人教版八年级数学上学期期末试卷带答案.doc

人教版八年级数学上学期期末试卷带答案
一、选择题
1、以下标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2、春天柳絮发芽开花，风一吹就到处飞扬，柳絮纤维据测定直径为0.00000105m，0.00000105这个数用科学记数法可表示为（       ）
A． B． C． D．
3、下列计算正确的是（       ）
A． B． C． D．
4、下列分式中一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
5、下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（       ）
A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） B．a（m＋n）＝am＋an
C．（a＋b）2＝a2＋b2 D．x2﹣16＋6x＝（x＋4）（x﹣4）＋6x
6、下列分式变形中正确的是（       ）
A． B． C． D．
7、如图，已知∠1＝∠2，要得到结论ABC≌ADC，不能添加的条件是（       ）

A． BC＝DC B．∠ACB＝∠ACD C．AB＝AD D．∠B＝∠D
8、若整数k使关于x的一元一次不等式组的解集是，且使关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数k的值之和为（       ）
A． B． C．0 D．2
9、如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，∠B＝40°，则∠BAD＝（　　）

A．20° B．30°
C．35° D．40°
二、填空题
10、如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）．

A．4 B．3 C．2 D．1
11、若分式的值为0，则x的值为____________．
12、在平面直角坐标系中，若点和关于y轴对称，则______．
13、已知ab＝1，则①＋＝___；②＋＝___．
14、已知，，求__________．
15、如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是__________．

16、如图，多边形ABCDE为正五边形，则∠ACB的度数为______．

17、当，代数式的值是_______________．
18、如图，等边△ABC边长为12cm，BD＝4cm，点P在线段BC上以每秒2cm的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为每秒 _____cm时，能够在某一时刻使得△BPD与△CQP全等．

三、解答题
19、分解因式：
(1)．
(2)．
20、解分式方程：
21、如图，是的平分线，点是线段上的一点，，．

求证：．
22、（1）在图1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．

（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把AD⊥BC于D改为F是AE上一点，FD⊥BC于D，试用x、y表示∠DFE＝　 ：
（3）在图3中，当点F是AE延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．
（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图3、试用x、y表示∠P＝　 ．
23、儿童节前夕，某中学组织学生去儿童福利院慰问，在准备礼品时发现，购买个甲礼品比购买个乙礼品多花元，并且花费元购买甲礼品和花费元购买乙礼品可买到的数量相等．
(1)求甲、乙两种礼品的单价各为多少元；
(2)学校准备购买甲、乙两种礼品共个送给福利院的儿童，并且购买礼品的总费用不超过元，那么最多可购买多少个甲礼品？
24、阅读下列材料：
材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3
25、△ABC、△DPC都是等边三角形．

(1)如图1，求证：AP＝BD；
(2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．
①求证：BP⊥BD；
②判断PC与PA的数量关系并证明．
一、选择题
1、A
【解析】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解．
【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2、C
【解析】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3、B
【解析】B
【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减；合并同类项系数相加字母及指数不变；同底数幂的乘法底数不变指数相加；幂的乘方底数不变指数相乘，可得答案．
【详解】解：A、不是同类项不能加减，故A不符合题意；
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的运算、合并同类项法则等知识，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
4、C
【解析】C
【分析】根据分式有意义的条件：分母≠0，即可作答．
【详解】A：当x=0时，分母=0，不符合题意；
B：当x=1或-1时，分母=0，不符合题意；
C：无论x取何实数，分母都不等于0，符合题意；
D：当x=-1时，分母=0，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练地掌握“当分母不等于0时分式有意义”是解题的关键．
5、A
【解析】A
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、等号左右两边式子不相等，故本选项不符合题意；
D、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
6、C
【解析】C
【分析】根据分式的基本性质和分式的化简逐项判断即可．
【详解】解：A、根据分式的基本性质，分式的分子分母不能加上同一个整式，故选项错误，不符合题意；
B、根据分式的基本性质，分式的分子分母不能同时平方，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项正确，符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质和分式的化简，使用分式的分式的基本性质时，一定要注意分式的分子分母都乘或除以同一个不为0的整式，否则就不是恒等变形．
7、A
【解析】A
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，∠1＝∠2，
A、当BC＝DC时，是边边角，不能得到结论ABC≌ADC，故本选项符合题意；
B、当∠ACB＝∠ACD时，是角边角，能得到结论ABC≌ADC，故本选项不符合题意；
C、当AB＝AD时，是边角边，能得到结论ABC≌ADC，故本选项不符合题意；
D、当∠B＝∠D时，是角角边，能得到结论ABC≌ADC，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．
8、B
【解析】B
【分析】根据不等式组的解集确定k的取值范围，再根据分式方程有非负整数解得出k的所有可能的值，再进行计算即可．
【详解】解：解不等式得：x＞3，
∵整数k使关于x的一元一次不等式组的解集是x＞3，
∴k≤3，
解分式方程得：y＝，
则是非负整数，
∴k＝3或k＝1或k＝−1或k＝−3，
当k＝1时，y＝2是方程的增根，舍去，
∴k＝3或k＝−1或k＝−3，
∴符合条件的所有整数k的值之和为3−1−3＝−1，
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的整数解，解一元一次不等式组，掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，理解分式方程的整数解的意义是正确解答的前提．
9、B
【解析】B
【分析】根据等腰三角形的性质可得，则有，进而根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴，
∵AC＝CD，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和及外角的性质是解题的关键．
二、填空题
10、B
【解析】B
【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明;
②利用三角形的外角性质即可证明; ④作于，于,再证明即可证明平分.
【详解】解：∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：
∴°，②正确；
作于，于，如图所示：

则°，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
正确的个数有3个；
故选B．
【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等.
11、
【分析】根据分式的值为零的条件：分母不为零，分子为零，即可求出x的值．
【详解】解：根据分式的值为零的条件可得：
，
可得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，熟知当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零是解答本题的关键．
12、1
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵点和关于y轴对称，

得
解得
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，零指数幂的运算，代数式求值，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律：
13、     1     1
【分析】①先通分，然后根据同分母分式相加，即可化简题目中的式子，然后将ab的值代入即可解答本题；
②先通分，然后根据同分母分式相加，即可化简题目中的式子，然后将ab的值代入即可解答本题．
【详解】①，
当ab＝1时，原式＝，
故答案为：1；
②，
当ab＝1时，原式＝，
故答案为：1.
【点睛】本题考查的是分式的加法，熟练掌握分式的加法法则是解决本题的关键.
14、
【分析】根据同底数幂除法的运算法则进行计算即可．
【详解】解：，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂除法的运算法则，熟练掌握法则是解答此题的关键．
15、10
【分析】如图，根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，的最小值等于的长，根据，的长度即可得到周长的最小值．
【详解】∵垂直平分，
∴点与点关于对称，
如图，设与相交于点,
∴当和重
【解析】10
【分析】如图，根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，的最小值等于的长，根据，的长度即可得到周长的最小值．
【详解】∵垂直平分，
∴点与点关于对称，
如图，设与相交于点,
∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长，
∵，，
∴的周长的最小值是，
故答案为：9、

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质，解答此题的关键是准确找出点的位置．
16、36°
【分析】根据正多边形的性质和内角和公式，可知∠B=108°，AB=BC，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和求∠ACB的度数.
【详解】解：∵多边形ABCDE为正五边形
∴AB=BC
又五边
【解析】36°
【分析】根据正多边形的性质和内角和公式，可知∠B=108°，AB=BC，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和求∠ACB的度数.
【详解】解：∵多边形ABCDE为正五边形
∴AB=BC
又五边形的内角和为（5-2）×180°=540°
∴∠B=540°÷5=108°
∵AB=BC
∴∠ACB=（180°-108°）=36°
故答案为：36°.
【点睛】本题考查了正多边形的性质和内角和公式，等腰三角形的性质以及三角形内角和，熟练地掌握这些知识是解题的关键.
17、21
【分析】由，可得再两边平方可得：从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴
故答案为：21
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式求解代数式的值，二次根式的乘法运算，灵活应用完全平方公式求
【解析】21
【分析】由，可得再两边平方可得：从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴
故答案为：21
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式求解代数式的值，二次根式的乘法运算，灵活应用完全平方公式求值是解本题的关键．
18、2cm或cm
【分析】先表示出BD=4cm，BP=2t，CP=12-2t，利用等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，讨论：当BP=CQ，BD=CP时，根据“SAS”可判断△BPD≌△CQP，即CQ
【解析】2cm或cm
【分析】先表示出BD=4cm，BP=2t，CP=12-2t，利用等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，讨论：当BP=CQ，BD=CP时，根据“SAS”可判断△BPD≌△CQP，即CQ=2t，12-2t=4；当BP=CP，BD=CQ时可判断△BPD≌△CPQ，即2t=12-2t，CQ=BD=4，然后分别求出t和CQ的长度，从而得到点Q运动的速度．
【详解】解：设点Q的运动速度为每秒xcm，点Q的运动时间为t秒，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C，BC＝12，
∴当BD＝CQ，BP＝CP时，根据“SAS”可判断△BPD≌△CPQ，
即4＝xt，2t＝12﹣2t，
即得t＝3，x＝；
当BD＝CP，BP＝CQ时，根据“SAS”可判断△BPD≌△CPQ，
即4＝12﹣2t，2t＝tx，
即得t＝4，x＝2；
综上所述，当点Q的运动速度为每秒2cm或cm时，能够在某一时刻使得△BPD与△CQP全等．
故答案为2cm或cm．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．也考查了等边三角形的性质．
三、解答题
19、(1)
(2)
【分析】（1）提取公因数，利用完全平方和公式即可求得；
（2）提取公因数，利用平方差公式即可求得．
(1)
解：
；
(2)
解：
．
【点睛】本题主要考查利用公式以及提取公
【解析】(1)
(2)
【分析】（1）提取公因数，利用完全平方和公式即可求得；
（2）提取公因数，利用平方差公式即可求得．
(1)
解：

；
(2)
解：

．
【点睛】本题主要考查利用公式以及提取公因数法因式分解，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
20、【分析】先去分母得到，再去括号，移项合并同类项得到，再系数化为1即可得到答案.
【详解】
去分母得到，
去括号得到，
移项合并同类项得到，
系数化为1可得,
经检验是原方程的解，
故原方程的解为：
【解析】
【分析】先去分母得到，再去括号，移项合并同类项得到，再系数化为1即可得到答案.
【详解】
去分母得到，
去括号得到，
移项合并同类项得到，
系数化为1可得,
经检验是原方程的解，
故原方程的解为：.
【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的基本步骤.
21、见解析．
【分析】由是的平分线可知，再根据题意利用“角角边”易证．
【详解】∵是的平分线，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．由角平分线的性质得出和熟练掌握三角形全等的判定条件是
【解析】见解析．
【分析】由是的平分线可知，再根据题意利用“角角边”易证．
【详解】∵是的平分线，
∴，

，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．由角平分线的性质得出和熟练掌握三角形全等的判定条件是解答本题的关键．
22、（1）15°；（2）；（3）结论应成立．（4）．
【分析】（1）根据三角形内角和公式得出∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-40°=70°，根据AE平分∠BAC，得出∠BAE=，利用A
【解析】（1）15°；（2）；（3）结论应成立．（4）．
【分析】（1）根据三角形内角和公式得出∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-40°=70°，根据AE平分∠BAC，得出∠BAE=，利用AD⊥BC，得出∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，然后用角的差计算即可；
（2）根据三角形内角和得出∠BAC=180°-∠B-∠C=180°- x-y，根据AE平分∠BAC，得出∠EAC=，利用FD⊥BC，可得∠DFE+∠FED=90°，根据∠FED是△AEC的外角，可求∠FED=∠C+∠EAC=，利用余角求解即可；
（3）结论应成立．过点A作AG⊥BC于G，根据三角形内角和得出∠BAC=180°-∠B-∠C=180°- x-y，根据AE平分∠BAC，得出∠BAE=，根据AG⊥BC，得出∠BAG=90°-∠B=90°-，可求∠GAE=∠BAE-∠BAG==，根据FD⊥BC，AG⊥BC，可证AG∥FD，利用平行线性质即可求解；
（4）设AF与PD交于H，根据FD⊥BC，PD平分∠EDF，得出∠HDF=，根据PA平分∠BAE，∠BAE=，得出∠PAE=，根据对顶角性质∠AHP=∠FHD，结合三角形内角和得出∠P+∠PAE=∠HDF+∠EFD，即∠P+=45°+，求出∠P即可．
【详解】解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-40°=70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-20°=15°；
（2）∵∠B＝x，∠C＝y，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°- x-y，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=，
∵FD⊥BC，
∴∠EDE=90°，
∴∠DFE+∠FED=90°，
∵∠FED是△AEC的外角，
∴∠FED=∠C+∠EAC=，
∴∠DFE=90°-∠FED=，
故答案为：；
（3）结论应成立．
过点A作AG⊥BC于G，
∵∠B＝x，∠C＝y，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°- x-y，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB=90°，
∴∠B+∠BAG=90°，
∴∠BAG=90°-∠B=90°-，
∴∠GAE=∠BAE-∠BAG==，
∵FD⊥BC，AG⊥BC，
∴AG∥FD，
∴∠EFD=∠GAE=

（4）设AF与PD交于H，
∵FD⊥BC，PD平分∠EDF，
∴∠HDF=，
∵PA平分∠BAE，∠BAE=，
∴∠PAE=，
∵∠AHP=∠FHD，∠EFD=
∴∠P+∠PAE=∠HDF+∠EFD，即∠P+=45°+，
∴∠P=，
故答案为：．

【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角性质，对顶角性质，平行线的判定与性质，掌握三角形内角和，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角性质，对顶角性质，平行线的判定与性质是解题关键．
23、(1)甲礼品80元，乙礼品60元
(2)最多可购买20个甲礼品
【分析】（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品(
【解析】(1)甲礼品80元，乙礼品60元
(2)最多可购买20个甲礼品
【分析】（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品(50﹣m)个，根据题意列不等式求解即可．
（1）
设购买一个乙礼品需要x元，
根据题意得：，

解得：x=60，
经检验x=60是原方程的根，
∴x+20=80．
答：甲礼品80元，乙礼品60元；
（2）
设总费用不超过3400元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品(50﹣m)个，
根据题意得：80m+60(50﹣m)≤3400，

解得：m≤19、
答：最多可购买20个甲礼品．
【点睛】此题主要考查了分式方程和不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程和不等式．
24、（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即
【解析】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，
所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）
=（m2-2m-3）（m2-2m+1）
=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）1、
【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
25、(1)证明过程见解析；
(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．
【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；
（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．证
【解析】(1)证明过程见解析；
(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．
【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；
（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．证明△AMP≌△CMK（SAS），推出MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，再证明△PDB≌△PCK（SSS），可得结论；
②结论：PC=2PA．想办法证明∠DPB=30°，可得结论．
（1）证明：如图1中，∵△ABC，△CDP都是等边三角形，∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°，∴∠BCD=∠ACP，在△BCD和△ACP中，，∴△BCD≌△ACP（SAS），∴BD=AP；
（2）证明：如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．∵AP⊥PM，∴∠APM=90°，在△AMP和△CMK中，，∴△AMP≌△CMK（SAS），∴MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，同法可证△BCD≌△ACP，∴BD=PA=CK，∵PB=2PM，∴PB=PK，∵PD=PC，∴△PDB≌△PCK（SSS），∴∠PBD=∠K=90°，∴PB⊥BD．②解：结论：PC=2PA．∵△PDB≌△PCK，∴∠DPB=∠CPK，设∠DPB=∠CPK=x，则∠BDP=90°-x，∵∠APC=∠CDB，∴90°+x=60°+90°-x，∴x=30°，∴∠DPB=30°，∵∠PBD=90°，∴PD=2BD，∵PC=PD，BD=PA，∴PC=2PA．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题．