初三数学-平行四边形的专项-培优练习题及答案.doc

初三数学 平行四边形的专项 培优练习题及答案一、平行四边形1已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明BMC=90；（2）如图2，当b2a时，点M在运动的过程中，是否存在BMC=90，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析;（3）不成立理由如下见解析.【解析】试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得AMB=DMC=45，则可求得BMC=90；（2）由BMC=90，易证得ABMDMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2bx+a2=0，由b2a，a0，b0，即可判定0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2），当b2a，a0，b0，判定方程x2bx+a2=0的根的情况，即可求得答案试题解析：（1）b=2a，点M是AD的中点，AB=AM=MD=DC=a，又在矩形ABCD中，A=D=90，AMB=DMC=45，BMC=90（2）存在，理由：若BMC=90，则AMB+DMC=90，又AMB+ABM=90，ABM=DMC，又A=D=90，ABMDMC，设AM=x，则，整理得：x2bx+a2=0，b2a，a0，b0，=b24a20，方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，当b2a时，存在BMC=90，（3）不成立理由：若BMC=90，由（2）可知x2bx+a2=0，b2a，a0，b0，=b24a20，方程没有实数根，当b2a时，不存在BMC=90，即（2）中的结论不成立考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质2在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE2b，且边AD和AE在同一直线上操作示例当2ba时，如图1，在BA上选取点G，使BGb，连结FG和CG，裁掉FAG和CGB并分别拼接到FEH和CHD的位置构成四边形FGCH思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90到FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故CHDCGB，从而又可将CGB绕点C顺时针旋转90到CHD的位置这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FMAE于点M（图略），利用SAS公理可判断HFMCHD，易得FH=HC=GC=FG，FHC=90进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形实践探究（1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a， b的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图联想拓展小明通过探究后发现：当ba时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移当ba时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；剪拼方法如图2-图4；联想拓展：能，剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的3操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将ABP沿AP向右翻折，得到AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，若BAP=30，求AFE的度数；若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时AFD的度数归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论【答案】（1）45；BC的中点，45；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析.【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EGAD，得EGBC，得到AF垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），AFD的度数不会发生变化，作AGDF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出1+2的度数，即为FAG度数，即可求出F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，AFD的度数不会发生变化，理由为：作AGDE于G，得DAG=EAG，设DAG=EAG=，根据FAE为BAE一半求出所求角度数即可试题解析：（1）当点P在线段BC上时，EAP=BAP=30，DAE=90302=30，在ADE中，AD=AE，DAE=30，ADE=AED=（18030）2=75，在AFD中，FAD=30+30=60，ADF=75，AFE=1806075=45；点E为DF的中点时，P也为BC的中点，理由如下：如图1，连接BE交AF于点O，作EGAD，得EGBC，EGAD，DE=EF，EG=AD=1，AB=AE，点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，AF垂直平分线段BE，OB=OE，GEBP，OBP=OEG，OPB=OGE，BOPEOG，BP=EG=1，即P为BC的中点，DAF=90BAF，ADF=45+BAF，AFD=180DAFADF=45；（2）AFD的度数不会发生变化，作AGDF于点G，如图1（a）所示，在ADE中，AD=AE，AGDE，AG平分DAE，即2=DAG，且1=BAP，1+2=90=45，即FAG=45，则AFD=9045=45；（3）如图2所示，AFE的大小不会发生变化，AFE=45，作AGDE于G，得DAG=EAG，设DAG=EAG=，BAE=90+2，FAE=BAE=45+，FAG=FAEEAG=45，在RtAFG中，AFE=9045=45考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.4操作与证明：如图1，把一个含45角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN（1）连接AE，求证：AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论结论1：DM、MN的数量关系是 ；结论2：DM、MN的位置关系是 ；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出ABEADF，得到AE=AF，从而证明出AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MNAE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到DMN=DGE=90从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD，B=ADF=90，CEF是等腰直角三角形，C=90，CE=CF，BCCE=CDCF，即BE=DF，ABEADF，AE=AF，AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；在RtADF中DM是斜边AF的中线，AF=2DM，MN是AEF的中位线，AE=2MN，AE=AF，DM=MN；DMF=DAF+ADM，AM=MD，FMN=FAE，DAF=BAE，ADM=DAF=BAE，DMN=FMN+DMF=DAF+BAE+FAE=BAD=90，DMMN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，点M为AF的中点，点N为EF的中点，MNAE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，B=ADF，CE=CF，又BC+CE=CD+CF，即BE=DF，ABEADF，AE=AF，在RtADF中，点M为AF的中点，DM=AF，DM=MN，ABEADF，1=2，ABDF，1=3，同理可证：2=4，3=4，DM=AM，MAD=5，DGE=5+4=MAD+3=90，MNAE，DMN=DGE=90，DMMN所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质5如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定BOEDOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.详解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，A=90，AD=BC=4，ABDC，OB=OD，OBE=ODF，在BOE和DOF中， BOEDOF（ASA），EO=FO，四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，BDEF，设BE=x，则DE=x，AE=6-x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6-x）2，解得：x= ，BD= =2，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 6如图，在等腰中，点E在AC上且不与点A、C重合，在的外部作等腰，使，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF请直接写出线段AF，AE的数量关系；将绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；若，在图的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度 【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】【分析】如图中，结论：，只要证明是等腰直角三角形即可；如图中，结论：，连接EF，DF交BC于K，先证明再证明是等腰直角三角形即可；分两种情形a、如图中，当时，四边形ABFD是菱形、如图中当时，四边形ABFD是菱形分别求解即可.【详解】如图中，结论：理由：四边形ABFD是平行四边形，是等腰直角三角形，故答案为如图中，结论：理由：连接EF，DF交BC于K四边形ABFD是平行四边形，在和中，是等腰直角三角形，如图中，当时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知，如图中当时，四边形ABFD是菱形，易知，综上所述，满足条件的AE的长为或【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型7在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F（1）如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H求证ADBAOB；求点H的坐标（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）【答案】（1）D（1，3）；（2）详见解析；H（，3）；（3）S【解析】【分析】（1）如图，在RtACD中求出CD即可解决问题；（2）根据HL证明即可；，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在RtAHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图中，当点D在线段BK上时，DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，DEK的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图中，A（5，0），B（0，3），OA=5，OB=3，四边形AOBC是矩形，AC=OB=3，OA=BC=5，OBC=C=90，矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，AD=AO=5，在RtADC中，CD=4，BD=BC-CD=1，D（1，3）（2）如图中，由四边形ADEF是矩形，得到ADE=90，点D在线段BE上，ADB=90，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，AOB=90，RtADBRtAOB（HL）如图中，由ADBAOB，得到BAD=BAO，又在矩形AOBC中，OABC，CBA=OAB，BAD=CBA，BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在RtAHC中，AH2=HC2+AC2，m2=32+（5-m）2，m=，BH=，H（，3）（3）如图中，当点D在线段BK上时，DEK的面积最小，最小值=DEDK=3（5-）=，当点D在BA的延长线上时，DEK的面积最大，最大面积=DEKD=3（5+）=综上所述，S【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题8如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且ABC+ADC=180（1）求证：四边形ABCD是矩形（2）若ADF：FDC=3：2，DFAC，求BDF的度数【答案】(1)见解析；（2）18.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出ABC=90，根据矩形的判定得出即可；（2）求出FDC的度数，根据三角形内角和定理求出DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出CDO，即可求出答案【详解】（1）证明：AO=CO，BO=DO四边形ABCD是平行四边形，ABC=ADC，ABC+ADC=180，ABC=ADC=90，四边形ABCD是矩形；（2）解：ADC=90，ADF：FDC=3：2，FDC=36，DFAC，DCO=9036=54，四边形ABCD是矩形，OC=OD，ODC=54BDF=ODCFDC=18【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形9已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF（1）求证：DOEBOF（2）当DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）当DOE=90时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOEBOF（ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案试题解析：（1）在ABCD中，O为对角线BD的中点，BO=DO，EDB=FBO，在EOD和FOB中，DOEBOF（ASA）；（2）当DOE=90时，四边形BFDE为菱形，理由：DOEBOF，OE=OF，又OB=OD，四边形EBFD是平行四边形，EOD=90，EFBD，四边形BFDE为菱形考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定10如图1，在ABC中，ABAC，ADBC于D，分别延长AC至E，BC至F，且CEEF，延长FE交AD的延长线于G（1）求证：AEEG；（2）如图2，分别连接BG，BE，若BGBF，求证：BEEG；（3）如图3，取GF的中点M，若AB5，求EM的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：CADG，可得AEEG；（2）作辅助线，证明BEFGEC（SAS），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EMDNAC，计算可得结论【详解】证明：（1）如图1，过E作EHCF于H，ADBC，EHAD，CEHCAD，HEFG，CEEF，CEHHEF，CADG，AEEG；（2）如图2，连接GC，ACBC，ADBC，BDCD，AG是BC的垂直平分线，GCGB，GBFBCG，BGBF，GCBE，CEEF，CEF1802F，BGBF，GBF1802F，GBFCEF，CEFBCG，BCECEF+F，BCEBCG+GCE，GCEF，在BEF和GCE中，BEFGEC（SAS），BEEG；（3）如图3，连接DM，取AC的中点N，连接DN，由（1）得AEEG，GAEAGE，在RtACD中，N为AC的中点，DNACAN，DANADN，ADNAGE，DNGF，在RtGDF中，M是FG的中点，DMFGGM，GDMAGE，GDMDAN，DMAE，四边形DMEN是平行四边形，EMDNAC，ACAB5，EM【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键11点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得OEF30时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明【答案】（1）OEOF理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OEOF仍然成立；（3）CFOE+AE或CFOEAE【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定，得出OE=OF；（2）先延长EO交CF于点G，通过判定，得出OG=OE，再根据中，即可得到OE=OF；（3）根据点P在射线OA上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P在线段OA上时，当点P在线段OA延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可【详解】（1）OE=OF理由如下：如图1四边形ABCD是矩形， OA=OC，在和中， OE=OF；（2）补全图形如图2，OE=OF仍然成立证明如下：延长EO交CF于点G， AE/CF，又点O为AC的中点， AO=CO在和中， OG=OE，中， OE=OF；（3）CF=OE+AE或CF=OE-AE证明如下：如图2，当点P在线段OA上时，由（2）可得：OF=OG，是等边三角形， FG=OF=OE，由（2）可得：， CG=AE又 CF=GF+CG， CF=OE+AE；如图3，当点P在线段OA延长线上时，同理可得：是等边三角形， FG=OF=OE，同理可得：， CG=AE又 CF=GF-CG， CF=OE-AE【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决12如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GEDC于点E，GFBC于点F，连结AG（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，AGF=105，求线段BG的长【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）【解析】试题分析：（1）结论：AG2=GE2+GF2只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在RtGFC中，利用勾股定理即可证明；（2）作BNAG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM设AN=x易证AM=BM=2x，MN=x，在RtABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根据BG=BNcos30即可解决问题.试题解析：（1）结论：AG2=GE2+GF2理由：连接CG四边形ABCD是正方形，A、C关于对角线BD对称，点G在BD上，GA=GC，GEDC于点E，GFBC于点F，GEC=ECF=CFG=90，四边形EGFC是矩形，CF=GE，在RtGFC中，CG2=GF2+CF2，AG2=GF2+GE2（2）作BNAG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM设AN=xAGF=105，FBG=FGB=ABG=45，AGB=60，GBN=30，ABM=MAB=15，AMN=30，AM=BM=2x，MN=x，在RtABN中，AB2=AN2+BN2，1=x2+（2x+x）2，解得x=，BN=，BG=BNcos30=考点：1、正方形的性质，2、矩形的判定和性质，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性质13小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：对折矩形纸片ABCD(ABBC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处，再折出PB、PC，最后用笔画出PBC(图1)（1）求证：图1中的 PBC是正三角形： （2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN求证：IH=IJ请求出NJ的长； （3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；12-6（3）3a4，a4【解析】分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）利用“HL”证RtIHMRtIJN即可得；IJ上取一点Q，使QI=QN，由RtIHMRtIJN知HIM=JIN=15，继而可得NQJ=30，设NJ=x，则IQ=QN=2x、QJ=x，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可（1）证明：对折矩形纸片ABCD(ABBC)，使AB与DC重合，得到折痕EFPB=PC沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处PB=BCPB=PC=BCPBC是正三角形：（2）证明：如图矩形AHIJH=J=90MNJ是等边三角形MI=NI在RtMHI和RtJNI中 RtMHIRtJNI（HL）HI=IJ在线段IJ上取点Q，使IQ=NQRtIHMRtIJN，HIM=JIN，HIJ=90、MIN=60，HIM=JIN=15，由QI=QN知JIN=QNI=15，NQJ=30，设NJ=x，则IQ=QN=2x，QJ=x，IJ=6cm，2x+x=6，x=12-6，即NJ=12-6（cm）（3）分三种情况：如图：设等边三角形的边长为b，则0b6，则tan60=，a=，0b=；如图当DF与DC重合时，DF=DE=6，a=sin60DE=，当DE与DA重合时，a=，a；如图DEF是等边三角形FDC=30DF=a点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大14如图1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是ACP的平分线上一点，若AMN=60，求证：AM=MN（2）若将（1）中“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”，N是DCP的平分线上一点，若AMN=90，则AM=MN是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由（3）若将（2）中的“正方形ABCD”改为“正n边形A1A2An“，其它条件不变，请你猜想：当An2MN=_时，结论An2M=MN仍然成立（不要求证明） 【答案】【解析】分析：（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明AEMMCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明AEMMCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN详（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME在正ABC中，B=BCA=60，AB=BCNMC=180-AMN-AMB=180-B-AMB=MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，BEM=60，AEM=120N是ACP的平分线上一点，ACN=60，MCN=120在AEM与MCN中，MAE=NMC，AE=MC，AEM=MCN，AEMMCN（ASA），AM=MN（2）解：结论成立；理由：在边AB上截取AE=MC，连接ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180-AMN-AMB=180-B-AMB=MAB=MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，BEM=45，AEM=135N是DCP的平分线上一点，NCP=45，MCN=135在AEM与MCN中，MAE=NMC，AE=MC，AEM=MCN，AEMMCN（ASA），AM=MN（3）由（1）（2）可知当An-2MN等于n边形的内角时，结论An-2M=MN仍然成立；即An-2MN=时，结论An-2M=MN仍然成立；故答案为点睛：本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力难度较大15如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）2【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案；（2）首先证明ABPQBP，进而得出BCHBQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明EFMBPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值试题解析：（1）解：如图1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPH-EPB=EBC-EBP即PBC=BPH又ADBC，APB=PBCAPB=BPH（2）证明：如图2，过B作BQPH，垂足为Q由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，在ABP和QBP中，ABPQBP（AAS），AP=QP，AB=BQ，又AB=BC，BC=BQ又C=BQH=90，BH=BH，在BCH和BQH中，BCHBQH（SAS），CH=QHPHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8PDH的周长是定值（3）解：如图3，过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB又EF为折痕，EFBPEFM+MEF=ABP+BEF=90，EFM=ABP又A=EMF=90，在EFM和BPA中，EFMBPA（AAS） EM=AP设AP=x在RtAPE中，（4-BE）2+x2=BE2解得BE=2+，CF=BE-EM=2+-x，BE+CF=-x+4=（x-2）2+3当x=2时，BE+CF取最小值，AP=2考点：几何变换综合题