钢筋混凝土结构的有限元.pptx

因为钢筋混凝土结构由钢筋和混凝土两种材料组成。如何将这类结构离散化，这一问题与一般均匀连续的由一种或几种材料组成的结构有类似之处，但也有不同之点。由于钢筋混凝土结构中的钢筋一般被包裹于混凝土之中，而且相对体积较小，因之，在建立钢筋混凝土的有限元模型时，必须考虑到这一特点。通常构成钢筋混凝土结构的有限元模型主要有三种方式：分离式、组合式和整体式。现在分别介绍如下。3.1 分离式模型分离式模型 分离式模型把混凝土和钢筋作为不同的单元来处理。即混凝土和钢筋各自被划分为足够小的单元。在平面问题中，混凝土可划分为三角形或四边形单元，钢筋同样也可划分为三角形或四边形单元。考虑到钢筋是一种细长材料，通常可忽略其横向抗剪强度，这样，可以将钢筋作为线形单元来处理。如此处理，可以大大减少单元数目，并且可避免因钢筋单元划分过细而在钢筋和混凝土的交界处采用很多过渡单元。在分离式模型中，钢筋和混凝土之间可以插入连接单元来模拟钢筋和混凝土之间的粘结和滑移，见图3-l。这一点是组合式或整体式有限元模型无法实现的。若钢筋和混凝土之间粘接很好，不会有相对滑移，则两者之间可视为刚性连接，这时也可不用连接单元。1双弹簧连接单元双弹簧连接单元在钢筋混凝土有限元分析中，有一种特殊单元即能描述钢筋与混凝土之间粘结作用的单元。一般有常用的两种单元，即双弹簧连接单元与四边形滑移单元。这一节先介绍双弹簧连接单元。如图3-9所示，在垂直于钢筋和平行于钢筋表面方向设置互相垂直的一组弹簧。这组弹簧是设想的力学模型，它具有弹性刚度，但并无实际几何尺寸，所以它可以放置在需要设置连接的任何地方。这种双弹簧单元，可以不计算弹簧中的应力而直接建立节点力与节点位移之间的关系，因为弹簧刚度经常用单位伸长所需要的力来表示。设节点i，j在局部坐标系中产生位移差，可由节点位移表示为 用矩阵表示 (3-72)分别表示沿 和 方向的位移差值。若局部坐标轴 与整体坐标轴 的夹角为 ，则上式中的ccos ，ssin 。又设弹簧刚度在 与 方向分别为 和 ，则内力和位移差之间的关系为 (3-73)其中 与 分别为沿 与沿 方向弹簧中的内力。利用虚功原理可以建立节点力与内力之间的关系式中:节点力 。将式(3-72)和式(3-73)代入，可得其中 即为连接单元的刚度矩阵。具体乘出展开后可得显式表达如下其中 与 数值受到钢筋表面性质、直径和间距，混凝土的品种、强度，构件尺寸，单元划分等许多因素的影响，应从实验数据出发根据不同的具体情况确定。2四边形滑移单元四边形滑移单元这种单元是一种退化了的四边形单元，即宽度等于零的四边形单元。它首先由美国学者古德曼(Goodman)用于岩石力学中作为节理单元，后又引申用于各种边界接触面的单元，如基础与土壤之同，桩与土之间的接触单元，钢筋与混凝土间的粘结滑移单元。由于这种单元宽度等于零，所以它可以很方便地放于钢筋和混凝土之间而不影响钢筋与混凝土单元的几何划分。由于这种单元由四边形单元退化而来，它可应用和混凝土单元同样的位移插值函数，因而可以建立更为协调的关系。图3-10表示一个4节点平面滑移单元，节点用1，2，3，4表示，它的宽度t0，这表示1和4，3和2节点在开始时占有同一空间位置。设单元局部坐标为 ，其方向由 与整体坐标轴 的夹角 来确定。设在局部坐标中上层3-4对下层1-2的相对滑移为取线性位移插值 式中：，和 为待定常数。(3-77)将节点坐标值代入上式，可得如下4个方程；求解此方程，可以求得4个待定常数如下=()+()=()()()+()=()()将此式代回式(3-77)，可得下列关系：用矩阵形式表示，可简写为 式中：节点位移列阵 形函数矩阵；由物理关系，将节点力和位移差联系起来：其中 与 表示切向与法向的材料刚度系数，它可由实验决定。运用能量原理，可得单元刚度矩阵为：积分后展开，可得单元刚度矩阵的表达式如下：因刚度矩阵是按总体坐标集合的，单元刚度矩阵在集合到整体刚度矩阵中去以前，应先进行坐标转换。这可以通过坐标转换矩阵来实现：式中：整体坐标系中的单元刚度矩阵；局部坐标系中的单元刚度矩阵；坐标转换矩阵。它可用下列式子表示：将式(3-87)乘出展开后可以得到具体的单元刚度矩阵表达式为 式中：这一四边形单元也可应用高次插值函数、例如6节点曲边单元。经分析，若在沿钢筋的单元网格划分不均匀时，或者在混凝土和钢筋应用高次插值单元的情况下，四边形单元可以更自然地得到比较协调的刚度矩阵。3.2 组合式模型组合式模型 1.分层组合式分层组合式在组合式模型中，最常用的有两种方式，第一种为分层组合式，即在横截面上分成许多混凝土层和若干钢筋层，并对截面的应变做出某些假定(如应变沿截面高度为直线分布是应用最广泛的一种假设)。根据材料的实际应力应变关系和平衡条件可以导出单元的刚度表达式(包括轴向刚度和弯曲刚度)。这种组合方式在杆件系统，尤其在钢筋混凝土板、壳结构中应用很广。这一方法将混凝土分为许多条带，对钢筋则同一层钢筋分为同一钢筋条带。对一般受弯构件，将混凝土分为710层计算弯矩和曲率的关系即能满足工程要求。计算中、假定每一条带上的应力是均匀分布的。以受弯构件为例(见图3-11)，实际计算可按下列步骤进行。(1)加一级荷载 ,由刚度计算出曲率增量。(2)计算每一条带的应变(3)由钢筋与混凝土的 关系求出每一条带的应力 和(4)求出每一条带的作用力并求出合力矩和合力(5)检查是否满足，满足了可加下一级荷载，不满足时应重新计算中和轴和曲率。轴向力 大于零时，中和轴应稍向下调(增大压区面积)，反之则向上调，当 偏小时，应增加曲率，反之应减小曲率，这一过程用手算是比较麻烦的。但由计算机进行还是相当迅速的。2.带钢筋的四边形单元带钢筋的四边形单元设任意四边形单元中包含有一根钢筋，如图3-l 2所示单元节点力为单元节点位移为无钢筋时的单元刚度矩阵可按下式计算这是一个88的矩阵，它将 与 联系起来，即有 。对于单根钢筋，其单元刚度矩阵可按式(3-8)计算，即它联系了钢筋的节点力和节点位移即有现在要计算 如何贡献到整个单元中去，为此要推导出 与 之间的关系。仅当单元节点2发生位移 ，而其余位移均为0时，由几何关系可知(图3-12)故有同理，当 ，其余节点位移均为零时，可推得当 ，等分别等于1而其它位移等于零时，可推得钢筋节点位移 与单元节点位移 之间的关系，具体表达式为 其中,称 为坐标转换矩阵。通过它可将41阶的钢筋节点位移转换为81的4节点单元节点位移。由平衡关系，用类似的方法可以推得将 及 代入可得 其中 即为钢筋对整个四边形单元的贡献矩阵。实际计算中，可首先求得钢筋单元的44阶单元钢筋矩阵 ，然后通过转换到88阶的贡献矩阵，它便可以叠加到整体单元刚度中去。即 3.带钢筋膜的带钢筋膜的8节点六面体单元节点六面体单元 另一种组合方法是采用等参数单元。若假定钢筋与混凝土之间无相对滑移，则两者处于同一位移场中，各点的位移均可由节点的位移来确定。与一般均匀连续体不同之处在于这种组合单元包括了钢筋对单元刚度的贡献。下面以8节点六面体单元来说明这种组合单元的刚度矩阵的求法。在有限元的位移法中选择节点位移为基本未知数。选择位移插值函数(形函数)将单元内的位移场与单元节点联系起来。即 式中，为单元位移场；为节点位移；为形函数。由几何关系，应变可由位移的微分求得。进而用节点位移表示：(3-96)为几何矩阵，它是624阶矩阵，可表达如下：(3-97)由材料的应力、应变构成关系及应变可求得应力 (3-98)式中：为材料的本构关系矩阵；和 为初应力与初应变列阵。如无初应力和初应变，式(3-98)可简化为 运用虚功原理，可求得单元刚度矩阵如下：(3-100)一旦求得了单元刚度矩阵，整体刚度矩阵可由单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵。所以单元分析在有限元分析中是很重要的一步，而选取形函数又是单元分析中关键的一步。在简单形状单元(如矩形)中选择及推导形函数是比较容易的，但简单形状的单元又很难适合复杂的边界形状。在等参数单元中即综合了这两方面的优点。它运用2套坐标：单元坐标 和整体坐标()见图3-13。2套坐标之间可以建立固定的对应关系 这样就可以先在简单形状单元(又称母单元)中选择形函数，然后转到实际的复杂形状单元(又称子单元)中去。在8节点六面体单元中，形函数选择如下：式中；(i18)是节点坐标值。单元中任一点的位移，通过形函数可用节点位移表示如下：在等参数单元中，单元内任一点的坐标也采用同样的形函数和节点坐标联系起来，即 按式(3-96)与式(3-97)由节点位移求单元应变时，它要求形函数在整体坐标中的导数，但形函数是建立在局部坐标中的，这就需要将局部坐标中的表达式转换到整体坐标中去，这可以通过雅可比矩阵来实现。由偏微分法则同样可得 与 ，写成矩阵形式，则有 其中 就是大家熟知的雅可比矩阵，通过它形函数对局部坐标的导数就转换为对整体坐标的导数，反之亦可应用，其关系式如下：按式(3-100)求单元刚度矩阵，尚须对积分的单元体积进行变换。如果 被选为局部坐标，则由微分几何可知 其中i，j，k分别是沿 方向的单位向量。由 组成的微元体积可由其矢量的混合积求得 代入式(3-100)即可得出单元刚度矩阵的表达式如下：现在考虑有一等效钢筋薄膜的情况，见图3-14。设薄膜中面坐标 为常量。钢筋只考虑能承受面内轴力，不能承受横向剪力及弯矩，因薄膜很薄，其垂直于中面的变形可以忽略，于是只有面内应变 式中，为 平面内的应变列阵；为在该面内沿 和 方向的位移。可以通过坐标转换矩阵与单元应变矩阵 联系起来。其中 为坐标转换矩阵，可表达如下：其中 和 是坐标轴 和 方向的方向余弦。按照向量代数，可得如下关系：，。其中 等效钢筋薄膜的面积可由 求得 令 则 若薄膜厚度为t，则薄膜的体积为 在 平面内，应力应变关系为 或者 式中，为沿 方向薄膜的厚度；为沿 方向薄膜的厚度；为钢筋的弹性模量。在实用计算中，若已知单根配筋面积为 ，间距为 ，为混凝土的弹性模量，则其等效薄膜的厚度可取为 由坐标转换矩阵，将局部坐标下的应力转到总体坐标中去 于是钢筋薄膜对单元的贡献矩阵为 对于 或 的钢筋薄膜对单元刚度矩阵的贡献可用同样的方法求得。包括混凝土和钢筋贡献在内的整个单元刚度矩阵为 3.3 整体式模型整体式模型 在整体式有限元模式中，将钢筋分布于整个单元中并把单元视为连续均匀材料，这样就可用式(3-100)求得单元刚度矩阵。与分离式不同，它求出的是综合了混凝土与钢筋单元的刚度矩阵。这一点与组合式相同。但与组合式不同之点在于它不是先分别求出混凝土与钢筋对单元刚度的贡献，然后组合，而是一次求得综合的单元刚度矩阵。它可运用式(3-100)，但应将其中的弹性矩阵改为由两部分组合，具体表达式为 式中 为混凝土的应力应变矩阵。在开裂前可按一般均质体计算，具体表达式为 其中，等效分布钢筋的应力应变关系矩阵 ，可按下式求得：式中，为钢筋的弹性模量；为沿x，y，z方向的配筋率。若 不同，则单元刚度各向异性。3.4 小小 结结(1)分离式有限元模型 这是由不同材料构成一个结构时通用的计算方式，很自然地引入钢筋混凝土结构的分析中。其特点是混凝土单元刚度矩阵钢筋单元刚度矩阵 、钢筋单元刚度矩阵 是分别计算的，然后统一集成到整体刚度矩阵K中去。其优点是可按实际配筋划分单元，必要时可在钢筋与混凝土之间嵌入粘结单元。该单元的缺点是，当配筋量大且不规则时，划分单元的数量很大。(2)组合式有限元模型 这一单元模型中已包含了钢筋与混凝土两种材料，在推导单元刚度矩阵时，采用了统一的位移函数，但考虑了不同的材料特性，同时计算单元刚度矩阵，单元刚度矩阵中已包括了混凝土和钢筋两种材料对单元刚度矩阵的贡献。这种模型的特点是单元数量减少，但计算精度可提高。但对每一个单元刚度的计算比较麻烦，当单元中钢筋布置不规则时，没有通用公式可用，要自己推导，遇到配筋类别很多时，单元刚度的计算很麻烦。所以，这种单元是三种模式中应用较少的一种。(3)整体式有限元模型这一模型的单元也包括了两种材料对单元刚度矩阵的贡献，但它不再分别计算 与 而是将钢筋化为等效的混凝土，然后按一种材料计算单元刚度矩阵，即与然后将然后将 集成为总体刚度矩阵。这一模型的优点是单元划分少，计算量小，可适应复杂配筋的情况。故目前在一般实际工程结构计算中均采取这模型。这一模型的缺点是只能求得钢筋在所在单元中的平均应力，且不能计算钢筋与混凝土之间的粘结应力。