，m(mN*)中的项的个数，求数列bm的前 100 项和 S100.解(1)由于数列an是公比大于 1 的等比数列，设首项为 a1，公比为 q，依题意有Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!(舍)所以an的通项公式为 an2n，nN*.(2)由于 212,224,238,2416,2532,2664，27128，所以 b1对应的区间为(0,1，则 b10；b2，b3对应的区间分别为(0,2，(0,3，则 b2b31，即有 2 个 1；b4，b5，b6，b7对应的区间分别为(0,4，(0,5，(0,6，(0,7，则 b4b5b6b72，即有 22个 2；b8，b9，b15对应的区间分别为(0,8，(0,9，(0,15，则 b8b9b153，即有 23个 3；b16，b17，b31对应的区间分别为(0,16，(0,17，(0,31，则 b16b17b314，即有 24个 4；b32，b33，b63对应的区间分别为(0,32，(0,33，(0,63，则 b32b33b635，即有 25个 5；b64，b65，b100对应的区间分别为(0,64，(0,65，(0,100，则 b64b65b1006，即有 37 个 6.所以 S10012222323424525637480.19为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的PM2.5 和 SO2浓度(单位：g/m3)，得下表：SO2 PM2.5 0,50(50,150(150,475 0,35 32 18 4(35,75 6 8 12(75,115 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且 SO2浓度不超过 150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的 22 列联表：SO2 PM2.5 0,150(150,475 0,75 (75,115 (3)根据(2)中的列联表，判断是否有 99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与 SO2浓度有关？附：K2，nadbc2abcdacbdP(K2k)0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解(1)由表格可知，该市 100 天中，空气中的 PM2.5 浓度不超过 75，且 SO2浓度不超过 150 的天数为 32618864，所以该市一天中，空气中的 PM2.5 浓度不超过 75，且 SO2浓度不超过 150 的概率的估计值为0.64.64100(2)由所给数据，可得 22 列联表：SO2 PM2.5 0,150(150,475 0,75 64 16(75,115 10 10 (3)根据 22 列联表中的数据可得 K2 nadbc2abcdacbd 100 64 1016 10280 20 74 267.4846.635，故有 99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与 SO2浓度有关 20.如图，四棱锥 PABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD.设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l.(1)证明：l平面 PDC；(2)已知 PDAD1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值(1)证明在正方形 ABCD 中，ADBC，因为 AD平面 PBC，BC平面 PBC，所以 AD平面 PBC，又因为 AD平面 PAD，平面 PAD平面 PBCl，所以 ADl，因为在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，所以 ADDC，所以 lDC，且 PD平面 ABCD，所以 ADPD，所以 lPD，因为 DCPDD，所以 l平面 PDC.(2)解以 D 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，如图建立空间直角坐标系 Dxyz，DA 因为 PDAD1，则有 D(0,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1，1,0)，设 Q(m,0,1)，则有(0,1,0)，(m,0,1)，(1,1，1)，DC DQ PB 设平面 QCD 的法向量为 n(x，y，z)，则Error!Error!即Error!Error!令 x1，则 zm，所以平面 QCD 的一个法向量为 n(1,0，m)，则 cosn，.PB nPB|n|PB|10m3m21根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值等于|cosn，|PB|1m|3m21 3312mm2m213312mm21，3312|m|m21331163当且仅当 m1 时取等号，所以直线 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值为.6321已知函数 f(x)aex1ln xln a.(1)当 ae 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若 f(x)1，求 a 的取值范围 解f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex1.1x(1)当 ae 时，f(x)exln x1，f(x)ex，1x所以 f(1)e1，f(1)e1，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y(e1)(e1)(x1)，即 y(e1)x2.直线 y(e1)x2 在 x 轴，y 轴上的截距分别为，2.2e1因此所求三角形的面积为.2e1(2)当 0a1 时，f(1)aln a1.当 a1 时，f(x)ex1ln x，f(x)ex1.1x当 x(0,1)时，f(x)0.所以当 x1 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(1)1，从而 f(x)1.当 a1 时，f(x)aex1ln xln aex1ln x1.综上，a 的取值范围是1，)22已知椭圆 C：1(ab0)的离心率为，且过点 A(2,1)x2a2y2b222(1)求 C 的方程；(2)点 M，N 在 C 上，且 AMAN，ADMN，D 为垂足证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值(1)解由题设得1，4a21b2a2b2a212解得 a26，b23.所以 C 的方程为 1.x26y23(2)证明设 M(x1，y1)，N(x2，y2)若直线 MN 与 x 轴不垂直，设直线 MN 的方程为 ykxm，代入 1，x26y23得(12k2)x24kmx2m260.于是 x1x2，x1x2.4km12k22m2612k2由 AMAN，得0，AM AN 故(x12)(x22)(y11)(y21)0，整理得(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)(m1)240.将代入上式，可得(k21)(kmk2)(m1)240，2m2612k24km12k2整理得(2k3m1)(2km1)0.因为 A(2,1)不在直线 MN 上，所以 2km10，所以 2k3m10，k1.所以直线 MN 的方程为 yk(k1)(x23)13所以直线 MN 过点 P.(23，13)若直线 MN 与 x 轴垂直，可得 N(x1，y1)由0，AM AN 得(x12)(x12)(y11)(y11)0.又 1，所以 3x 8x140.x2 16y2 132 1解得 x12(舍去)，x1.23此时直线 MN 过点 P.(23，13)令 Q 为 AP 的中点，即 Q.(43，13)若 D 与 P 不重合，则由题设知 AP 是 RtADP 的斜边，故|DQ|AP|.12223 若 D 与 P 重合，则|DQ|AP|.12综上，存在点 Q，使得|DQ|为定值(43，13)