线性调频Z变换及其应用.doc

天水师范学院2015届毕业生论文
分类号 TP3
编 号 2015060101

毕业论文

题 目 线性调频Z变换及其应用
学 院 电子信息与电气工程学院
姓 名 包亚飞
专业班级 11级电信一班
学 号 20111060101
指导教师 刘保童
提交日期 2015.5.22

原创性声明

本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
本声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名： 年 月 日

论文指导教师签名：

目录

1引言 1
2 傅立叶变换的应用 1
2.1离散傅立叶变换（DFT） 2
2.2快速傅里叶变换（FFT） 3
3 CZT变换 3
3.1 CZT变换理论分析 3
3.2 CZT变换的实际应用 5
3.3 CZT变换的运算结果仿真 6
4 结语 7
参考文献 8
致谢 9

线性调频Z变换及其应用

包亚飞

(天水师范学院，电子信息与电气工程学院，甘肃天水 741000)

摘要：在频谱分析领域，有多种运算方法，主要有离散傅立叶变换（DFT）算法、快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform ，FFT）算法、线性调频Z变换等。但是，由于FFT算法反映不出精确的信号的频谱特性，对此，在这里我们主要讨论一种建立在DSP上的，采用FFT算法的变换方法对实序列进行离散傅里叶变换（DFT）计算的方法，即线性调频Z变换（CZT）。对于一样的数据序列，使用CZT运算的效率是FFT变换运算的2~3倍，其运算结果和FFT、DFT的一样。线性调频Z变换（CZT）可以用任意长度的采样序列，并非一定要求基-2FFT的长度，从而，可以使得系统得到最有效的采样率和频谱分辨率。

关键词：线性调频Z变换；傅立叶变换；频谱分辨率；数据处理

Chirp Z transform and its application

Bao Yafei

(School of Electronic information and electrical engineering, Tianshui Normal University,Tianshui 741000,China)

Abstract: There are many operation methods in the field of spectral analysis, mainly has discrete Fourier Transform (DFT) algorithm and Fast Fourier Transform, Fast Fourier Transform, FFT) algorithm, chirp Z Transform, etc. But, as a result of the FFT algorithm does not reflect the precise signal spectrum characteristics, and for this issue we mainly discuss a kind of based on DSP, the transform method by using FFT algorithm compaction sequence of discrete Fourier transform (DFT) calculation method, namely the chirp Z transform (CZT). For the same data sequence, using CZT operations the efficiency of the FFT transform operations of 2 ~ 3 times, its computational results is equal to FFT and DFT. Chirp Z transform (CZT) can use the sampling sequence of arbitrary length, does not have to request the length of the base 2-FFT, thus, can make the system to get the most effective sampling rate and the spectral resolution.

Key Words: Chirp Z transform;Fourier transform; Spectral resolution; The data processing

线性调频Z变换及其应用

1引言
随着世界电子领域的高速发展，集成电路的应用也越来越广，其主要在计算机、自动控制到航空、通信等各种个人电子产品中。在这些应用中，为了确保产品的质量，从而需要对其一些参数进行测试，其中大多数参数都是混合信号，所以要对这些混合信号的数据就行采样。采样得到的信号为连续时域信号，在根据傅里叶变换把采样得到的信号转换成频域表示。可以根据变换的结果得到原信号的相位谱和幅度谱。傅里叶变换频谱分析，已经成为一个不可缺少的数据分析工具，主要有快速傅里叶变换和离散傅里叶变换。这两种变换得到的结果是一样的，不同的是它们的变换速度。
对于某一序列，用离散傅立叶变换运算，则需要大量的时间处理数据，如果采用快速傅里叶变换（FFT）就可以避免处理时间过长的问题，但是，由于FFT对有限序列的长度有限制。对此，为了解决上面在时间和序列长度方面的问题和限制，有人就提出了一种新的运算法则，即线性调频Z变换（CZT）出现了，。FFT的频谱是等间隔抽样的离散序列。若采样频率为,抽样点数为,则频域抽样间隔,如果在两谱线间频谱有很大变化时，则无法将其检测出来。当保持不变时，为了减小频率抽样间隔，提高频率分辨率，只能增加抽样点数，这将使得运算量大为增加[1] 付丽琴,桂志国,王黎明.数字信号处理原理及实现[M].北京:国防工业出版社,2004.
。基于上面讨论的问题，在本文中，我主要学习了线性调频Z变换，并作出一定的理论和仿真。
2 傅立叶变换的应用
离散傅立叶变换是连续傅立叶变换在离散系统中的表示形式，因为离散傅立叶变换的计算量大，所以其应用受到了很大的限制。在这些问题的存在下，在1956年由库利（Cooley）和图基（Tukey）年发现了快速傅立叶变换（FFT）算法。FFT证明是非常适合于高效的数字实现，并且它将计算变换所需的时间减少了几个数量级[2] 刘树棠,信号与系统（第二版）[M].西安通大学出版社,1998.
。尽管快速傅里叶变换（FFT）能减少数据处理时间，但是速傅里叶变换（FFT）的结果只会取得取样点的频谱值，却取不到取样点之间的频谱信息。当实际频谱的峰值落在频谱取样点之间时，从FFT计算结果中得不到该峰值的真实频率、幅值和相位。如果把FFT谱的峰值作为真实频谱的峰值，必然带来频率、幅值和相位误差。
2.1离散傅立叶变换（DFT）
一般在傅立叶变换中，由频域表示的各个分量，主要由复指数函数和正弦和余弦函数交叉来表示频域中的各个分量。假定任何一个数据波形都可以用正余弦交叉来表示，根据DFT的定义可以得到得:

在目前的一些测试系统中，通过离散傅立叶变换（DFT）可以从上面的这些正余弦分量中直接计算出有限序列的频率。而这样一种可以在每一个点计算的方法，就好比是一个对振幅和相位都可调的滤波器。如果在某一个频带内，对有限序列进行测试，则这个可调滤波器，就可以运算出在每一频率时正余弦的输出。假定将所有的余弦输出相加定义为实部，所有的正弦输出相加定义为虚部，则实部和虚部就可用下面的两个式子来表示：
8

这时，在频率的采样处，其功率频谱可定义为：

在频率的采样处，其相位频谱定义为：

但对每一个，要得到DFT结果都需要进行次复数乘运算和次复数加运算，所以对于个分量的总的运算数据的结果共需要次的复数乘运算和次的复数加运算。可见这样的运算量是很大的，尽管我们才用数列的各种对称性，这样可以加快的运算效率，但是这样会花费更大的代价，在现实生产中这种方法往往是不能采用的。
2.2快速傅里叶变换（FFT）
快速傅立叶变换(FFT)，一般采用基-２FFT分蝶形运算。对N个Ｘ分量，需要完成个蝶形运算，因此需要做复数乘法和次复数加法。利用算法和利用算法直接计算的结果相比，它们所需的复数乘法的次数之比为：

而它们所需的复数加法的次数之比分别为：

从上面两个式子可以得出，采用运算要比采用的运算减少很大的运算量。但是，我们知道对有限长数列的长度有严格的要求，这也是它最大的局限性所在。它的采样数据的个数必须为2n个，即。同时我们又知道采样序列的长度与谱谱分辨率成反比，即FFT频谱分辨率=采样频率/采样数。从这个式子出发，在信号的检测中，我们必须要将信号的采样频率做出一定的调整，才可以使采样数据满足上面的条件，但是这样的采样频率却会影响混合信号电路的检测。
3 CZT变换
Chirp-z变换是一种可以有效计算数据序列的功率谱和相位谱的方法，它采用螺线抽样，可适用于更一般情况下有到快速算法，这种用卷积来计算DFT变换的方法称为线性调频Z变换，简称CZT[3] 席德勋.现代电子技术[M]. 北京:高等教育出版社,1999.
。在对一数据进行相同的采样的情况下，运用变换的运算结果和变换的运算结果是一致的，但是对信号序列的长度要求有很大的限制，而变换对信号序列长度可以使任意的。
3.1 CZT变换理论分析
在这里我们将一长度为的有限序列，使用表示它的变换，利用运算法则，然后计算给定点上的，令：， 其中，经过一定的推论可得：

研究某一组采样数列，主要按照下面的步骤进行分析：
（1）选择一个最小的数，使其满足且，以便用基-2FFT算法来求得与的卷积[4] 钱可矛,李川奇.频谱校正的线性调频Z变换方法[J]. 振动工程学报,2000,13(4):628-631
。
（2）令补上零值点变为L点序列，并利用FFT法求序列的点 DFT：

（3） 对相关序列进行补零加长后，其周期延拓成点的序列，即：

（4） 利用FFT方法求序列的DFT：

（5）将列长为的二序列和逐点相乘得到的是列长任为的频域离散序列 。
（6）将做点离散傅立叶反变换，这样就得到, 由于只有M点相关，故在这里只对前点序列进行采样。
（7）最后求：

从上面的公式我们可以得出，对于一组任意长度的采样数据序列，变换运算法则可以通过补零点的方法将数据序列转换成长为的序列后直接进行运算处理，这样便解决了变换对数据序列长度的限制，且变换也可以表示为离散卷积，其根据是利用快速傅立叶变换和快速傅立叶逆变换实现的，从而能保证对数据序列的运算速度。CZT运算相对于FFT变换需要进行更多次的变换，运算次数和成正比例，变换时间是FFT变换时间的2~3倍。
对一输入信号波形进行采样，设采样周期为，采样频率为，频率分辨率为，样本大小为，则可得到下面的两个公式：

对上面的两个公式（13）、（14）合并后可得：

对于在一定频率下的采样数据，其输入信号的最高频率必须满足是其采样频率的一半，这称为奈奎斯特速率。对于那些高于奈奎斯特速率的数据频率都是采样不到的数据频率，或者称为失真的数据频率，如果不进行特定的调整，这些采样不到的信号将会使得变换在低频下的测试结果误差偏大，从而失去了采样的意义。
为了更好地运用变换运算，我们必须要使采样数据的频率宽度小于奈奎斯特速率。如果要测量频率高的数据，就必须要采用更高的采样频率。根据公式（14）式可以得出：是由数据的数量多少决定了数据频率的分辨率，即为取如果分辨率越大，则其取样就越多。而由式（15）知：采样周期为，采样频率为，频率分辨率为，样本大小为等都处在一个动态平衡中，如果想要得到准确的采样数据，就必须要设置合理的参数。
3.2 CZT变换的实际应用
CZT变换运算法则在一些混合信号的测试系统中得到了深入的应用，其主要运算是基于DSP完成的。还有一些对于数据频谱的分析中，对于频率的提取是基于matlab软件实现的，本文就基于matlab软件对对CZT算法的高速性和准确性来研究，其主要为通过比较采用FFT算法和CZT算法的得到的仿真图来得出本文的结论。CZT算法，它是在更大范围的平面上（既可以是单位圆，也可以不是单位圆，也可以是单位圆部分频段；更可以是平面任意螺旋线上）来计算的值[5] 程佩青,数字信号处理教程（第四版）[M].北京:清华大学出版社,2007.
。
MATLAB信号处理工具箱中，计算CZT的函数为czt，调用格式为y=czt(x,m,w,a)。
它可以计算信号x的m点线性调频变换，m、w、a、皆为标量，此函数沿平面指定的弧线上计算变换的抽样值，这个弧线由m、w和a来确定，m是变换的长度，w是弧线上各相邻点之间的复数比值，a是复数的起点[6] 程佩青,数字信号处理教程（第四版）[M].北京:清华大学出版社,2007.
。
3.3 CZT变换的运算结果仿真
本文中，我采用CZT算法来得到FIR滤波器过渡带中相比采用FFT算法更为详细的频率特性。设，，抽样频率。
对以上举例的matlab程序如下：
clc;clear all
h=fir1(40,150/500);
fs=1000;f1=100;f2=200;
m=1024;
w=exp(-j*2*pi*(f2-f1)/(m*fs));
a=exp(j*2*pi*f1/fs);
H=fft(h,1000);
H1=czt(h,m,w,a);
fH=(0:length(H)-1)'*1000/length(H);
fH1=((0:length(H1)-1)'*(f2-f1)/length(H1))+f1;
figure(1)
subplot(211)
plot(fH(1:500),abs(H(1:500)));axis([1,500,0,1.2]);
title('FFT');xlabel('f');ylabel('H(jf)');grid
subplot(212)
plot(fH1,abs(H1));axis([f1,f2,0,1.2]);
title('czt');xlabel('f');ylabel('H(jf)');grid
在matlab下运行这些程序可以得到下面的仿真图，

图1-对相同信号分别用FFT和CZT得到的频率特性图
从上面得到的结果图可以看到，采用CZT运算远比采用FFT运算得到的频率特性图得到的效果好很多，其结果很好的反映出了信号数据的频谱特性。
4 结语
由于线性调频Z变换算法不受基2长度的限制，同时又具有高频谱分辨率以及较快的运算速度，在频谱分析、窄带分析、频谱探测以及信号识别等方面获得了广泛应用[7] 奥本海默 A V,Schafer R W,巴克J R.离散时间信号处理[M]. 西安交通大学出版社,2001.

致 谢

首先，在这里我要感谢我的指导老师刘老师，在我的整个论文进程中，从开始的选题，到确定题目，再到修改论文内容，刘老师都帮我指出论文中的不足和错误。以致我的论文能在规定下顺利完成，在这里我真心的感谢我的指导老师。
其次，我也要感谢电子信息与电气工程学院的各位领导和老师，时间太短暂，四年马上就要过去了，在我四年的学习过程中，感谢你们的教导和鼓励；也感谢我的同学们，一起度过了人生中最重要的四年。
最后，在今后的学习生活中，我将继续努力，把在这四年学到的运用到今后的经历中。

。
由于傅立叶变换在对数据的运算方面存在的上述的缺点，为了解决这些缺点，我们提出了线性调频Ｚ变换（），该运算方法一方面克服了在采样数据长度的限制，一方面也大大减少了对采样数据运算的时间问题，通过一定的设计，可获得比通过和运算更为理想的效果，于是线性调频Ｚ变换（）得到了广泛的应用，满足了生产需要。

参考文献