资源描述
一、选择题
1．若关于的不等式仅有四个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于30，那么的最小值是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
3．已知不等式组的解集如图所示（原点没标出，数轴单位长度为1），则的取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．若关于x的一元一次不等式组的解集是xa，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．6
5．某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）折．
A．7 B．6 C．8 D．5
6．已知点在第三象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．不等式组只有4个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．如果关于x的不等式组的解集为x＞4，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则下列选项中，不符合条件的整数m的值是（ ）
A．﹣4 B．2 C．4 D．5
9．不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．对于任意实数、，定义一种运算：．例如，，请根据上述的定义解决问题，若不等式，则该不等式的正整数解是（ ）
A．1 B．1,2 C．2 D．不存在
二、填空题
11．某校七年级有个班，共人，（1）班至（4）班的人数分别，，，．已知（1）班的人数不少于人，且，则（4）班人数为______．
12．按图中程序计算，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则的取值范围为_______________________．
13．“输入一个实数 x，然后经过如图的运算，到判断是否大于 190 为止”叫做一次操作，那么恰好经过三次操作停止，则x的取值范围是_______________．
14．定义运算，下列给出了关于这种运算的几个结论：（1）；（2）是无理数；（3）方程不是二元一次方程；（4）不等式组的解集是．其中正确的是________（填序号）．
15．已知一个两位数，将其个位上的数和十位上的数对调后组成一个新的两位数．若原两位数与8的和不大于新两位数的一半，则满足条件的两位数有______个.
16．已知关于的不等式的正整数解恰好是1，2，3，4，那么的取值范围是_______
17．一年一度的“八中之星”校园民谣大赛是每年八中艺术节的重要活动之一，吸引了众多才华横溢的八中同学参赛.该比赛裁判小组由若干人组成，每名裁判员给选手的最高分不超过10分.今年大赛一名选手演唱后的得分情况是：全体裁判员所给分数的平均分是9.84分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.9分.那么，所有裁判员所给分数中的最低分最少可以是________分.
18．若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是___________.
19．若关于的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数的值有______个．
20．对于数，符号 表示不超过的最大整数，暨，若关于的方程有正整数解，则的取值范围是________．
三、解答题
21．某水果店到水果批发市场采购苹果，师傅看中了甲、乙两家某种品质一样的苹果，零售价都为8元/千克，批发价各不相同，甲家规定：批发数量不超过100千克，全部按零价的九折优惠；批发数量超过100千克全部按零售价的八五折优惠，乙家的规定如下表：
数量范围（千克）
不超过50的部分
50以上但不超过150的部分
150以上的部分
价格（元）
零售价的95%
零售价的85%
零售价的75%
（1）如果师傅要批发240千克苹果选择哪家批发更优惠？
（2）设批发x千克苹果（），问师傅应怎样选择两家批发商所花费用更少？
22．对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，给出如下定义：
将|x1﹣x2|称为点M，N之间的“横长”，|y1﹣y2|称为点M，N之间的纵长”，点M与点N的“横长”与“纵长”之和称为“折线距离”，记作d(M，N)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|“．
例如：若点M(﹣1，1)，点N(2，﹣2)，则点M与点N的“折线距离”为：d(M，N)=|﹣1﹣2|+|1﹣(﹣2)|=3+3=6．
根据以上定义，解决下列问题：
已知点P(3，2)．
（1）若点A(a，2)，且d(P，A)=5，求a的值；
（2）已知点B(b，b)，且d(P，B)＜3，直接写出b的取值范围；
（3）若第一象限内的点T与点P的“横长”与“纵长”相等，且d(P，T)＞5，简要分析点T的横坐标t的取值范围．
23．阅读理解：
定义：，，为数轴上三点，若点到点的距离是它到点的时距离的（为大于1的常数）倍，则称点是的倍点，且当是的倍点或的倍点时，我们也称是和两点的倍点．例如，在图1中，点是的2倍点，但点不是的2倍点．
（1）特值尝试．
①若，图1中，点______是的2倍点．（填或）
②若，如图2，，为数轴上两个点，点表示的数是，点表示的数是4，数______表示的点是的3倍点．
（2）周密思考：
图2中，一动点从出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动秒，若恰好是和两点的倍点，求所有符合条件的的值．（用含的式子表示）
（3）拓展应用
数轴上两点间的距离不超过30个单位长度时，称这两点处于“可视距离”．若（2）中满足条件的和两点的所有倍点均处于点的“可视距离”内，请直接写出的取值范围．（不必写出解答过程）
24．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
25．在平面直角坐标系中，点，，，且，，满足．
（1）请用含的式子分别表示，两点的坐标；
（2）当实数变化时，判断的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围；
（3）如图，已知线段与轴相交于点，直线与直线交于点，若，求实数的取值范围．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标为，，，其中，，满足，．
（1）求，，的值；
（2）若在轴上，且，求点坐标；
（3）如果在第二象限内有一点，在什么取值范围时，的面积不大于的面积？求出在符合条件下，面积最大值时点的坐标．
27．若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y﹣1＝0是“友好方程”．
（1）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．
（2）若关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值．
28．阅读理解：
例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．
例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣2|＝3的解为 ；
（2）解不等式：|x﹣2|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．
（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围．
29．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b）．如果存在点N（a′，b′），满足a′＝|a＋b|，b′＝|a﹣b|，则称点N为点M的“控变点”．
（1）点A（﹣1，2）的“控变点”B的坐标为 ；
（2）已知点C（m，﹣1）的“控变点”D的坐标为（4，n），求m，n的值；
（3）长方形EFGH的顶点坐标分别为（1，1），（5，1），（5，4），（1，4）．如果点P（x，﹣2x）的“控变点”Q在长方形EFGH的内部，直接写出x的取值范围．
30．某市出租车的起步价是7元（起步价是指不超过行程的出租车价格），超过3km行程后，其中除的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足按计算）．如果仅去程乘出租车而回程时不乘坐此车，并且去程超过，那么顾客还需付回程的空驶费，超过部分按每千米0.8元计算空驶费（即超过部分实际按每千米2.4元计费）．如果往返都乘同一出租车并且中间等候时间不超过3分钟，则不收取空驶费而加收1.6元等候费．现设小文等4人从市中心A处到相距（）的B处办事，在B处停留的时间在3分钟以内，然后返回A处．现在有两种往返方案：
方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回都乘公交车（公交车票为每人2元）；
方案二：4人乘同一辆出租车往返．
问选择哪种计费方式更省钱？（写出过程）
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
首先解不等式组确定不等式组的解集，然后根据不等式组有四个整数解即可得到关于的不等式组，求得的值．
【详解】
解：，
解①得：，
解②得：，
则不等式组的解集是：．
不等式组有四个整数解，则是1，2，3，4．
则．
解得：．
故选：．
【点睛】
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
2．B
解析：B
【分析】
先根据数轴的定义求出的值，再归纳总结出一般规律，然后根据“点与原点的距离不小于30”求解即可．
【详解】
由题意得：表示的数为
表示的数为
表示的数为
表示的数为
表示的数为
归纳类推得：每移动2次后，点与原点的距离增加3个单位长度
移动20次时，点与原点的距离为30
则n的最小值为20
故选：B．
【点睛】
本题考查了数轴的应用，掌握理解数轴的定义，并归纳类推出规律是解题关键．
3．C
解析：C
【分析】
首先解不等式组，求得其解集，又由图可求得不等式组的解集，则可得到关于a的方程，解方程即可求得a的值．
【详解】
∵的解集为：a+1≤x＜8．
又∵，∴5≤x＜8，∴a+1=5，∴a=4．
故选C．
【点睛】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集．明确在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
先解关于x的一元一次不等式组 ，再根据其解集是x≤a，得a小于5；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出a的值，再求和即可.
【详解】
解：由不等式组，解得：
∵解集是x≤a，
∴a<5；
由关于的分式方程 得得2y-a+y-4=y-1
又∵非负整数解，
∴a≥-3，且a=-3，a=-1（舍，此时分式方程为增根），a=1，a=3它们的和为1.
故选B.
【点睛】
本题综合考查了含参一元一次不等式，含参分式方程的问题，需要考虑的因素较多，属于易错题.
5．A
解析：A
【分析】
设商店打折销售，利用利润销售价格进价，结合要保证利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】
解：设商店打折销售，
依题意得：，
解得：．
故选：．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
根据点A所在的象限得到m的不等式组，然后解不等式组求得m的取值范围即可解答．
【详解】
解：已知点在第三象限，
＜0且＜0，
解得m＜3，m＞2，
所以2＜m＜3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了点的坐标特征，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
根据不等式组解出x的取值范围，顺推出4个整数解，即可确定a的取值范围．
【详解】
根据不等式
解得
已知不等式组有解，即
有4个整数解，分别是：5，6，7，8
所以a应该满足
解得．
故选A．
【点睛】
这道题考察的是根据不等式组的整数解求参数．根据解集情况找到参数的情况是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据不等式组的解集确定m的取值范围，根据方程组的解为整数，确定m的值．
【详解】
解：解不等式得：x＞4，
解不等式x﹣m＞0得：x＞m，
∵不等式组的解集为x＞4，
∴m≤4，
解方程组得，
∵x，y均为整数，
∴或或或，
则或或或，
∵
∴或或，
∴m＝﹣4或m＝2或m＝4，
故选D．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练运用解方程组和解不等式组方法求解，根据整数解准确进行求值．
9．B
解析：B
【分析】
求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，然后求出参数范围．
【详解】
解：解不等式2x−1≥x＋2，得：x≥3，
又∵x≤m且不等式组无解，
∴m＜3，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
根据新定义可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论．
【详解】
解：，
，
为正整数，
、2．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，解题的关键是通过解不等式求得不等式的解集．
二、填空题
11．47或48人
【分析】
根据题意令，满足，由于，得，
又根据，得，可得，当①时，，枚举出所有情况；同理当②时，，同理，，，，，，枚举出所有的情况，选出满足条件的情况即可．
【详解】
解：，
令（），
解析：47或48人
【分析】
根据题意令，满足，由于，得，
又根据，得，可得，当①时，，枚举出所有情况；同理当②时，，同理，，，，，，枚举出所有的情况，选出满足条件的情况即可．
【详解】
解：，
令（），
由于，
故有，
得，
又，
故，
，
而，
，
当①时，，
根据，
枚举一下，只有下列情况满足，
0
3
6
7
0
4
5
7
1
4
5
6
即此时存在三种情况满足：
，
，
，
②时，，
根据，
即使，
由于，
最大取5，
而此时，
有，
不符合要求，
故此时没有情况满足，
同理，，
，
，
，
，
均没有情况满足，
综上所述，（4）班的人数为47或48人，
故答案是：47或48人．
【点睛】
本题考查了不等式在生活中的应用，解题的关键是掌握不等式的性质，进行分类讨论，也体现了同学的枚举能力．
12．【分析】
根据题意得到第一次运算结果小于17，第二次运算结果大于等于17，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】
解：由题意得
解不等式①得 ，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
故答案
解析：
【分析】
根据题意得到第一次运算结果小于17，第二次运算结果大于等于17，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】
解：由题意得
解不等式①得 ，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的应用，理解运算程序并根据题意列出不等式组是解题关键．
13．【分析】
本题首先理清流程图，继而将解题过程分为三步，按照流程图指示列不等式求解x范围，最后取其公共解集．
【详解】
由已知得：
第一次的结果为：，没有输出，则，求解得；
第二次的结果为：，没有
解析：
【分析】
本题首先理清流程图，继而将解题过程分为三步，按照流程图指示列不等式求解x范围，最后取其公共解集．
【详解】
由已知得：
第一次的结果为：，没有输出，则，求解得；
第二次的结果为：，没有输出，则，求解得；
第三次的结果为：，输出，则，求解得；
综上可得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查不等式的拓展，解题关键在于读懂流程图，按要求列出不等式，其次注意计算仔细即可．
14．（1）（3）（4）
【分析】
根据题中所给定义运算，依次将新定义的运算化为一般运算，再进一步分析即可．
【详解】
解：（1），故（1）正确；
（2）是有理数，故（2）错误；
（3）方程得是二元二次方
解析：（1）（3）（4）
【分析】
根据题中所给定义运算，依次将新定义的运算化为一般运算，再进一步分析即可．
【详解】
解：（1），故（1）正确；
（2）是有理数，故（2）错误；
（3）方程得是二元二次方程，故（3）正确；
（4）不等式组等价于，解得
，故（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】
本题考查新定义的实数运算，立方根，二元一次方程的定义，解一元一次不等式组．能理解题中新的定义，并根据题中的定义将给定运算化为一般运算是解决此题的关键．
15．8
【分析】
设原两位数的十位数为x，个位数为y,将原两位数与个位十位对调后的两位数分别用x，y表示，根据题意列不等式，结合x,y的取值范围确定其值.
【详解】
解：设原两位数的十位数为x，个位数为
解析：8
【分析】
设原两位数的十位数为x，个位数为y,将原两位数与个位十位对调后的两位数分别用x，y表示，根据题意列不等式，结合x,y的取值范围确定其值.
【详解】
解：设原两位数的十位数为x，个位数为y,（0<x<10且为整数, 0≤y<10,且为整数），
根据题意得， ，
∴ ，
当x=1时，y≥ , ∴y=5,6,7,8,9
当x=2时，y≥ , ∴y=7,8,9
当x=3时，y≥ , y无解.
∴满足条件的两位数有8个.
故答案为：8.
【点睛】
本题考查不等式的实际应用题，数字问题，用个位和十位数表示两位数是解决问题的前提，根据不等量关系列不等式确定x,y之间的关系是解答此题的关键.
16．8<m≤10
【分析】
先求出不等式的解集，根据已知得出关于m的不等式组，求出即可.
【详解】
解：不等式的解集是： ，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，4，
∴
∴m的取值范围是.
故答案为：
解析：8<m≤10
【分析】
先求出不等式的解集，根据已知得出关于m的不等式组，求出即可.
【详解】
解：不等式的解集是： ，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，4，
∴
∴m的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题考查一元一次不等式的整数解的应用，求出关于m的不等式组，准确确定m的界点值是解答此题的关键之处.
17．36
【分析】
设裁判员有x名，根据全体裁判员所给分数的平均分是9.84分可得总分为9.84x，如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给
解析：36
【分析】
设裁判员有x名，根据全体裁判员所给分数的平均分是9.84分可得总分为9.84x，如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.9分，可求出最高分的代数式从而列出不等式，得到最高分就能求出最低分．
【详解】
设裁判员有x名，那么总分为9.84x；
去掉最高分后的总分为9.82（x-1），由此可知最高分为9.84x-9.82（x-1）=0.02x+9.82；
去掉最低分后的总分为9.9（x-1），由此可知最低分为9.84x-9.9（x-1）=9.9-0.06x．
因为最高分不超过10，所以0.02x+9.82≤10，即0.02x≤0.18，所以x≤9．
当x取7时，最低分有最小值,则最低分为9.9－0.06x=9.9-0.54=9.36．
故答案是：9.36.
【点睛】
考查理解题意的能力，关键是表示出最高分的代数式，列出不等式求出最高分，然后求出最低分，根据平均分求出人数．
18．【分析】
先解出不等式组的解集，由题意确定m的取值范围
【详解】
解：
解不等式（1）得：
解不等式（2）得：
所以不等式组的解集为，其3个整数解只能是3,4,5，
所以m的取值范围是
故答案为
解析：
【分析】
先解出不等式组的解集，由题意确定m的取值范围
【详解】
解：
解不等式（1）得：
解不等式（2）得：
所以不等式组的解集为，其3个整数解只能是3,4,5，
所以m的取值范围是
故答案为
【点睛】
本题主要考查了解一元一次不等式组，正确理解题意是解题的关键.
19．【分析】
先解不等式组求得解集为：＜＜，再根据关于的不等式组恰好只有2个整数解，可得＜，解不等式组从而可得答案.
【详解】
解：
由①得：＜
由②得：＞
关于的不等式组恰好只有2个整数解，
解析：
【分析】
先解不等式组求得解集为：＜＜，再根据关于的不等式组恰好只有2个整数解，可得＜，解不等式组从而可得答案.
【详解】
解：
由①得：＜
由②得：＞
关于的不等式组恰好只有2个整数解，
不等式组的解集为：＜＜
且不等式组的整数解为：
＜
＜
＜
而为整数，则或或或
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式组的解法，不等式组的整数解问题，掌握解一元一次不等式组的方法，根据不等式组的整数解的个数确定参数的范围是解题的关键.
20．【分析】
根据符号的定义，得到，求解不等式，得到，有正整数解，得到，求解即可．
【详解】
解：∵，可得到，
求得
有正整数解，可以得到，即，解得
故答案为
【点睛】
此题考查了绝对值不等式以及对新
解析：
【分析】
根据符号的定义，得到，求解不等式，得到，有正整数解，得到，求解即可．
【详解】
解：∵，可得到，
求得
有正整数解，可以得到，即，解得
故答案为
【点睛】
此题考查了绝对值不等式以及对新符号的理解，解题的关键的是根据符号定义以及方程求得不等式．
三、解答题
21．（1）在乙家批发更优惠；（2）当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多；当100＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少；当x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少．
【分析】
（1）分别求出在甲、乙两家批发240千克苹果所需费用，比较后即可得出结论；
（2）分两种情况：①若100<x≤150时，②若x>150时，分别用含x的代数式表示出在甲、乙两家批发x千克苹果所需费用， 再比较大小，列出不等式，求出x的范围，即可得到结论．
【详解】
（1）在甲家批发所需费用为：240×8×85%=1632（元），
在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(150−50)×8×85%+(240−150)×8×75%=1600（元），
∵1632>1600，
∴在乙家批发更优惠；
（2）①若100<x≤150时，
在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x，
在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(x−50)×8×85%=6.8x+40，
∵6.8x＜6.8x+40，
∴师傅应选择甲家批发商所花费用更少；
②若x>150时，
在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x，
在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(150−50)×8×85%+(x−150)×8×75%=6x+160，
当6.8x=6x+160时，即x=200时，师傅选择两家批发商所花费用一样多，
当6.8x＞6x+160时，即x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少，
当6.8x＜6x+160时，即150＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少．
综上所得：当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多；当100＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少；当x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少．
【点睛】
本题主要考查代数式，一元一次方程，一元一次不等式的综合实际应用，理清数量关系，列出代数式，不等式或方程，是解题的关键．
22．（1）a=﹣2或a=8；（2）1＜b＜4；（3）t或0＜t．
【分析】
（1）将点P与点A代入d（M，N）＝|x1−x2|＋|y1−y2|即可求解；
（2）将点B与点P代入d（M，N）＝|x1−x2|＋|y1−y2|，得到d（P，B）＝|3−b|＋|2−b|，分三种情况去掉绝对值符号进行化简，有当b＜2 时，d（P，B）＝3−b＋2−b＝5−2b＜3；当2≤b≤3时，d（P，B）＝3−b＋b−2＝1＜3；当b＞3时，d（P，B）＝b−3＋b−2＝2b−5＜3；
（3）设T点的坐标为（t，m），由点T与点P的“横长”与“纵长”相等，得到|t−3|＝|m−2|，得到t与m的关系式，再由T在第一象限，d（P，T）＞5，结合求解即可．
【详解】
（1）∵点P(3，2)，点A(a，2)，
∴d(P，A)=|3﹣a|+|2﹣2|=5，
∴a=﹣2或a=8；
（2）∵点P(3，2)，点B(b，b)，
∴d(P，B)=|3﹣b|+|2﹣b|，
当b＜2 时，d(P，B)=3﹣b+2﹣b=5﹣2b＜3，
∴b＞1，∴1＜b＜2；
当2≤b≤3时，d(P，B)=3﹣b+b﹣2=1＜3成立，
∴2≤b≤3；
当b＞3时，d(P，B)=b﹣3+b﹣2=2b﹣5＜3，
∴b＜4，∴3＜b＜4；
综上所述：1＜b＜4；
（3）设T点的坐标为(t，m)，
点T与点P的“横长”=|t﹣3|，
点T与点P的“纵长”=|m﹣2|．
∵点T与点P的“横长”与“纵长”相等，
∴|t﹣3|=|m﹣2|，
∴t﹣3=m﹣2或t﹣3=2﹣m，
∴m=t﹣1或m=5﹣t．
∵点T是第一象限内的点，
∴m＞0，
∴t＞1或t＜5，
又∵d(P，T)＞5，
∴2|t﹣3|＞5，
∴t或t，
∴t或0＜t．
【点睛】
本题考查平面内点的坐标，新定义；能够将定义内容转化为绝对值不等式，再将绝对值不等式根据绝对值的意义转化为一元一次不等式的求解是解题的关键．
23．（1）①B；②7或；（2）或或；（3）n≥．
【分析】
（1）①直接根据新定义的概念即可求出答案；
②根据新定义的概念列出绝对值方程即可求解；
（2）设P点所表示的数为4-2t，再根据新定义的概念列出方程即可求解；
（3）分，，三种情况分别表示出PN的值，再根据PN的范围列出不等式组即可求解．
【详解】
（1）①由数轴可知，点A表示的数为-1，点B表示的数为2，点C表示的数为1，点D表示的数为0，
∴AD=1，AC=2
∴AD=AC
∴点A不是的2倍点
∴BD=2，BC=1
∴BD=2BC
∴点B是的2倍点
故答案为：B；
②若点C是点的3倍点
∴CM=3CN
设点C表示的数为x
∴CM=，CN=
∴ =3
即或
解得x=7或x=
∴数7或表示的点是的3倍点．
故答案为：7或；
（2）设点P表示的数为4-2t，
∴PM=，PN=2t
∵若恰好是和两点的倍点，
∴当点P是的n倍点
∴PM=nPN
∴=n×2t
即6-2t=2nt或6-2t=-2nt
解得或
∵n＞1
∴
∴当点P是的n倍点
∴PN=nPM
∴2t=n×
即2t= n×或-2t= n×
解得或
∴符合条件的t值有或或；
（3）∵PN=2t
∴当时，PN=
当时，PN=，
当时，PN=
∵点P均在点N的可视距离之内
∴PN≤30
∴
解得n≥
∴n的取值范围为n≥．
【点睛】
此题主要考查主要方程与不等式组的应用，解题的关键是根据新定义概念列出方程或不等式求解．
24．（1）-2.5，2；（2）k=-8或-6或-4；（3）2，1，-1，-2，
【分析】
（1）根据连动数的定义即可确定；
（2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可；
（3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得．
【详解】
解：（1）∵点P是线段AB上一动点，点A、点B对应的数分别是－1，1，
又∵|PQ|＝2，
∴连动数Q的范围为：或，
∴连动数有-2.5，2；
（2），
②×3-①×4得：，
①×3-②×2得：，
要使x，y均为连动数，
或，解得或
或，解得或
∴k=-8或-6或-4；
（3）解得：
，
∵解集中恰好有4个解是连动整数，
∴四个连动整数解为-2，-1，1，2，
∴，
∴
∴a的取值范围是．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键，
25．（1），；（2）不变，值为；（3）
【分析】
（1）先解方程组，用含a的式子表示b、c的值，进而可得点A，B，C的坐标．
（2）根据S△ABC＝S梯形AFGB＋S梯形BGHC−S梯形AFHC代入数据计算即可．
（3）先解方程组用含a的代数式表示出b，c，根据线段AB在与y轴相交于点E可得关于a的不等式组，解即可得a的一个取值范围，再由2PA≤PC可得2S△AOB≤△S△BOC，然后用含a的代数式表示出2S△AOB与△S△BOC，进而可得关于a的不等式，解不等式可得a的一另个取值范围，从而可得结果．
【详解】
解：（1）解方程组，得，
，，
（2）的面积不变，值为
如图，过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，
∵，，，
∴，，，，，，
∴
；
（3）连接，，
∵，，，
又∵线段在与轴相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴2，
如图，过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，
∵，
，
，
∴，解得，
∴实数的取值范围是．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查三角形的面积，解二元一次方程组，坐标与图形的性质，平移的性质等知识，涉及的知识点多，综合性强，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
26．（1），，；（2）或；（3）的范围；的坐标是．
【分析】
（1）根据乘方、算术平方根的性质，通过列二元一次方程组并求解，得a和b的值；根据绝对值的性质，列一元一次方程并求解，从而得到答案；
（2）设，根据题意列方程，结合绝对值的性质求解，得的值；再根据坐标的性质分析，即可得到答案
（3）在第二象限以及的面积不大于的面积，通过列一元一次不等式并求解，即可得到m的范围，再根据的变化规律计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵，
∴
解得：
∵
∴
∴；
（2）根据题意，设
∵
∴
∴
∴
∴点坐标为或；
（3）
∵在第二象限
∴
∴
∵、的横坐标相同，
∴轴
∵
∴
∵点在第二象限
∴
∴
∴的范围为
∵当时，随m的增大而减小；
∴当时，的最大值为6
∴的坐标是．
【点睛】
本题考查了算术平方根、乘方、二元一次方程组、一元一次方程、一元一次不等式、直角坐标系、绝对值的知识；解题的关键是熟练以上知识，从而完成求解．
27．（1）是；（2）k的最小值为﹣，最大值为
【分析】
（1）分别解出两个方程，得到x﹣y的值，即可确定两个方程是“友好方程”；
（2）分别解两个方程为x＝1，，再由已知可得﹣1≤≤1，求出k的取值范围为即可求解．
【详解】
解：（1）由2x﹣9＝5x﹣2，解得x＝，
由5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y，解得y＝﹣3，
∴x﹣y＝，
∴﹣1≤x﹣y≤1，
∴方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是“友好方程”；
（2）由3x﹣3+4（x﹣1）＝0，解得x＝1，
由，解得，
∵两个方程是“友好方程”，
∴﹣1≤x﹣y≤1，
∴﹣1≤≤1，
∴
∴k的最小值为﹣，最大值为．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
28．（1）x=-1或x=5；（2）1≤x≤3；（3）x＞5或x＜-3；（4）a≥6
【分析】
（1）利用在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数求解即可；
（2）先求出|x-2|=3的解，再求|x-2|≤3的解集即可；
（3）先在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解，即可得出不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集；
（4）原问题转化为：a大于或等于|x+2|+|x-4|最大值，进行分类讨论，即可解答．
【详解】
解：（1）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为-1或5，
∴方程|x-2|=3的解为x=-1或x=5；
（2）在数轴上找出|x-2|=1的解．
∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3，
∴方程|x-2|=1的解为x=1或x=3，
∴不等式|x-2|≤1的解集为1≤x≤3．
（3）在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值．
∵在数轴上4和-2对应的点的距离为6，
∴满足方程的x对应的点在4的右边或-2的左边．
若x对应的点在4的右边，可得x=5；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3，
∴方程|x-4|+|x+2|=8的解是x=5或x=-3，
∴不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集为x＞5或x＜-3．
（4）原问题转化为：a大于或等于|x+2|+|x-4|最大值．
当x≥4时，|x+2|+|x-4|=x+2+x-4=2x-2，
当-2＜x＜4，|x+2|+|x-4|=x+2-x+4=6，
当x≤-2时，|x+2|+|x-4|=-x-2-x+4=-2x+2，
即|x+2|+|x-4|的最大值为6．
故a≥6．
【点睛】
本题主要考查了绝对值，方程及不等式的知识，是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．
29．（1）；（2）或；（3）或．
【分析】
（1）根据“控变点”的定义、绝对值运算法则即可得；
（2）根据“控变点”的定义、绝对值运算建立方程，解绝对值方程即可得；
（3）先根据“控变点
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