高考数学的导数及其应用多选题附答案.doc

高考数学的导数及其应用多选题附答案

一、导数及其应用多选题
1．设函数，，下列命题，正确的是（ ）
A．函数在上单调递增，在单调递减
B．不等关系成立
C．若时，总有恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
【答案】AC
【分析】
利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数在区间上的单调性比较、的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数在上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出的取值范围，可判断C选项的正误；分析出方程在上有两个根，数形结合求出的取值范围，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，函数的定义域为，则.
由，可得，由，可得.
所以，函数在上单调递增，在单调递减，A选项正确；
对于B选项，由于函数在区间上单调递减，且，
所以，，即，又，
所以，，整理可得，B选项错误；
对于C选项，若时，总有恒成立，
可得，构造函数，
则，即函数为上的减函数，
对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，，C选项正确；
对于D选项，，则，
由于函数有两个极值点，令，可得，
则函数与函数在区间上的图象有两个交点，
当时，，如下图所示：

当时，即当时，函数与函数在区间上的图象有两个交点.
所以，实数的取值范围是，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

2．设函数，则（ ）
A． B．的最大值为
C．在单调递增 D．在单调递减
【答案】AD
【分析】
先证明为周期函数，周期为，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误，结合导数的符号可判断C D的正误．
【详解】
的定义域为，且，
，故A正确．
又，令，
则，
其中，
故即，故，
当时，有，此时即，
故，故B错误．
，
当时，，故在为减函数，故D正确．
当时，，故，
因为为增函数且，而在为增函数，
所以在上为增函数，
故在有唯一解，
故当时，即，故在为减函数，故C不正确．
故选：AD
【点睛】
方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．

3．设函数，下列条件中，使得有且仅有一个零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
求导，分和进行讨论，当时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解.
【详解】
，求导得
当时，，单调递增，当时，；当时，；由零点存在性定理知，函数有且只有一个零点，故A，C满足题意；
当时，令，即，解得，
当变化时，，的变化情况如下表：

极大值

极小值

故当，函数取得极大值，
当，函数取得极小值
又当时，；当时，；
要使函数有且只有一个零点，作草图
或
则需，即，即，
B选项，，满足上式，故B符合题意；
则需，即，即，
D选项，，不一定满足，故D不符合题意；
故选：ABC
【点睛】
思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.

4．已知函数的图象在点处与点处的切线均平行于轴，则（ ）
A．在上单调递增
B．
C．的取值范围是
D．若，则只有一个零点
【答案】ACD
【分析】
求导，根据题意进行等价转化，得到的取值范围；对于A，利用导数即可得到在上的单调性；对于B，利用根与系数的关系可得；对于C，化简，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D，将代入，令，可得的单调性，进而求得的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解.
【详解】
由题意可知，函数的定义域为，且，
则，是方程的两个不等正根，则，解得，
当时，函数，此时，
所以在上单调递增，故A正确；
因为，是方程的两个不等正根，所以，故B错误；
因为
，
易知函数在上是减函数，
则当时，，
所以的取值范围是，故C正确；
当时，，令，得或，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在取得极大值，且，，
所以只有一个零点，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：
①切点坐标满足原曲线方程；
②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.

5．设函数的定义域为，已知有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ）
A． B．在区间单调递增
C．是的极大值点 D．是的最小值
【答案】ACD
【分析】
只有一个零点，转化为方程在上只有一个根，即只有一个正根．利用导数研究函数的性质，可得，判断A，然后用导数研究函数的性质，求出，令，利用新函数确定只有两个零点1和，并证明出的正负，得的单调性，极值最值．判断BCD．
【详解】
只有一个零点，即方程在上只有一个根，，取对数得，即只有一个正根．
设，则，当时，，递增，时，，时，，递减，此时，
．
∴要使方程只有一个正根．则或，解得或，又∵，∴．A正确；
，，
，，取对数得，
易知和是此方程的解．
设，，当时，，递增，时，，递减，是极大值，
又，
所以有且只有两个零点，
或时，，即，，，，同理时，，
所以在和上递增，在上递减，所以极小值为，极大值为，
又，所以是最小值．B错，CD正确．
故选：ACD．
【点睛】
关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定的零点时，利用零点定义解方程，，，取对数得，
易知和是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．

6．下列命题正确的有（ ）
A．已知且，则
B．，则
C．的极大值和极小值的和为
D．过的直线与函数有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
【答案】ACD
【分析】
由等式关系、指数函数的性质可求的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与有三个交点，即可知有两个零点且不是其零点即可求斜率范围.
【详解】
A选项，由条件知且，所以，即；
B选项，有，，而；
C选项，中且开口向上，所以存在两个零点且、，即为两个极值点，
所以；
D选项，令直线为与有三个交点，即有三个零点，所以有两个零点即可
∴，解得
故选：ACD
【点睛】
本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.

7．已知函数有两个零点、，且，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．的值随的增大而减小
C． D．
【答案】C
【分析】
由得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ACD选项的正误；任取、，且，设，其中；设，其中，利用函数的单调性结合不等式的基本性质得出，可判断B选项的正误.
【详解】
令，可得，构造函数，定义域为，.
当时， ，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，如下图所示：

由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，A选项正确；
当时，，由图象可得，，C选项错误，D选项正确；
任取、，且，
设，其中；设，其中.
由于函数在区间上单调递增，且，；
函数在区间上单调递减，且，.
由不等式的基本性质可得，则.
所以，的值随的增大而减小，B选项正确.
故选：C.
【点睛】
在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定有两个实根时实数应满足的条件，并注意的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．

8．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在单调递增
B．当时，在处的切线为轴
C．当时，在存在唯一极小值点，且
D．对任意，在一定存在零点
【答案】AC
【分析】
结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
对于A，当时，，，
因为时，，即，所以在上单调递增，故A正确；
对于B，当时，，，则，，即切点为，切线斜率为，故切线方程为，故B错误；
对于C，当时，，，，
当时，，，则恒成立，即在上单调递增，
又，
，因为，所以，所以存在唯一，使得成立，
所以在上单调递减，在上单调递增，即在存在唯一极小值点，
由，可得，
因为，所以，则，故C正确；
对于选项D，，，
令，得，
，，则，
令，得，则，
令，得，则，此时函数单调递减，
令，得，则，此时函数单调递增，
所以时，取得极小值，极小值为，
在的极小值中，最小，
当时，单调递减，所以函数的最小值为，
当时，即时，函数与无交点，即在不存在零点，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.

9．已知函数有两个零点，则的可能取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【分析】
求出的导数，讨论的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.
【详解】
解：∵函数，
∴，
①若，那么，
函数只有唯一的零点2，不合题意；
②若，那么恒成立，
当时，，此时函数为减函数；
当时，，此时函数为增函数；
此时当时，函数取极小值，
由，可得：函数在存在一个零点；
当时，，，
∴
，
令的两根为，，且，
则当，或时，，
故函数在存在一个零点；
即函数在上存在两个零点，满足题意；
③若，则，
当时，，
，
即恒成立，故单调递增，
当时，，，
即恒成立，故单调递减，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
故当时，函数取极大值，
由

得：函数在上至多存在一个零点，不合题意；
④若，则，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
故函数在上单调递增，
函数在上至多存在一个零点，不合题意；
⑤若，则，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
当时，，，
即恒成立，故单调递减，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
故当时，函数取极大值，
由得：函数在上至多存在一个零点，不合题意；
综上所述，的取值范围为，
故选：CD.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.

10．函数、，下列命题中正确的是（ ）.
A．不等式的解集为
B．函数在上单调递增，在上单调递减
C．若函数有两个极值点，则
D．若时，总有恒成立，则
【答案】AD
【分析】
对A，根据，得到，然后用导数画出其图象判断；对B，，当时，，当时，判断；对C，将函数有两个极值点，有两根判断；对D，将问题转化为恒成立，再构造函数，用导数研究单调性.
【详解】
对A，因为，
，
令，得，故在该区间上单调递增；
令，得，故在该区间上单调递减.
又当时，，，
故的图象如下所示：

数形结合可知，的解集为，故正确；
对B，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，错误；

对C，若函数有两个极值点，
即有两个极值点，又，
要满足题意，则需有两根，
也即有两根，也即直线的图象有两个交点.
数形结合则，解得.
故要满足题意，则，故错误；
对D，若时，总有恒成立，
即恒成立，
构造函数，，对任意的恒成立，
故单调递增，则 恒成立，
也即，在区间恒成立，则，故正确.
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.