资源描述
一、解答题
1．在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将向下平移6个单位得线段，其中点的对应点为点．
（1）填空：点的坐标为______，线段平移到扫过的面积为______．
（2）若点是轴上的动点，连接．
①如图，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由．
②当将四边形的面积分成1∶3两部分时，求点的坐标．
2．直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP，CP．
（1）如图①，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；
（2）如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，点P在直线CD下方，当∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP时，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
3．如图，已知，是的平分线．
（1）若平分，求的度数；
（2）若在的内部，且于，求证：平分；
（3）在（2）的条件下，过点作，分别交、于点、，绕着点旋转，但与、始终有交点，问：的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
4．综合与实践
背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合情推理的基础．
已知：AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
问题解决：（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC＝ ．
5．如图，已知直线射线，．是射线上一动点，过点作交射线于点，连接．作，交直线于点，平分．
（1）若点，，都在点的右侧．
①求的度数；
②若，求的度数．（不能使用“三角形的内角和是”直接解题）
（2）在点的运动过程中，是否存在这样的偕形，使？若存在，直接写出的度数；若不存在．请说明理由．
6．已知直线，点P为直线、所确定的平面内的一点．
（1）如图1，直接写出、、之间的数量关系 ；
（2）如图2，写出、、之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数．
7．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．将一个“奇异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为
例如：，对调个位数字与十位数字后得到新两位数是，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以
根据以上定义，完成下列问题：
（1）填空：①下列两位数：，，中，“奇异数”有 .
②计算： . .
（2）如果一个“奇异数”的十位数字是，个位数字是，且请求出这个“奇异数”
（3）如果一个“奇异数”的十位数字是，个位数字是，且满足，请直接写出满足条件的的值．
8．数学中有很多的可逆的推理．如果，那么利用可逆推理，已知n可求b的运算，记为，如，
则，则．
①根据定义，填空：_________，__________．
②若有如下运算性质：．
根据运算性质填空，填空：若，则__________；___________；
③下表中与数x对应的有且只有两个是错误的，请直接找出错误并改正．
x
1.5
3
5
6
8
9
12
27
错误的式子是__________，_____________；分别改为__________，_____________．
9．阅读材料：求值：，
解答：设，
将等式两边同时乘2得：，
将得：，即．
请你类比此方法计算：
．
其中n为正整数
10．先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求ba的值．
解：由题意得，
因为a、b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=﹣2， 所以．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．
11．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果ax=N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN，例如：32=9，则log39=2，其中a=10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga(M•N)=logaM+logaN．
(I)解方程：logx4=2；
(Ⅱ)log28=
(Ⅲ)计算：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018= (直接写答案)
12．阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”，例如，自然数2135，其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依赖数”．
（1）请直接写出最小的四位依赖数；
（2）若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数．
（3）已知一个大于1的正整数m可以分解成m＝pq+n4的形式（p≤q，n≤b，p，q，n均为正整数），在m的所有表示结果中，当nq﹣np取得最小时，称“m＝pq+n4”是m的“最小分解”，此时规定：F（m）＝，例：20＝1×4+24＝2×2+24＝1×19+14，因为1×19﹣1×1＞2×4﹣2×1＞2×2﹣2×2，所以F（20）＝＝1，求所有“特色数”的F（m）的最大值．
13．如图，在平面直角坐标系中，同时将点A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接AC，BD
（1）求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形ABDC面积；
（2）在坐标轴上是否存在点P，连接PA、PC使S△PAC＝S四边形ABCD？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
15．如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式．
（1）求，，的值；
（2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
16．对，定义一种新的运算，规定：（其中）．已知，．
（1）求、的值；
（2）若，解不等式组．
17．在如图所示的平面直角坐标系中，A（1，3），B（3，1），将线段A平移至CD，C（m，-1），D（1，n）
（1）m=_____,n=______
（2）点P的坐标是（c，0）
①设∠ABP=，请写出∠BPD和∠PDC之间的数量关系（用含的式子表示，若有多种数量关系，选择一种加以说明）
②当三角形PAB的面积不小于3且不大于10，求点p的横坐标C的取值范围（直接写出答案即可）
18．如图1，在直角坐标系中直线与、轴的交点分别为，，且满足.
（1）求、的值；
（2）若点的坐标为且，求的值；
（3）如图2，点坐标是，若以2个单位/秒的速度向下平移，同时点以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是秒，若点落在内部（不包含三角形的边），求的取值范围．
19．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用20两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
20．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？请列出二元一次方程组解答此问题．
（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．设原来每天安排x名工人生产G型装置，后来补充m名新工人，求x的值（用含m的代数式表示）
21．某校规划在一块长AD为18 m、宽AB为13 m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮，如图所示，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？
22．在平面直角坐标系中，点、在坐标轴上，其中、满足．
（1）求、两点的坐标；
（2）将线段平移到，点的对应点为，如图1所示，若三角形的面积为，求点的坐标；
（3）平移线段到，若点、也在坐标轴上，如图2所示．为线段上的一动点（不与、重合），连接、平分，．求证：．
23．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中是二元一次方程组的解，过点作轴的平行线交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线的方向运动，连接，设点的运动时间为秒，三角形的面积为，请用含的式子表示（不用写出相应的的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在动点从点出发的同时，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段的方向运动．过点作直线的垂线，点为垂足；过点作直线的垂线，点为垂足．当时，求的值．
24．学校组织名同学和名教师参加校外学习交流活动现打算选租大、小两种客车，大客车载客量为人/辆，小客车载客量为人/辆
（1）学校准备租用辆客车，有几种租车方案?
（2）在（1）的条件下，若大客车租金为元/辆，小客车租金为元/辆，哪种租车方案最省钱?
（3）学校临时增加名学生和名教师参加活动，每辆大客车有2名教师带队，每辆小客车至少有名教师带队.同学先坐满大客车，再依次坐满小客车，最后一辆小客车至少要有人，请你帮助设计租车方案
25．某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中每台的价格与月处理污水量如下表：
甲型
乙型
价格(万元/台)
x
y
处理污水量(吨/月)
300
260
经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台乙型设备少2万元．
（1）求x，y的值；
（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案．
26．对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，如：
，；
，．
解决下列问题：
（1）填空：______；
（2）若，求的取值范围；
（3）①若，那么______；
②根据①，你发现结论“若，那么______”（填，，大小关系）；
③运用②解决问题：若，求的值．
27．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标为，，，其中，，满足，．
（1）求，，的值；
（2）若在轴上，且，求点坐标；
（3）如果在第二象限内有一点，在什么取值范围时，的面积不大于的面积？求出在符合条件下，面积最大值时点的坐标．
28．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
29．在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，过点作直线轴，垂足为，交线段于点.
（1）如图1，过点作，垂足为，连接.
①填空：的面积为______；②点为直线上一动点，当时，求点的坐标；
（2）如图2，点为线段延长线上一点，连接，，线段交于点，若，请直接写出点的坐标为______.
30．学校美术组要去商店购买铅笔和橡皮，若购买60支铅笔和30块橡皮，则需按零售价购买，共支付30元；若购买90支铅笔和60块橡皮，则可按批发价购买，共支付40.5元．已知每支铅笔的批发价比零售价低0.05元，每块橡皮的批发价比零售价低0.10元．
（1）求每支铅笔和每块橡皮的批发价各是多少元？
（2）小亮同学用4元钱在这家商店按零售价买同样的铅笔和橡皮（两样都要买，4元钱恰好用完），共有哪几种购买方案？
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一、解答题
1．（1）；24；（2）①；见解析；②或
【分析】
（1）由平移的性质得出点C坐标，AC=6，再求出AB，即可得出结论；
（2）①过点作交于，分别用CE表示出两个三角形的面积，即可得到答案；②根据题意，可分为两种情况进行讨论分析：（i）当交线段于，且将四边形分成面积为两部分时；当交于点，将四边形分成面积为两部分时；分别求出点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）∵点A（3，5），将AB向下平移6个单位得线段CD，
∴C（3，56），
即：C（3，1），
由平移得，AC=6，四边形ABDC是矩形，
∵A（3，5），B（7，5），
∴AB=73=4，
∴CD=4，
∴点D的坐标为：；
∴S四边形ABDC=AB•AC=4×6=24，
即：线段AB平移到CD扫过的面积为24；
故答案为：；24；
（2）①过点作交于，则，如图：
∴，
又∵，
∴．
②（i）当交线段于，且将四边形分成面积为两部分时，
连接，延长交轴于点，则，
∵，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴．
（ii）当交于点，将四边形分成面积为两部分时，
连接，延长交轴于点，则．
过点作交的延长线于点，
则，
∴，
，
即，
∵，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴，
∴．
综上所述，或．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，矩形的判定，三角形的面积公式，用分类讨论的思想是解本题的关键．
2．（1）80°；（2）∠AKC＝∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝∠APC，理由见解析
【分析】
（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC；
（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据已知得出∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝∠APC，进而得到∠BAK﹣∠DCK＝∠APC．
【详解】
（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；
（2）∠AKC＝∠APC．
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，
∴∠AKC＝∠APC；
（3）∠AKC＝∠APC
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP，
∴∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，
∴∠AKC＝∠APC．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．
3．（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°
【分析】
（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；
（2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；
（3），过，分别作，，根据平行线的性质及平角的定义即可得解．
【详解】
解（1），分别平分和，
，，
，
；
（2），
，即，
，
是的平分线，
，
，
又，
，
又在的内部，
平分；
（3）如图，不发生变化，，过，分别作，，
则有，
，，，，
，，
，
，，
，
，
不变．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键．
4．（1）；（2）见解析；（3）105°
【分析】
（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解．
（2）过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解．
（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解．
【详解】
解：（1）如图1，设AM与BC交于点O,∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠AOB＝90°，
∠A＋∠C＝90°，
故答案为：∠A＋∠C＝90°；
（2）证明：如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG＝90°，
∴∠ABD＋∠ABG＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG＋∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）知∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，
则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，
∠GBF＝∠AFB＝β，
∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α＋β，
∵∠AFC＋∠NCF＝180°，∠FCB＋∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α＋β，
△BCF中，由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°得：2α＋β＋3α＋3α＋β＝180°，
∵AB⊥BC，
∴β＋β＋2α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°．
故答案为：105°．
【点睛】
本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键．
5．（1）①35°；（2）55°；（2）存在，或
【分析】
（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；
②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=20°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=60°；
（2）设∠EGC=3x，∠EFC=2x，则∠GCF=3x-2x=x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．
【详解】
解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠CEB+∠ECQ=180°，
∵∠CEB=110°，
∴∠ECQ=70°，
∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，
∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝∠QCF+∠FCE＝∠ECQ＝35°；
②∵AB∥CD，
∴∠QCG=∠EGC，
∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=70°，
∴∠EGC+∠ECG=70°，
又∵∠EGC-∠ECG=30°，
∴∠EGC=50°，∠ECG=20°，
∴∠ECG=∠GCF=20°，∠PCF＝∠PCQ＝(70°−40°)＝15°，
∵PQ∥CE，
∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=70°-15°=55°．
（2）52.5°或7.5°，
设∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，
①当点G、F在点E的右侧时，
∵AB∥CD，
∴∠QCG=∠EGC=3x°，∠QCF=∠EFC=2x°，
则∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°，
∴∠PCF＝∠PCQ＝∠FCQ＝∠EFC＝x°，
则∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°，
∵∠ECD=70°，
∴4x=70°，解得x=17.5°，
∴∠CPQ=3x=52.5°；
②当点G、F在点E的左侧时，反向延长CD到H，
∵∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，
∴∠GCH=∠EGC=3x°，∠FCH=∠EFC=2x°，
∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°，
∵∠CGF=180°-3x°，∠GCQ=70°+x°，
∴180-3x=70+x，
解得x=27.5，
∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=27.5°×2+70°=125°，
∴∠PCQ＝∠FCQ＝62.5°，
∴∠CPQ=∠ECP=62.5°-55°=7.5°，
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
6．（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）见解析；（3）55°
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可证得∠A+∠C+∠APC=360°；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC=∠A+∠C；
（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，先证∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=∠FEG，∠GEH=∠BEG，根据∠PEH=∠PEG-∠GEH可得答案．
【详解】
解：（1）∠A+∠C+∠APC=360°
如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ=180°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ=180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°，即∠A+∠C+∠APC=360°；
（2）∠APC=∠A+∠C，
如图2，作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C=∠CPQ，
∵∠APC=∠APQ-∠CPQ，
∴∠APC=∠A-∠C；
（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，
∵∠APC=30°，∠PAB=140°，
∴∠PCD=110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB=∠PCD=110°，
∵EF∥BC，
∴∠BEF=∠PQB=110°，
∵EF∥BC，
∴∠BEF=∠PQB=110°，
∵∠PEG=∠PEF，
∴∠PEG=∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH=∠BEG，
∴∠PEH=∠PEG-∠GEH
=∠FEG-∠BEG
=∠BEF
=55°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（1）①，②，；（2）；（3）
【分析】
（1）①由“奇异数”的定义可得；②根据定义计算可得；
（2）由f（10m+n）=m+n，可求k的值，即可求b；
（3）根据题意可列出等式，可求出x、y的值，即可求的值.
【详解】
解：（1）①∵对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．
∴“奇异数”为21；
②f（15）=（15+51）÷11=6，f（10m+n）=（10m+n+10n+m）÷11=m+n；
（2）∵f（10m+n）=m+n，且f（b）=8
∴k+2k-1=8
∴k=3
∴b=10×3+2×3-1=35；
（3）根据题意有
∵
∴
∴
∵x、y为正数，且x≠y
∴x=6，y=5
∴a=6×10+5=65
故答案为：（1）①，②，；（2）；（3）
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，能理解“奇异数”定义是本题的关键．
8．①1，3；②0.6020；0.6990；③f（1.5），f（12）；f（1.5）=3a-b+c-1，f（12）=2-b-2c．
【分析】
①根据定义可得：f（10b）=b，即可求得结论；
②根据运算性质：f（mn）=f（m）+f（n），f（）=f（n）-f（m）进行计算；
③通过9=32，27=33，可以判断f（3）是否正确，同样依据5=，假设f（5）正确，可以求得f（2）的值，即可通过f（8），f（12）作出判断．
【详解】
解：①根据定义知：f（10b）=b，
∴f（10）=1，
f（103）=3．
故答案为：1，3．
②根据运算性质，得：f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=0.3010×2=0.6020，
f（5）=f（）=f（10）-f（2）=1-0.3010=0.6990．
故答案为：0.6020；0.6990．
③若f（3）≠2a-b，则f（9）=2f（3）≠4a-2b，
f（27）=3f（3）≠6a-3b，
从而表中有三个对应的f（x）是错误的，与题设矛盾，
∴f（3）=2a-b；
若f（5）≠a+c，则f（2）=1-f（5）≠1-a-c，
∴f（8）=3f（2）≠3-3a-3c，
f（6）=f（3）+f（2）≠1+a-b-c，
表中也有三个对应的f（x）是错误的，与题设矛盾，
∴f（5）=a+c，
∴表中只有f（1.5）和f（12）的对应值是错误的，应改正为：
f（1.5）=f（）=f（3）-f（2）=（2a-b）-（1-a-c）=3a-b+c-1，
f（12）=f（）=2f（6）-f（3）=2（1+a-b-c）-（2a-b）=2-b-2c．
∵9=32，27=33，
∴f（9）=2f（3）=2（2a-b）=4a-2b，f（27）=3f（3）=3（2a-b）=6a-3b．
【点睛】
本题考查了幂的应用，新定义运算等，解题的关键是深刻理解所给出的定义或规则，将它们转化为我们所熟悉的运算．
9．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
设，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
同理即可得到所求式子的值．
【详解】
解：设，
将等式两边同时乘2得：，
将下式减去上式得：，即，
则；
设，
两边同时乘3得：，
得：，即，
则．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．
10．7或-1.
【分析】
根据题目中给出的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，进而可求x+y的值.
【详解】
解：∵，
∴，
∴=0，=0
∴x=±4，y=3
当x=4时，x+y=4+3=7
当x=-4时，x+y=-4+3=-1
∴x+y的值是7或-1.
【点睛】
本题考查实数的运算，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答.
11．(I) x=2；(Ⅱ) 3； (Ⅲ) -2017.
【分析】
(I)根据对数的定义，得出x2=4，求解即可；
(Ⅱ)根据对数的定义求解即；；
(Ⅲ)根据loga(M•N)=logaM+logaN求解即可．
【详解】
(I)解：∵logx4=2，
∴x2=4,
∴x=2或x=-2(舍去)
(Ⅱ)解：∵8=23，
∴log28=3,
故答案为3；
(Ⅲ)解：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018
= lg2•( lg2+1g5) +1g5﹣2018
= lg2 +1g5﹣2018
=1-2018
=-2017
故答案为-2017.
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，是一道关于新定义运算的题目，解答本题的关键是理解给出的对数的定义．
12．（1）1022；（2）3066，2226；（3）
【分析】
（1）由于千位不能为0，最小只能取1；根据题目得出相应的公式：十位＝2×千位﹣百位，个位＝2×千位+百位，分别求出十位和个位，即可求出最小的四位依赖数；
（2）设千位数字是x，百位数字是y，根据“依赖数”定义，则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），依据题意列出代数式然后表示为7的倍数加余数形式，然后求出x、y即可，从而求出所有特色数;
（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，此时F（m）＝，故将（2）中特色数分解，找到最小分解，然后将n、p、q的值代入F（m）＝，再比较大小即可.
【详解】
解：（1）由题意可知：千位一定是1，百位取0，十位上的数字为：2×1－0=2，个位上的数字为：2×1＋0=2则最小的四位依赖数是1022；
（2）设千位数字是x，百位数字是y，根据“依赖数”定义，
则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），
根据题意得：100y+10（2x﹣y）+2x+y﹣3y＝88y+22x＝21（4y+x）+（4y+x），
∵21（4y+x）+（4y+x）被7除余3，
∴4y+x＝3+7k，（k是非负整数）
∴此方程的一位整数解为：x=4，y=5（此时2x+y＞10，故舍去）；x＝3，y＝7（此时2x﹣y＜0，故舍去）；x＝3，y＝0；x＝2，y＝2；x＝1，y＝4（此时2x﹣y＜0，故舍去）；
∴特色数是3066，2226．
（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，此时F（m）＝，
由（2）可知：特色数有3066和2226两个，
对于3066＝613×5+14=61×50+24
∵1×613－1×5＞2×61－2×50，
∴3066取最小分解时：n=2，p=50，q=61
∴F（3066）＝
对于2226＝89×25+14＝65×34+24，
∵1×89－1×25＞2×65－2×34，
∴2226取最小分解时：n=2，p=34，q=65
∴F（2226）＝
∵
故所有“特色数”的F（m）的最大值为：．
【点睛】
此题考查的是新定义类问题，理解题意，并根据新定义解决问题是解决此题的关键.
13．（1）（0，2），（4，2），见解析，ABDC面积：8；（2）存在，P的坐标为（7，0）或 （﹣9，0）或（0，18）或 （0，﹣14）．
【解析】
【分析】
（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
（2）分点P在x轴和y轴上两种情况，依据S△PAC＝S四边形ABCD求解可得．
【详解】
（1）由题意知点C坐标为（﹣1+1，0+2），即（0，2），
点D的坐标为（3+1，0+2），即（4，2），
如图所示，
S四边形ABDC＝2×4＝8；
（2）当P在x轴上时，
∵S△PAC＝S四边形ABCD，
∴，
∵OC＝2，
∴AP＝8，
∴点P的坐标为 （7，0）或（﹣9，0）；
当P在y轴上时，
∵S△PAC＝S四边形ABCD，
∴，
∵OA＝1，
∴CP＝16，
∴点P的坐标为（0，18）或（0，﹣14）；
综上，点P的坐标为（7，0）或 （﹣9，0）或（0，18）或（0，﹣14）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，坐标与图形变化﹣平移，熟记各性质是解题的关键．
14．（1）见解析；（2）见解析；（3）40°
【分析】
（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；
（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，
∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°，
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，
∵EM平分∠HED，
∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED，
∵MQ∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），
∴∠GHE＝∠2GME；
（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，
由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠AFK＝∠KFE＝ ∠AFE，
即，
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题的关键．
15．（1）a=2，b=3，c=4；（2）S四边形ABOP= 3-m；（3）存在，P（-3，）．
【分析】
（1）根据非负数的性质，即可解答；
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