数学第五章-相交线与平行线知识归纳总结及解析.doc

数学第五章 相交线与平行线知识归纳总结及解析

一、选择题
1．如图是一块长方形的场地，长，宽，从、两处入口的中路宽都为，两小路汇合处路宽为，其余部分种植草坪，则草坪面积为（ ）

A．m2 B．m2 C．m2 D．m2
2．如图，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（ ）

A．35° B．45° C．55° D．70°
3．已知直线，一块含60°角的直角三角板如图所示放置，，则等于（ ）

A．30° B．35° C．40° D．45°
4．如图，直角三角形ABC的直角边AB=6，BC=8，将直角三角形ABC沿边BC的方向平移到三角形DEF的位置，DE交AC于点G，BE=2，三角形CEG的面积为13.5，下列结论：①三角形ABC平移的距离是4；②EG=4.5；③AD∥CF；④四边形ADFC的面积为6．其中正确的结论是

A．①② B．②③
C．③④ D．②④
5．已知点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离为( )
A．4 cm B．5 cm C．小于2 cm D．不大于2 cm
6．如图，AB∥CD , ∠BED=110°，BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,则∠BFD= ( )

A．110° B．115° C．125° D．130°
7．如图，，于F，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
8．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．在同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
9．下列命题：①两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；②两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等；④面积相等的两个三角形肯定全等；⑤有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知，，且，和的面积分别为2和8，则的面积是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．如图，直线l1∥l2∥l3，等边△ABC的顶点B、C分别在直线l2、l3上，若边BC与直线l3的夹角∠1=25°，则边AB与直线l1的夹角∠2=________．

12．小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”，第一步固定直角三角板，并将边延长至点，第二步将另一块三角板的直角顶点与三角板的直角顶点重合，摆放成如图所示，延长至点，与就是一组对顶角，若，则__________，若重叠所成的，则的度数__________．

13．如图，，，垂足为点，与交于点，若，则______．

14．如图，，与相交于点，与CD 于F，平分，若，则的度数为______．

15．如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连结AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连结AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，则∠ACD的度数是_____．

16．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，垂足分别是点A、C，如果∠CDB=130°，那么直线AB与BD的夹角是________度．

17．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．
18．如图，直线a∥b∥c，直角∠BAC的顶点A在直线b上，两边分别与直线a，c相交于点B，C，则∠1＋∠2的度数是___________．

19．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=_________．

20．如图，直线，直角三角板的直角顶点落在直线上，若，则等于_______．

三、解答题
21．综合与探究
综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线，，且，三角形是直角三角形，，，
操作发现：

（1）如图1．，求的度数；
（2）如图2．创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由．
实践探究：
（3）填密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并说明理由．
22．(1)如图1，已知任意，过点作，求证：；
(2)如图2，求证：∠AGF=∠AEF+∠F；
(3)如图3，交的角平分线于点，求的度数．

23．（1）①如图1，，则、、之间的关系是 ；

②如图2，，则、、之间的关系是 ；

（2）①将图1中绕点逆时针旋转一定角度交于 (如图3)．证明：

②将图2中绕点顺时针旋转一定角度交于 (如图4)证明：

（3）利用（2）中的结论求图5中的度数．

24．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．

25．已知，点不在同一条直线上，

（1）如图①，当时，求的度数；
（2）如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下且，，直接写的值
26．如图，已知AB∥CD，∠A=40°，点P是射线B上一动点（与点A不重合），CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，分别交射线AB于点M,N．
（1）求∠MCN的度数．
（2）当点P运动到某处时，∠AMC=∠ACN，求此时∠ACM的度数．
（3）在点P运动的过程中，∠APC与∠ANC的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B
解析：B
【详解】
解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（102-2）米，宽为（51-1）米．
所以草坪的面积应该是长×宽=（102-2）（51-1）=5000（米2）．
故选B．
2．C
解析：C
【分析】
由平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝35°，再由垂线的定义可得△ACD是直角三角形，进而根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出∠ACD的度数．
【详解】
∵AB∥CD，∠BAD=35°，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD⊥AC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．
3．B
解析：B
【分析】
过C作CM∥直线l1，求出CM∥直线l1∥直线l2，根据平行线的性质得出∠1＝∠MCB＝25°，∠2＝∠ACM，即可求出答案．
【详解】
过C作CM∥直线l1，
∵直线l1∥l2，
∴CM∥直线l1∥直线l2，
∵∠ACB＝60°，∠1＝25°，
∴∠1＝∠MCB＝25°，
∴∠2＝∠ACM＝∠ACB－∠MCB＝60°－25°＝35°，
故选：B．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键．
4．B
解析：B
【解析】
分析：(1)对应线段的长度即是平移的距离；(2)根据EC的长和△CEG的面积求EG；(3)平移前后，对应点的连线平行且相等；(4)根据平行四边形的面积公式求.
详解：(1)因为点B，E是对应点，且BE＝2，所以△ABC平行的距离是2，则①错误；
②根据题意得，13.5×2＝(8－2)EG，解得EG＝4.5，则②正确；
③因为A，D是对应点，C，F是对应点，所以AD∥CF，则③正确；
④平行四边形ADFC的面积为AB·CF＝AB·BE＝6×2＝12，则④错误.
故选B.
点睛：本题考查了平移的性质，平移的性质有：①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；②平移得到的图形与原图形中的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等；对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等.
5．D
解析：D
【分析】
根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．
【详解】
当PC⊥m时，PC是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离2cm，
当PC不垂直直线m时，点P到直线m的距离小于PC的长，即点P到直线m的距离小于2cm，
综上所述：点P到直线m的距离不大于2cm，
故选D．
【点睛】
此题考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质．
6．C
解析：C
【分析】
先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED＝110°，即可求得∠ABE+∠CDE＝250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的性质，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．
【详解】
解：如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD∥FN，
∴∠ABE+∠BEM＝180°，∠CDE+∠DEM＝180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∵∠BED＝110°，
∴∠ABE+∠CDE＝250°
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝125°，
∵∠DFN＝∠CDF，∠BFN＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠ABF+∠CDF＝125°．
故选：C．

【点睛】
此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
7．B
解析：B
【分析】
过点P作MN∥AB，结合垂直的定义和平行线的性质求∠EPF的度数．
【详解】
解：如图，过点P作MN∥AB，
∵∠AEP=40°，
∴∠EPN=∠AEP=40°
∵AB∥CD,PF⊥CD于F，
∴PF⊥MN，
∴∠NPF=90
∴∠EPF=∠EPN+∠NPF=40°+90°=130°
故答案为B

【点睛】
本题考查了平行线的判定定理和性质，作出辅助线构造平行线是解答本题的关键．
8．A
解析：A
【解析】试题分析：平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A不正确；
在同一平面内两条不相交的直线是平行线，这是平行线的概念，故B正确；
在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，故C正确；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故D正确；
故选：A.
9．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判断定理逐项判断即可．
【详解】
解：①两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故该项错误；
②两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，符合AAS定理，故该项正确；
③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，有可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形，故该项错误；
④面积相等的两个三角形不一定全等，因为形状可能不相同，故该项错误；
⑤有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合ASA定理，故该项正确．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查对全等三角形的判定定理的掌握，正确理解判定定理是解题关键．
10．B
解析：B
【分析】
利用平行线间的距离相等可知与的高相等，底边之比等于面积之比，设的面积为，建立方程即可求解．
【详解】
∵
∴与的高相等
∵
∴
设的面积为，则，
∴
解得
∴
故选B．
【点睛】
本题考查平行线间的距离问题，由平行线间的距离相等得到两三角形的高相等，从而建立方程是解题的关键．
二、填空题

11．【解析】
试题分析：如图：

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵直线l1∥l2∥l3，∠1=25°，
∴∠1=∠3=25°．
∴∠4=60°-25°=35°，
∴∠2=∠4=35
解析：
【解析】
试题分析：如图：

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵直线l1∥l2∥l3，∠1=25°，
∴∠1=∠3=25°．
∴∠4=60°-25°=35°，
∴∠2=∠4=35°．
考点：1．平行线的性质；2．等边三角形的性质．
12．30° 180°－n°
【分析】
（1）根据对顶角相等，可得答案；
（2）根据角的和差，可得答案．
【详解】
解：（1）若∠ACF=30°，则∠PCD=30°，理由是对顶角相等．
（2
解析：30° 180°－n°
【分析】
（1）根据对顶角相等，可得答案；
（2）根据角的和差，可得答案．
【详解】
解：（1）若∠ACF=30°，则∠PCD=30°，理由是对顶角相等．
（2）由角的和差，得∠ACD+∠BCE=∠ACB+∠BCD+∠BCE=∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠ACD=180°-∠BCE=180°-n°．
故答案为：30°，180°－n°．
【点睛】
本题考查了对顶角的性质、角的和差，由图形得到各角之间的数量关系是解答本题的关键．
13．120°
【分析】
过点F作PT//AB，则有PT//CD，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.
【详解】
过点F作PT//AB，如图，

∴∠OFP=∠N
解析：120°
【分析】
过点F作PT//AB，则有PT//CD，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.
【详解】
过点F作PT//AB，如图，

∴∠OFP=∠NOA
∵
∴∠NOA=90゜
∴∠OFP=90゜
∵AB//CD
∴CD//PT
∴∠DGF=∠GFP
∵∠DGF=∠1=30゜
∴∠GFP=30゜
∴∠2=∠OFP+∠GFP=90゜+30゜=120゜
故答案为：120゜
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等，同位角相等．
14．65°
【分析】
由AB//CD可得∠HFD=130︒，再由FE平分∠HFD可求出∠HFE．
【详解】
∵
∴∠EHF+∠HFD=180°
∵
∴∠HFD=130°
∵平分，
∴∠HFE=∠HFD=
解析：65°
【分析】
由AB//CD可得∠HFD=130︒，再由FE平分∠HFD可求出∠HFE．
【详解】
∵
∴∠EHF+∠HFD=180°
∵
∴∠HFD=130°
∵平分，
∴∠HFE=∠HFD=
故答案为：65°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键．
15．27°．
【解析】
【分析】
延长FA与直线MN交于点K，通过角度的不断转换解得∠BCA=45°.
【详解】
解：延长FA与直线MN交于点K，

由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°
解析：27°．
【解析】
【分析】
延长FA与直线MN交于点K，通过角度的不断转换解得∠BCA=45°.
【详解】
解：延长FA与直线MN交于点K，

由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠FAD=45°-(90°-∠AFD)=∠AFD，
因为MN∥PQ，所以∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°，
所以∠ACD=∠AFD=(∠ABM-90°)=∠BCD-45°，即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°，
所以∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-∠BCA=45°-18°=27°.
故∠ACD的度数是：27°.
【点睛】
本题利用平行线、垂直、角平分线综合考查了角度的求解.
16．50
【分析】
先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质、两直线的夹角的定义即可得．
【详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴直线AB与BD的夹角是50度，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了平
解析：50
【分析】
先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质、两直线的夹角的定义即可得．
【详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴直线AB与BD的夹角是50度，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、两直线的夹角的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
17．如果两个角相等，那么这两个角的余角相等
【分析】
把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．
【详解】
解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是
解析：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等
【分析】
把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．
【详解】
解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
18．270°
【分析】
根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC是直角即可得出结果．
【详解】
解：如图所示，

∵a∥b，
∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，
∵
解析：270°
【分析】
根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC是直角即可得出结果．
【详解】
解：如图所示，

∵a∥b，
∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，
∵b∥c
∴∠2+∠4=180°，则∠4=180°-∠2，
∵∠BAC是直角，
∴∠3+∠4=180°-∠1+180°-∠2，
∴90°=360°-（∠1+∠2），
∴∠1+∠2=270°．
故答案为：270°
【点睛】
本题主要考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
19．73°
【解析】
试题解析：∵∠CBD=34°，
∴∠CBE=180°-∠CBD=146°，
∴∠ABC=∠ABE=∠CBE=73°．
解析：73°
【解析】
试题解析：∵∠CBD=34°，
∴∠CBE=180°-∠CBD=146°，
∴∠ABC=∠ABE=∠CBE=73°．

20．【分析】
如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.
【详解】
如图所示，

∵，，
∴，
∴∠4=90°−∠3=55°，
∵，
∴∠2
解析：
【分析】
如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.
【详解】
如图所示，

∵，，
∴，
∴∠4=90°−∠3=55°，
∵，
∴∠2=∠4=55°.
故答案为：55°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
三、解答题

21．（1）；（2）理由见解析；（3），理由见解析．
【分析】
（1）由平角定义求出∠3＝42°，再由平行线的性质即可得出答案；
（2）过点B作BD∥a．由平行线的性质得∠2＋∠ABD＝180°，∠1＝∠DBC，则∠ABD＝∠ABC−∠DBC＝60°−∠1，进而得出结论；
（3）过点C 作CP∥a，由角平分线定义得∠CAM＝∠BAC＝30°，∠BAM＝2∠BAC＝60°，由平行线的性质得∠1＝∠BAM＝60°，∠PCA＝∠CAM＝30°，∠2＝∠BCP＝60°，即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图1 ，，
，
，
；

图1
（2）理由如下：如图2． 过点作，

图2
，
，
，
，
，
，
；
（3），

图3
理由如下：如图3，过点作，
平分，
，
，
又，
，
，
，
，
又 ，
，
．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键．
22．（1）见详解；（2）见详解；（3）29.5°．
【分析】
（1）根据平行线的性即可，，再根据平角的定义进行等量代换即可证明；
（2）因为根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到，，由角平分线的性质得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】
（1）如图1所示，在中，，
，．
，
．
即三角形的内角和为；
（2），
由（1）知，，
；
（3），，
，，
∵平分，
，
，
，，
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的证明与应用，三角形外角定理证明与应用，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键，此类题目每一步都为后续解题提供了解题条件或方法．
23．（1）①，②；（2）①证明见解析，②证明见解析；（3）．
【分析】
（1）①如图1中，作，利用平行线的性质即可解决问题；
②作，利用平行线的性质即可解决问题；
（2）①如图3中，作，利用平行线的性质即可解决问题；
②如图4中，连接．利用三角形内角和定理即可解决问题；
（3）利用（2）中结论，以及五边形内角和即可解决问题；
【详解】
解：（1）①如图1中，作，

，
，
，，
．
②如图2，作，

，
，
，，
，
．
故答案为，．
（2）①如图3中，作，

，，
．
②如图4中，连接．

，，
，
．
（3）如图5中，设交于．

，
，
在五边形中，，

【点睛】
本题考查图形的变换、规律型问题、平行线的性质、多边形内角和等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用结论解决问题．
24．（1）a＝3，b＝1；（2）当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC与∠BCD的数量关系不发生变化，其大小比值为∠BCD:∠BAC＝2:3．
【分析】
(1)利用绝对值和完全平方式的非负性即可解决问题.
(2)分三种情况，利用平行线的性质列出方程即可解决.
(3)将∠BAC和∠BCD分别用t的代数式表示，然后在进行运算即可.
【详解】
（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．
又∵|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4）2≥0．
∴a＝3，b＝1；
故答案为a=3，b=1.
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（30+t）×1，
解得t＝15；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（30+t）×1＝180，
解得t＝82.5；
③当120＜t＜150时，
3t﹣360＝t+30，
解得t＝195＞150（不合题意）
综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.
故答案为：t=15秒或t=82.5秒.
（3）设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BCD：∠BAC＝2：3．
故答案为：∠BAC与∠BCD的数量关系不发生变化，其大小比值为∠BCD:∠BAC＝2:3.
【点睛】
本题考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、解方程等知识，读懂题目的意思，掌握好平行线的性质是解题的关键.
25．（1）120°；（2）2∠AQB+∠C=180°；（3）∠DAC=60°，∠ACB=120°，∠CBE=120°.
【分析】
（1）过点C作CF∥AD，则CF∥BE，根据平行线的性质可得出∠ACF=∠A、∠BCF=180°-∠B，将其代入∠ACB=∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度数；
（2）过点Q作QM∥AD，则QM∥BE，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出∠AQB=(∠CBE-∠CAD)，结合（1）的结论可得出2∠AQB+∠C=180°；
（3）由（2）的结论可得出∠CAD=∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（1）的结论可得出∠ACB的度数.
【详解】

解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．
∵CF∥AD∥BE，
∴∠ACF=∠A，∠BCF=180°-∠B，
∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°-（∠B-∠A）=180°-(118°-58°)=120°．
（2）在图2中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．
∵QM∥AD，QM∥BE，
∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．
∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
∴∠NAD=∠CAD，∠EBQ=∠CBE，
∴∠AQB=∠BQM-∠AQM=(∠CBE-∠CAD)．
∵∠C=180°-(∠CBE-∠CAD)=180°-2∠AQB，
∴2∠AQB+∠C=180°．
（3）∵AC∥QB，
∴∠AQB=∠CAP=∠CAD，∠ACP=∠PBQ=∠CBE，
∴∠ACB=180°-∠ACP=180°-∠CBE．
∵2∠AQB+∠ACB=180°，
∴∠CAD=∠CBE．
又∵QP⊥PB，
∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，
∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，
∴∠ACB=180°-（∠CBE-∠CAD）=120°，
故∠DAC=60°，∠ACB=120°，∠CBE=120°.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、邻补角、角平分线以及垂线，解题的关键是：（1）根据平行线的性质结合角的计算找出∠ACB=180°-(∠B-∠A)；（2）根据平行线的性质、角平分线的定义找出∠AQB=(∠CBE-∠CAD)；（3）由AC∥QB、QP⊥PB结合（1）（2）的结论分别求出∠DAC、∠ACB、∠CBE的度数．
26．（1）∠MCN=70°；（2）∠ACM=35°；（3）不变．（详见解析）
【分析】
（1）由AB∥CD可得∠ACD=180°-∠A，再由CM、CN均为角平分线可求解；
（2）由AB∥CD可得∠AMC=∠MCD，再由∠AMC=∠ACN可得∠ACM =∠NCD；
（3）由AB∥CD可得∠APC=∠PCD，再由CN为角平分线即可解答．
【详解】
解：（1）∵A B∥CD，
∴∠ACD=180°﹣∠A=140°，
又∵CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，
∴∠MCN=∠MCP+∠NCP=（∠ACP+∠PCD）=∠ACD=70°，
故答案为：70°．
（2）∵AB∥CD，
∴∠AMC=∠MCD，
又∵∠AMC=∠ACN，
∴∠MCD=∠ACN，
∴∠ACM=∠ACN﹣∠MCN=∠MCD﹣∠MCN=∠NCD，
∴∠ACM=∠MCP=∠NCP=∠NCD，
∴∠ACM=∠ACD=35°，
故答案为：35°．
（3）不变．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠APC=∠PCD，∠ANC=∠NCD，
又∵CN平分∠PCD，
∴∠ANC=∠NCD=∠PCD=∠APC，即∠APC：∠ANC=2：1．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质的运用，解决问题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．