八年级下册数学曲靖数学期末试卷试卷(word版含答案).doc

八年级下册数学曲靖数学期末试卷试卷（word版含答案）
一、选择题
1．在实数范围内有意义，实数a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥﹣2 D．a＞﹣1
2．下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．8，13，5 D．3，4，5
3．小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（ ）两块去玻璃店．

A．①② B．②④ C．②③ D．①③
4．在一次汉字听写大赛中，10名学生得分情况如下表，则这10名学生所得分数的中位数和众数分别是（　　）
所得分数（单位：分）
80
85
90
95
得分人数
3
4
2
1

A．85和82.5 B．85.5和85 C．85和85 D．85.5和80
5．下列命题中：①两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形；②菱形的一条对角线平分一组对角；③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；④两条对角线互相平分的四边形是矩形；⑤平行四边形对角线相等．假命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，的面积是12，是边上一点，连结，现将沿翻折，点恰好落在线段上的点处，且，则四边形的面积是（ ）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
7．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为（ ）

A．8 B．9 C． D．
8．如图，直线l：y＝﹣x++3与x轴交于点A，与经过点B（﹣2，0）的直线m交于第一象限内一点C，点E为直线l上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接DC、DE、BE，若∠DEC＝2∠DCE，∠DBE＝∠DEB，则CD2的值为（　　）

A．20+4 B．44+4
C．20+4或44﹣4 D．20﹣4或44+4
二、填空题
9．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______________．
10．在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，且AB＝10cm，AC＝12cm．则菱形ABCD的面积是_____cm2．

11．已知一个直角三角形的两直角边长分别是1和3，则斜边长为________．
12．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在网格格点的位置上，则△ABC的中线BD的长为_______．

13．在平面直角坐标系，，，点M在直线上，M在第一象限，且，则点M的坐标为____．

14．如图，在四边形中，，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是______．

15．如图所示，直线与两坐标轴分别交于、两点，点是的中点，、分别是直线、轴上的动点，当周长最小时，点的坐标为_____．

16．如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，点，，…在直线上，点，，，…在轴的正半轴上，若，，，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第2020个等腰直角三角形顶点的横坐标为__________．

三、解答题
17．计算：
（1）2﹣6×；
（2）（﹣2）2﹣（﹣2）（+2）；
（3）（1+）•（2﹣）；
（4）．
18．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．

19．如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）在图①中画一条线段AB，使AB＝，线段AB的端点在格点上；
（2）在图②中画一个斜边长为的等腰直角三角形DCE，其中∠DCE＝90°，三角形的顶点在格点上．

20．如图，已知点是中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，．

（1）求证：四边形为矩形；
（2）若是等边三角形，且边长为6，求四边形的面积．
21．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘、除运算与代数式的运算类似．
例如：计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝　 ，i4＝　 ，i+i2+i3+…+i2021＝　 ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）；
（3）已知a+bi＝（a，b为实数），求的最小值．
22．在乡村道路建设过程中，甲、乙两村之间需要修建水泥路，甲、乙两村合作完成．已知甲村需要水泥70吨，乙村需要水泥110吨，A厂可提供100吨水泥，B厂可提供80吨水泥，两厂到两村的运费如表：
目的地
运费/（元/吨）
甲村
乙村
A厂
240
180
B厂
250
160
（1）设从A厂运往甲村水泥x吨，求运送的总费用y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请你设计出运费最低的运送方案，并求出最低运费．
23．在正方形ABCD中，点E、F分别是边AD和DC上一点，且DE＝DF，连结CE和AF，点G是射线CB上一点，连结EG，满足EG＝EC，AF交EG于点M，交EC于点N．
（1）证明：∠DAF＝∠DCE；
（2）求线段EG与线段AF的关系（位置与数量关系），并说明理由；
（3）是否存在实数m，当AM＝mAF时，BC＝3BG？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

24．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩积”，给出如下定义：“横底”a：任意两点横坐标差的最大值；“纵高”h：任意两点纵坐标差的最大值；则“矩积”S＝ah．例如：三点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，2），C（﹣1，﹣3），则“横底”a＝3，“纵高”h＝5，“矩积”S＝ah＝15．已知点D（﹣2，3），E（1，﹣1）．
（1）若点F在x轴上．
①当D，E，F三点的“矩积”为24，则点F的坐标为　 　；
②直接写出D，E，F三点的“矩积”的最小值为　 　；
（2）若点F在直线y＝mx+4上，使得D，E，F三点的“矩积”取到最小值，直接写出m的取值范围是　 　．

25．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．

（1）如图，当点E在线段BC上时，∠BDF=α．
①按要求补全图形；
②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；
③判断线段 BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．
【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据二次根式有意义的条件即可求出a的取值范围．
【详解】
解：由题意可知：a+2≥0，
∴a≥-2．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次根式有意义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
2．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、52+82≠132，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理；解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，从而完成求解．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，必须能够确定平行四边形的大小和形状，根据平行四边形的判定即可判断．
【详解】
A、①②只能确定平行四边形的形状，还能确定一组对边的大小，但另一组对边的大小无法确定，故不合题意；
B、②④两块两个角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边延长线的交点就是平行四边形的顶点，所以能确定平行四边形的四个顶点，因而能确定其大小和形状，故符合题意；
C、②③只能确定平行四边形的形状，还能确定一组对边的大小，但另一组对边的大小无法确定，故不合题意；
D、①③只能确定平行四边形的形状，无法确定两组对边的大小，故不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，关键是理解确定一个平行四边形，既要考虑形状，又要考虑大小，两者同时确定了才可确定一个平行四边形．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数或中间位置上的两个数的平均数叫中位数，一组数据中出现次数最多的数值叫众数，根据中位数和众数定义即可求解．
【详解】
解：表格中数据已经排序，中位数是第5个数据85与第6个数据85的平均数=；
重复次数最多的数据是85，所以众数是85 ．
故选择C．
【点睛】
本题考查中位数和众数，掌握中位数和众数定义是解题关键．
5．C
解析：C
【分析】
根据正方形的判定，平行四边形和矩形的判定和性质，菱形的性质逐项判断即可．
【详解】
解：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原命题错误，是假命题；
②菱形的一条对角线平分一组对角，正确，为真命题；
③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，正确，为真命题；
④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，为假命题；
⑤平行四边形对角线不相等，故原命题错误，为假命题，
假命题的个数有3个，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了正方形的判定，平行四边形和矩形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
设DE与AC交于H，由折叠的性质可知，AH=HF，∠AHD=90°，AE=EF，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到AE=BE，再证明△DAH≌△BCF，得到AH=CF=HF，则，，从而得出,，．
【详解】
解：设DE与AC交于H，
由折叠的性质可知，AH=HF，∠AHD=90°，AE=EF
∵∠BFC=90°，
∴∠BFC=∠DHA=∠AFB=90°，
∴EF是直角三角形AFB的中线，
∴AE=BE，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAH=∠BCF，
∴△DAH≌△BCF（AAS），
∴AH=CF=HF，
∴，，
∴,，
∴，
∴，
故选A．

【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
由矩形性质及G为中点，可得∠AGE=2∠ADE=2∠CED=∠AED，从而可得AE=AG，由矩形性质AB=CD=3，由勾股定理可得AE，再根据直角形的性质从而可求得DF的长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB=∠ABC=∠ABE=90゜，AB=CD=3，AD∥BC
∵G点是DF的中点
∴AG是Rt△DAF斜边DF上的中线
∴AG=DG=
∴∠GAD=∠ADE
∴∠AGE=2∠ADE
∵AD∥BC
∴∠CED=∠ADE
∴∠AGE=2∠CED
∵∠AED=2∠CED
∴∠AED=∠AGE
∴AE=AG
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
∴
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，关键是得出∠AED=∠AGE．
8．C
解析：C
【分析】
过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G，求出DF的解析式，联立方程组，求出点F的坐标，分点E在点F的上方和下方两种情况结合勾股定理求出结论即可．
【详解】
解：过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G，

∵点B（﹣2，0），且点D为点B关于y轴的对称点，
∴D（2，0）
∴BD=4
又∠DBE＝∠DEB，
∴DE=BD=4
对于直线l：y＝﹣x++3，当x=0时，y=+3；当y=0时，x=+3
∴OH=+3，AO=+3
∴
∴
∴
∴
又
∴，
∴
∴
设直线DF所在直线解析式为
把，D（2，0）代入得，
解得，
∴直线DF所在直线解析式为
联立，
解得，
∴F(，)
∴
在Rt△DFE中，
∴
①当E在F下方时，如图1，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM，
∵EM=DE
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴DC=DM
在Rt△DFM中，
∴
②当点E在F的上方时，如图2，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM，

∵EM=DE
∴
又∵，
∴
∴DC=DM
∴
在Rt△DFM中，
∴
综上所述，或
故选：C
【点睛】
本题是一次函数的综合题；灵活应用勾股定理，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
二、填空题
9．
【解析】
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】
解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴≥0，
解得：．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
10．A
解析：96
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可得AC⊥BD，然后利用勾股定理求出OB＝8cm，得出BD＝16cm，最后根据菱形的面积公式求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6cm，OB＝OD，
∴OB＝＝8（cm），
∴BD＝2OB＝16cm，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×12×16＝96（cm2）．
故答案为：96．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
11．
【解析】
【分析】
利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：∵直角三角形的两直角边长分别是1和3，
∴斜边==，
故答案为：．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是记住勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
12．A
解析：
【分析】
首先根据勾股定理求得AB，BC，AC的长度，然后由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，则根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可．
【详解】
解：如图，AB2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，AC2＝42+32＝25．
∴AB2+BC2＝AC2．
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°．
∵BD是斜边AC上的中线，
∴BD＝AC＝＝．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的斜边的中线的性质，用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键．
13．
【分析】
过点 作 于点 交直线 于点 ，可求出直线的解析式为 ，然后设点 的坐标为 ，其中 ，则 ，从而得到，最后根据，可得到，解出 ，即可求解．
【详解】
解：如图，过点 作 于点 交直线 于点 ，

设直线的解析式为 ，
把，，代入得：
，解得： ，
∴直线的解析式为 ，
∵点M在直线上，M在第一象限，
设点 的坐标为 ，其中 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求一次函数解析式，运用数形结合思想，通过设点的坐标利用三角形的面积构造方程是解题的关键．
14．
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且，同理可得且，且，然后证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．
【详解】
解：还应满足．
理由如下：，分别是，的中点，
且，
同理可得：且，且，
且，
四边形是平行四边形，
，
，
即，
是菱形．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了中点四边形，其中涉及到了菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半得到四边形的对边平行且相等从而判定出平行四边形是解题的关键，也是本题的突破口．
15．【分析】
作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，故当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝DF＋DE
解析：
【分析】
作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，故当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝DF＋DE＋EG＝FG，此时△DEC周长最小，然后求出F、G的坐标从而求出直线FG的解析式，再求出直线AB和直线FG的交点坐标即可得到答案．
【详解】
解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接FG分别交AB、OA于点D、E，
由轴对称的性质可知，CD=DF，CE=GE，BF=BC，∠FBD=∠CBD，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=FD+DE+EG，
∴要使三角形CDE的周长最小，即FD+DE+EG最小，
∴当F、D、E、G四点共线时，FD+DE+EG最小，

∵直线y＝x＋2与两坐标轴分别交于A、B两点，
∴B（-2，0），
∴OA＝OB，
∴∠ABC＝∠ABD＝45°，
∴∠FBC=90°，
∵点C是OB的中点，
∴C(，0)，
∴G点坐标为（1，0），，
∴F点坐标为（-2，），
设直线GF的解析式为，
∴，
∴，
∴直线GF的解析式为，
联立，
解得，
∴D点坐标为（，）
故答案为：（，）．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，一次函数与几何综合，解题的关键是利用对称性在找到△CDE周长的最小时点D、点E位置，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．【分析】
先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．
【详解】
解：由题意得OA=OA1=2，

∴OB1=OA1=2，
B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，
解析：
【分析】
先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．
【详解】
解：由题意得OA=OA1=2，

∴OB1=OA1=2，
B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，
∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，
2=22-2，6=23-2，14=24-2，…
∴Bn的横坐标为2n+1-2，
∴点B2020的横坐标为22021-2，
故答案为22021-2．
【点睛】
此题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．
三、解答题
17．（1）3﹣3；（2）﹣4；（3）﹣1+；（4）﹣
【分析】
（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质，进而合并同类二次根式得出答案；
（2）直接利用乘法公式化简，再合并得出答案；
（3）直接利用
解析：（1）3﹣3；（2）﹣4；（3）﹣1+；（4）﹣
【分析】
（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质，进而合并同类二次根式得出答案；
（2）直接利用乘法公式化简，再合并得出答案；
（3）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；
（4）直接利用二次根式的性质化简，进而得出答案．
【详解】
解：（1）2﹣6×
=6
=6
=；
（2）（﹣2）2﹣（﹣2）（+2）
=5+4-4-(13-4)
=9-4-9
=-4；
（3）（1+）•（2﹣）
=2-
=-1+；
（4）
=
=
=．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算以及立方根的性质，正确化简二次根式是解题关键．
18．【分析】
直接利用勾股定理进而得出AC的长．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+AB＝10，BC＝4，
设AC＝x，则AB＝10﹣x，
∴x2+
解析：
【分析】
直接利用勾股定理进而得出AC的长．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+AB＝10，BC＝4，
设AC＝x，则AB＝10﹣x，
∴x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝，
答：AC的长为．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出等式方程是解题关键．
19．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求出AB＝时的两条直角边，再在图中作出即可；
（2）利用勾股定理求出斜边长DE=时的两条直角边，再在图中作出DE，再根据等腰直角三角
解析：（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求出AB＝时的两条直角边，再在图中作出即可；
（2）利用勾股定理求出斜边长DE=时的两条直角边，再在图中作出DE，再根据等腰直角三角形DCE，得到DC=CE=，再在图中作出图形即可．
【详解】
解：（1）∵AB＝
又
∴如图①所示，线段AB即为所求；

（2）∵斜边长为的等腰直角三角形DCE
又
∴如图②所示，斜边长DE=
又∵，
∴DC=CE=
∴如图②中，等腰直角三角形DCE即为所求．
【点睛】
本题考查勾股定理．根据线段的长找出相对应直角三角形的两条直角边是本题的关键．
20．（1）见解析；（2）四边形的面积．
【分析】
（1）利用平行四边形的性质先证明，可得再证明四边形是平行四边形，从而可得结论；
（2）先求解，，再利用勾股定理求解，从而可得答案.
【详解】
（1）证明
解析：（1）见解析；（2）四边形的面积．
【分析】
（1）利用平行四边形的性质先证明，可得再证明四边形是平行四边形，从而可得结论；
（2）先求解，，再利用勾股定理求解，从而可得答案.
【详解】
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是中边的中点，
，
，
，

，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形为矩形，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形的面积．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，熟练的使用矩形的判定定理是解题的关键.
21．（1）﹣i，1，；（2）﹣i﹣6；（3）的最小值为25．
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给条件可得i3=i2•i，i4=i2•i2计算即可得出答案；
（2）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所
解析：（1）﹣i，1，；（2）﹣i﹣6；（3）的最小值为25．
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给条件可得i3=i2•i，i4=i2•i2计算即可得出答案；
（2）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所给已知条件即可得出答案；
（3）根据题目已知条件，a+bi＝4+3i，求出a、b，即可得出答案．
【详解】
（1）i3＝i2•i＝﹣1×i＝﹣i，
i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1，
设S＝i+i2+i3+…+i2021，
iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，
∴（1﹣i）S＝i﹣i2022，
∴S＝，
故答案为﹣i，1，；
（2）（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）
＝3﹣4i+3i﹣4i2﹣（4﹣9i2）
＝3﹣i+4﹣4﹣9
＝﹣i﹣6；
（3）a+bi＝＝＝＝4+3i，
∴a＝4，b＝3，
∴＝，
∴的最小值可以看作点（x，0）到点A（0，4），B（24，3）的最小距离，
∵点A（0，4）关于x轴对称的点为A'（0，﹣4），连接A'B即为最短距离，
∴A'B＝＝25，
∴的最小值为25．
【点睛】
此题考查了实数的运算，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的新定义是解本题的关键．
22．（1）y＝﹣30x+37100（0≤x≤70）；（2）最低运送方案为A厂运往甲村水泥70吨，运往乙村水泥30吨：B厂运往甲村水泥0吨，B厂运往乙村水泥80吨，最低运费为35000元．
【分析】
（1
解析：（1）y＝﹣30x+37100（0≤x≤70）；（2）最低运送方案为A厂运往甲村水泥70吨，运往乙村水泥30吨：B厂运往甲村水泥0吨，B厂运往乙村水泥80吨，最低运费为35000元．
【分析】
（1）由从A厂运往甲村水泥x吨，根据题意首先求得从A厂运往乙村水泥（100-x）吨，B厂运往甲村水泥（70-x）吨，B厂运往乙村水泥吨，然后根据表格求得总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式；
（2）根据（1）中的一次函数解析式的增减性，即可知当x=70时，总运费y最省，然后代入求解即可求得最低运费．
【详解】
（1）设从A厂运往甲村水泥x吨，则A厂运往乙村水泥（100﹣x） 吨，B厂运往甲村水泥（70﹣x）吨，B厂运往乙村水泥110﹣（100﹣x）＝（10+x）吨，
∴y＝240x+180（100﹣x）+250（70﹣x）+160（10+x）＝﹣30x+37100，x的取值范围是0≤x≤70，
∴y＝﹣30x+37100（0≤x≤70）；
（2）∵y＝﹣30x+37100（0≤x≤70），﹣30＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵0≤x≤70，
∴当x＝70时，总费用最低，
最低运费为：﹣30×70+37100＝35000 （元），
∴最低运送方案为A厂运往甲村水泥70吨，运往乙村水泥30吨：B厂运往甲村水泥0吨，B厂运往乙村水泥80吨，最低运费为35000元．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的实际应用问题，解决本题的关键是理解题意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．
23．（1）见解析；（2），，见解析；（3）或
【分析】
（1）根据正方形的性质得到对应边相等，证明即可得到；
（2）作，交于点，交于点，则，通过证明，得到，可推导出，从而证得结论；
（3）存在，作于点，
解析：（1）见解析；（2），，见解析；（3）或
【分析】
（1）根据正方形的性质得到对应边相等，证明即可得到；
（2）作，交于点，交于点，则，通过证明，得到，可推导出，从而证得结论；
（3）存在，作于点，连结，分两种情况，即点在边上、点在边的延长线上，分别设和，将、、用或表示出来，再将、用或表示出来，即可求出的值．
【详解】
解：（1）证明：如图1，四边形是正方形，

，
，，
，
．
（2），，理由如下：
如图2（或图3），作，交于点，交于点，

，
，
四边形是平行四边形，
；
由（1）得，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，．
（3）存在，作于点，连结，
，
四边形是矩形，
，
，
如图4，点在边上，设，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由得，，
，
，
，
，
；
如图5，点在边的延长线上，设，

则，
，
，
，，
由得，，
，
，
，
综上所述，或．
【点睛】
此题重点考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及二次根式等知识，第（3）题要分类讨论，求出所有符合条件的值，此题难度较大，属于考试压轴题．
24．（1）①(﹣5，0)或(4，0)；②12；（2）或
【解析】
【分析】
（1）①已知F在x轴上，故“纵高”=4，根据“矩积”的定义，可知“横底”=6，应分三种情况进行分类讨论，当a＜-2时、当-2≤
解析：（1）①(﹣5，0)或(4，0)；②12；（2）或
【解析】
【分析】
（1）①已知F在x轴上，故“纵高”=4，根据“矩积”的定义，可知“横底”=6，应分三种情况进行分类讨论，当a＜-2时、当-2≤a≤1时、当a＞1时；
②将F点的横坐标仍按照三类情况进行讨论，根据“矩积”的定义可求解；
（2）使直线过点D(-2，3)或点H(1，3)，求出该特殊位置时m的值，即可求解．
【详解】
解：（1）设点F坐标为(a，0)，
①∵D，E，F三点的“矩积”为24，“纵高”＝4，
∴“横底”＝6，
当a＜-2时，则“横底”=1-a＝6，
∴a＝-5；
当-2≤a≤1时，则“横底”=3≠6，不合题意舍去；
当a＞1时，则“横底”=a-（-2）＝6；
∴a＝4，
∴点F(﹣5，0)或(4，0)，
故答案为：(﹣5，0)或(4，0)；
②当a＜-2时，则1-a＞3，
∴S＝4（1-a）＞12，
当﹣2≤a≤1时，S＝34＝12，
当a＞1时，则a-（-2）＞3，
∴S＝4[a-（-2）]＞12，
∴D，E，F三点的“矩积”的最小值为12，
故答案为：12；
（2）由（1）可知：设点F（a，0），当﹣2≤a≤1时，D，E，F三点的“矩积”能取到最小值，如图下图所示，直线y=mx+4恒过点(0,4)，使该直线过点D(-2，3)或点H(1，3)，当F在点D或点H时，D，E，F三点的“矩积”的最小值为12，

当直线y＝mx+4过点D(-2，3)时，
∴3＝-2m+4，
∴解得：，
当直线y＝mx+4过点H(1，3)时，
∴3＝m+4，
∴m＝-1，
∴当m≥或m≤-1时，D，E，F三点的“矩积”能取到最小值．
【点睛】
本题主要考察了一次函数的几何应用，提出了“矩积”这个全新的概念，解题的关键在于通过题目的描述，知道“矩积”的定义，同时要注意分类讨论．
25．（1）①详见解析；②45°-α；③，详见解析；（2），或，或
【分析】
（1）①由题意补全图形即可；
②由正方形的性质得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质得出即可；
 ③在DF上截取DM
解析：（1）①详见解析；②45°-α；③，详见解析；（2），或，或
【分析】
（1）①由题意补全图形即可；
②由正方形的性质得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质得出即可；
 ③在DF上截取DM=BF，连接CM，证明△CDM≌△CBF，得出CM=CF， ∠DCM=∠BCF，得出MF=即可得出结论；
（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF=BF+，理由同(1)③；
②当点E在线段BC的延长线上时，BF=DF+，在BF_上截取BM=DF，连接CM．同(1)③得△CBM≌△CDF得出CM=CF，∠BCM=∠DCF，证明△CMF是等腰直角三角形，得出MF=，即可得出结论；
③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF=，在DF上截取DM=BF，连接CM，同(1) ③得:ACDM≌△CBF得出CM=CF，∠DCM=∠BCF，证明△CMF是等腰直角三角形，得出MF=，即可得出结论．
【详解】
解：（1）①如图，

②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，，
∴，
∵BF⊥DE,
∴∠BFE=90°，
∴,
故答案为：45°-α；
③线段BF，CF，DF之间的数量关系是．
证明如下：在DF上截取DM=BF，连接CM．如图2所示，
∵ 正方形ABCD，
∴ BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°
∴∠CDM=∠CBF=45°-α，
∴△CDM≌△CBF（SAS）．
∴ DM=BF， CM=CF，∠DCM=∠BCF．
∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE
=∠DCM+∠MCE
=∠BCD=90°，
∴ MF =．
∴
（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF=BF+，理由同(1)③；
②当点E在线段BC的延长线上时，BF=DF+，理由如下：
在BF上截取BM=DF，连接CM，如图3所示，
同(1) ③，得：△CBM≌△CDF (SAS)，
∴CM=CF， ∠BCM=∠DCF．
∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD= ∠ BCD=90°，
∴△CMF是等腰直角三角形，
∴MF=，
 ∴BF=BM+MF=DF+；
③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF=；理由如下：
在DF上截取DM=BF，连接CM，如图4所示，
同（1）③得：△CDM≌△CBF，
∴CM=CF，∠DCM=∠BCF，
∴∠MCF=∠DCF+ ∠MCD= ∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°，
∴△CMF是等腰直角三 角形，
∴MF=,
即DM+DF=，
∴BF+DF=;
综上所述，当点E在直线BC上时，线段BF，CF，DF之间的数导关系为：，或，或．

【点睛】
此题是四边形的一道综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，注意解题中分情况讨论避免漏解．