高考数学的导数及其应用多选题附答案.doc

高考数学的导数及其应用多选题附答案一、导数及其应用多选题1设函数，下列命题，正确的是（ ）A函数在上单调递增，在单调递减B不等关系成立C若时，总有恒成立，则D若函数有两个极值点，则实数【答案】AC【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数在区间上的单调性比较、的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数在上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出的取值范围，可判断C选项的正误；分析出方程在上有两个根，数形结合求出的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，函数的定义域为，则.由，可得，由，可得.所以，函数在上单调递增，在单调递减，A选项正确；对于B选项，由于函数在区间上单调递减，且，所以，即，又，所以，整理可得，B选项错误；对于C选项，若时，总有恒成立，可得，构造函数，则，即函数为上的减函数，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，其中，.当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，C选项正确；对于D选项，则，由于函数有两个极值点，令，可得，则函数与函数在区间上的图象有两个交点，当时，如下图所示：当时，即当时，函数与函数在区间上的图象有两个交点.所以，实数的取值范围是，D选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.2设函数，则（ ）AB的最大值为C在单调递增D在单调递减【答案】AD【分析】先证明为周期函数，周期为，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误，结合导数的符号可判断C D的正误【详解】的定义域为，且，故A正确又，令，则，其中，故即，故，当时，有，此时即，故，故B错误，当时，故在为减函数，故D正确当时，故，因为为增函数且，而在为增函数，所以在上为增函数，故在有唯一解，故当时，即，故在为减函数，故C不正确故选：AD【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用3设函数，下列条件中，使得有且仅有一个零点的是（ ）ABCD【答案】ABC【分析】求导，分和进行讨论，当时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解.【详解】，求导得当时，单调递增，当时，；当时，；由零点存在性定理知，函数有且只有一个零点，故A，C满足题意；当时，令，即，解得，当变化时，的变化情况如下表：极大值极小值故当，函数取得极大值，当，函数取得极小值又当时，；当时，；要使函数有且只有一个零点，作草图 或则需，即，即，B选项，满足上式，故B符合题意；则需，即，即，D选项，不一定满足，故D不符合题意；故选：ABC【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.4已知函数的图象在点处与点处的切线均平行于轴，则（ ）A在上单调递增BC的取值范围是D若，则只有一个零点【答案】ACD【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到的取值范围；对于A，利用导数即可得到在上的单调性；对于B，利用根与系数的关系可得；对于C，化简，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D，将代入，令，可得的单调性，进而求得的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解.【详解】由题意可知，函数的定义域为，且，则，是方程的两个不等正根，则，解得，当时，函数，此时，所以在上单调递增，故A正确；因为，是方程的两个不等正根，所以，故B错误；因为，易知函数在上是减函数，则当时，所以的取值范围是，故C正确；当时，令，得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在取得极大值，且，所以只有一个零点，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：切点坐标满足原曲线方程；切点坐标满足切线方程；切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.5设函数的定义域为，已知有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ）AB在区间单调递增C是的极大值点D是的最小值【答案】ACD【分析】只有一个零点，转化为方程在上只有一个根，即只有一个正根利用导数研究函数的性质，可得，判断A，然后用导数研究函数的性质，求出，令，利用新函数确定只有两个零点1和，并证明出的正负，得的单调性，极值最值判断BCD【详解】只有一个零点，即方程在上只有一个根，取对数得，即只有一个正根设，则，当时，递增，时，时，递减，此时，要使方程只有一个正根则或，解得或，又，A正确；，取对数得，易知和是此方程的解设，当时，递增，时，递减，是极大值，又，所以有且只有两个零点，或时，即，同理时，所以在和上递增，在上递减，所以极小值为，极大值为，又，所以是最小值B错，CD正确故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性解题关键是确定的零点时，利用零点定义解方程，取对数得，易知和是此方程的解然后证明方程只有这两个解即可6下列命题正确的有（ ）A已知且，则B，则C的极大值和极小值的和为D过的直线与函数有三个交点，则该直线斜率的取值范围是【答案】ACD【分析】由等式关系、指数函数的性质可求的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与有三个交点，即可知有两个零点且不是其零点即可求斜率范围.【详解】A选项，由条件知且，所以，即；B选项，有，而；C选项，中且开口向上，所以存在两个零点且、，即为两个极值点，所以；D选项，令直线为与有三个交点，即有三个零点，所以有两个零点即可，解得故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.7已知函数有两个零点、，且，则下列结论不正确的是（ ）AB的值随的增大而减小CD【答案】C【分析】由得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ACD选项的正误；任取、，且，设，其中；设，其中，利用函数的单调性结合不等式的基本性质得出，可判断B选项的正误.【详解】令，可得，构造函数，定义域为，.当时， ，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，A选项正确；当时，由图象可得，C选项错误，D选项正确；任取、，且，设，其中；设，其中.由于函数在区间上单调递增，且，；函数在区间上单调递减，且，.由不等式的基本性质可得，则.所以，的值随的增大而减小，B选项正确.故选：C.【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定有两个实根时实数应满足的条件，并注意的单调性、奇偶性、最值的灵活应用另外还可作出函数的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证8已知函数，则下列说法正确的是（ ）A当时，在单调递增B当时，在处的切线为轴C当时，在存在唯一极小值点，且D对任意，在一定存在零点【答案】AC【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于A，当时，因为时，即，所以在上单调递增，故A正确；对于B，当时，则，即切点为，切线斜率为，故切线方程为，故B错误；对于C，当时，当时，则恒成立，即在上单调递增，又，因为，所以，所以存在唯一，使得成立，所以在上单调递减，在上单调递增，即在存在唯一极小值点，由，可得，因为，所以，则，故C正确；对于选项D，令，得，则，令，得，则，令，得，则，此时函数单调递减，令，得，则，此时函数单调递增，所以时，取得极小值，极小值为，在的极小值中，最小，当时，单调递减，所以函数的最小值为，当时，即时，函数与无交点，即在不存在零点，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.9已知函数有两个零点，则的可能取值是（ ）AB0C1D2【答案】CD【分析】求出的导数，讨论的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.【详解】解：函数，若，那么，函数只有唯一的零点2，不合题意；若，那么恒成立，当时，此时函数为减函数；当时，此时函数为增函数；此时当时，函数取极小值，由，可得：函数在存在一个零点；当时，令的两根为，且，则当，或时，故函数在存在一个零点；即函数在上存在两个零点，满足题意；若，则，当时，即恒成立，故单调递增，当时，即恒成立，故单调递减，当时，即恒成立，故单调递增，故当时，函数取极大值，由得：函数在上至多存在一个零点，不合题意；若，则，当时，即恒成立，故单调递增，当时，即恒成立，故单调递增，故函数在上单调递增，函数在上至多存在一个零点，不合题意；若，则，当时，即恒成立，故单调递增，当时，即恒成立，故单调递减，当时，即恒成立，故单调递增，故当时，函数取极大值，由得：函数在上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，的取值范围为，故选：CD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.10函数、，下列命题中正确的是（ ）.A不等式的解集为B函数在上单调递增，在上单调递减C若函数有两个极值点，则D若时，总有恒成立，则【答案】AD【分析】对A，根据，得到，然后用导数画出其图象判断；对B，当时，当时，判断；对C，将函数有两个极值点，有两根判断；对D，将问题转化为恒成立，再构造函数，用导数研究单调性.【详解】对A，因为，令，得，故在该区间上单调递增；令，得，故在该区间上单调递减.又当时，故的图象如下所示：数形结合可知，的解集为，故正确；对B，当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，错误；对C，若函数有两个极值点，即有两个极值点，又，要满足题意，则需有两根，也即有两根，也即直线的图象有两个交点.数形结合则，解得.故要满足题意，则，故错误；对D，若时，总有恒成立，即恒成立，构造函数，对任意的恒成立，故单调递增，则 恒成立，也即，在区间恒成立，则，故正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.