勾股定理专题训练试题(一)附答案.doc

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勾股定理专题训练试题精选（一）
一．选择题（共30小题）
1．（2014•十堰）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（　　）

A．
2
B．

C．
2
D．

2．（2014•吉林）如图，△ABC中，∠C=45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD=DB=DE，AE=1，则AC的长为（　　）

A．

B．
2
C．

D．

3．（2014•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（　　）

A．

B．

C．
1
D．
2

4．（2013•和平区二模）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是（　　）

A．

B．
1
C．

D．

5．（2012•威海）如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）

A．
25°
B．
65°
C．
70°
D．
75°

6．（2011•衢州）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（　　）

A．

B．

C．

D．

7．（2011•惠山区模拟）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（　　）

A．
2.5AB
B．
3AB
C．
3.5AB
D．
4AB

8．（2011•白下区二模）如图，△A1A2B是等腰直角三角形，∠A1A2B=90°，A2A3⊥A1B，垂足为A3，A3A4⊥A2B，垂足为A4，A4A5⊥A3B，垂足为A5，…，An+1An+2⊥AnB，垂足为An+2（n为正整数），若A1A2=A2B=a，则线段An+1An+2的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

9．（2010•西宁）矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（　　）

A．
5
B．

C．
6
D．

10．（2010•鞍山）正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD上的点．若△AEF是边长为的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（　　）

A．

B．

C．

D．
2
11．（2010•鼓楼区二模）小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为（　　）

A．
40
B．
30+2
C．
20
D．
10+10

12．（2009•鄞州区模拟）直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（　　）

A．
132
B．
121
C．
120
D．
以上答案都不对

13．（2009•宝安区一模）下列命题中，是假命题的是（　　）

A．
有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形

B．
在直角三角形中，斜边上的高等于斜边的一半

C．
在直角三角形中，最大边的平方等于其他两边的平方和

D．
三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等

14．（2008•江西模拟）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（　　）

A．
2n﹣2
B．
2n﹣1
C．
2n
D．
2n+1

15．（2007•台湾）以下是甲、乙两人证明+≠的过程：
（甲）因为＞=3，＞=2，所以+＞3+2=5
且=＜=5
所以+＞5＞
故+≠
（乙）作一个直角三角形，两股长分别为、
利用商高（勾股）定理（）2+（）2=15+8
得斜边长为
因为、、为此三角形的三边长
所以+＞
故+≠
对于两人的证法，下列哪一个判断是正确的（　　）

A．
两人都正确
B．
两人都错误
C．
甲正确，乙错误
D．
甲错误，乙正确

16．（2007•宁波二模）如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（　　）

A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个

17．（2006•郴州）在△ABC中，∠C=90°，AC，BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根，△ABC内一点P到三边的距离都相等．则PC为（　　）

A．
1
B．

C．

D．

18．（2002•南宁）如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（　　）

A．
Sl+S2＞S3
B．
Sl+S2＜S3
C．
S1+S2=S3
D．
S12+S22=S32

19．（2001•广州）已知点A和点B（如图），以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出（　　）

A．
2个
B．
4个
C．
6个
D．
8个
20．设直角三角形的三边长分别为a、b、c，若c﹣b=b﹣a＞0，则=（　　）

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
21．（1999•温州）已知△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，DC=2，那么BD等于（　　）

A．
4
B．
6
C．
8
D．

22．如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

23．在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB=12，则△ABC的面积等于（　　）

A．
16
B．
18
C．
12
D．
12

24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，AC=BE=15，BC=20．则四边形ACED的面积为（　　）

A．
54
B．
75
C．
90
D．
96

25．如图，在△ABC中，分别以AB、BC为直径的⊙O1、⊙O2交于AC上一点D，且⊙O1经过点O2，AB、DO2的延长线交于点E，且BE=BD．则下列结论不正确的是（　　）

A．
AB=AC
B．
∠BO2E=2∠E
C．
AB=BE
D．
EO2=BE

26．如图，在正方形网格中，cosα的值为（　　）

A．
1
B．

C．

D．

27．直角三角形一边长为8，另一条边是方程x2﹣2x﹣24=0的一解，则此直角三角形的第三条边长是（　　）

A．
10
B．
2
C．
4或10
D．
10或2

28．如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它由4个相同的直角三角形拼成，已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是（　　）

A．
1：5
B．
1：25
C．
5：1
D．
25：1

29．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③S四边形AEPF=S△ABC；
④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合） BE+CF=EF．
上述结论中始终正确的有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

30．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC于M，连CD．下列结论：①AC+CE=AB；②；③∠CDA=45°；④=定值．
其中正确的有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

勾股定理专题训练试题精选（一）
参考答案与试题解析

一．选择题（共30小题）
1．（2014•十堰）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（　　）

A．
2
B．

C．
2
D．

考点：
勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．
解答：
解：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，
又∵点G为AF的中点，
∴DG=AG，
∴∠GAD=∠GDA，
∴∠CGD=2∠CAD，
∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，
∴∠ACD=∠CGD，
∴CD=DG=3，
在Rt△CED中，DE==2．
故选：C．
点评：
综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．

2．（2014•吉林）如图，△ABC中，∠C=45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD=DB=DE，AE=1，则AC的长为（　　）

A．

B．
2
C．

D．

考点：
等腰直角三角形；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
利用AD=DB=DE，求出∠AEC=90°，在直角等腰三角形中求出AC的长．
解答：
解：∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵DB=DE，
∴∠B=∠DEB，
∴∠AEB=∠DEA+∠DEB=×180°=90°，
∴∠AEC=90°，
∵∠C=45°，AE=1，
∴AC=．
故选：D．
点评：
本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是利用角的关系求出∠AEC是直角．

3．（2014•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（　　）

A．

B．

C．
1
D．
2

考点：
等腰直角三角形．菁优网版权所有
分析：
由已知可得Rt△ABC是等腰直角三角形，得出AD=BD=AB=1，再由Rt△BCD是等腰直角三角形得出CD=BD=1．
解答：
解：∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=AB=1，∠CDB=90°，
∴CD=BD=1．
故选：C．
点评：
本题主要考查了等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质求角及边的关系．

4．（2013•和平区二模）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是（　　）

A．

B．
1
C．

D．

考点：
等腰直角三角形；垂线段最短；平行线之间的距离．菁优网版权所有
分析：
利用等腰直角三角形的特点知道AD=CD，CE=BE，∠ACD=∠A=45°，∠ECB=∠B=45°，∠DCE=90°．利用勾股定理得出DE的表达式，利用函数的知识求出DE的最小值．
解答：
解：在等腰RT△ACD和等腰RT△CBE中AD=CD，CE=BE，∠ACD=∠A=45°，∠ECB=∠B=45°
∴∠DCE=90°

成功秘诀：好市口＋个性经营∴AD2+CD2=AC2，CE2+BE2=CB2

（4） 信息技术优势∴CD2=AC2，CE2=CB，
∵DE2=DC2+EC2，

（一）上海的经济环境对饰品消费的影响∴DE===

300元以下□ 300～400元□ 400～500□ 500元以上□∴当CB=1时，DE的值最小，即DE=1．

500元以上 12 24%故选：B．
点评：
此题考察了等腰直角三角形的特点及二次函数求最值的方法．

为此，装潢美观，亮丽，富有个性化的店面环境，能引起消费者的注意，从而刺激顾客的消费欲望。这些问题在今后经营中我们将慎重考虑的。　

十字绣□ 编制类□ 银饰制品类□ 串珠首饰类□5．（2012•威海）如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）

但这些困难并非能够否定我们创业项目的可行性。盖茨是由一个普通退学学生变成了世界首富，李嘉诚是由一个穷人变成了华人富豪第一人，他们的成功表述一个简单的道理：如果你有能力，你可以从身无分文变成超级富豪；如果你无能，你也可以从超级富豪变成穷光蛋。A．

（2）物品的独一无二25°
B．
65°
C．
70°

大学生的消费是多种多样，丰富多彩的。除食品外，很大一部分开支都用于。服饰，娱乐，小饰品等。女生都比较偏爱小饰品之类的消费。女生天性爱美，对小饰品爱不释手，因为饰品所展现的魅力，女人因饰品而妩媚动人，亮丽。据美国商务部调查资料显示女人占据消费市场最大分额，随社会越发展，物质越丰富，女性的时尚美丽消费也越来越激烈。因此也为饰品业创造了无限的商机。 据调查统计，有50% 的同学曾经购买过DIY饰品，有90% 的同学表示若在学校附近开设一家DIY手工艺制品，会去光顾。我们认为：我校区的女生就占了80%。相信开饰品店也是个不错的创业方针。D．
75°

考点：
等腰直角三角形；平行线的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据等腰直角三角形性质求出∠ACB，求出∠ACE的度数，根据平行线的性质得出∠2=∠ACE，代入求出即可．
解答：
解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠1=20°，
∴∠ACE=20°+45°=65°，
∵a∥b，
∴∠2=∠ACE=65°，
故选B．

点评：
本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形、平行线的性质，关键是求出∠ACE的度数．

6．（2011•衢州）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
等腰直角三角形；圆周角定理．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
连接OB．根据圆周角定理求得∠AOB=90°；然后在等腰Rt△AOB中根据勾股定理求得⊙O的半径AO=OB=50m，从而求得⊙O的直径AD=100m．
解答：
解：连接OB．
∵∠ACB=45°，∠ACB=∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠AOB=90°；
在Rt△AOB中，OA=OB（⊙O的半径），AB=100m，
∴由勾股定理得，AO=OB=50m，
∴AD=2OA=100m；
故选B．

点评：
本题主要考查了等腰直角三角形、圆周角定理．利用圆周角定理求直径的长时，常常将直径置于直角三角形中，利用勾股定理解答．

7．（2011•惠山区模拟）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（　　）

A．
2.5AB
B．
3AB
C．
3.5AB
D．
4AB

考点：
勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；证明题；压轴题．
分析：
过点B作BM∥AD，根据AB∥CD，求证四边形ADMB是平行四边形，再利用∠ADC+∠BCD=90°，求证△MBC为Rt△，再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2，在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可．
解答：
解：过点B作BM∥AD，
∵AB∥CD，∴四边形ADMB是平行四边形，
∴AB=DM，AD=BM，
又∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠BMC+∠BCM=90°，即△MBC为Rt△，
∴MC2=MB2+BC2，
∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，
∴△AED∽△ANB，△ANB∽△BFC，
=，=，
即AD2=，BC2=，
∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2=+==，
∵S1+S3=4S2，
∴MC2=4AB2，MC=2AB，
CD=DM+MC=AB+2AB=3AB．
故选B．

点评：
此题涉及到相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形等知识点，解答此题的关键是过点B作BM∥AD，此题的突破点是利用相似三角形的性质求得MC=2AB，此题有一定的拔高难度，属于难题．

8．（2011•白下区二模）如图，△A1A2B是等腰直角三角形，∠A1A2B=90°，A2A3⊥A1B，垂足为A3，A3A4⊥A2B，垂足为A4，A4A5⊥A3B，垂足为A5，…，An+1An+2⊥AnB，垂足为An+2（n为正整数），若A1A2=A2B=a，则线段An+1An+2的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
等腰直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
计算题；规律型．
分析：
先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A2A3及A3A4的长，找出规律即可解答．
解答：
解：∵△A1A2B是直角三角形，且A1A2=A2B=a，A2A3⊥A1B，
∴A1B==a，
∵△A1A2B是等腰直角三角形，
∴A2A3⊥A1B，
∴A2A3=A1A3=A1B==，
同理，A4A5=×=，
∴线段An+1An+2的长为 ．
故选B．
点评：
此题属规律性题目，涉及到等腰三角形及直角三角形的性质，解答此题的关键是求出A2A3及A3A4的长找出规律．灵活运用等腰直角三角形的性质，得到等腰直角三角形的斜边是直角边的 倍，从而准确得出结论．

9．（2010•西宁）矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（　　）

A．
5
B．

C．
6
D．

考点：
勾股定理；矩形的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
过E作EG⊥CD于G，利用矩形的判定可得，四边形AEGD是矩形，则AE=DG，EG=AD，于是可求MG=DG﹣DM=1，在Rt△EMG中，利用勾股定理可求EM．
解答：
解：过E作EG⊥CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
又∵EG⊥CD，
∴∠EGD=90°，
∴四边形AEGD是矩形，
∴AE=DG，EG=AD，
∴EG=AD=BC=7，MG=DG﹣DM=3﹣2=1，
∵EF⊥FM，
∴△EFM为直角三角形，
∴在Rt△EGM中，EM====5．
故选B．

点评：
本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识，是基础知识要熟练掌握．

10．（2010•鞍山）正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD上的点．若△AEF是边长为的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（　　）

A．

B．

C．

D．
2

考点：
勾股定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
分析：
根据正方形的各边相等和等边三角形的三边相等，可以证明△ABE≌△ADF，从而得到等腰直角三角形CEF，求得CF=CE=1．设正方形的边长是x，在直角三角形ADF中，根据勾股定理列方程求解．
解答：
解：∵AB=AD，AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF．
∴BE=DF．
∴CE=CF=1．
设正方形的边长是x．
在直角三角形ADF中，根据勾股定理，得
x2+（x﹣1）2=2，
解，得x=（负值舍去）．
即正方形的边长是．
故选A．

点评：
此题综合运用了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．

11．（2010•鼓楼区二模）小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为（　　）

A．
40
B．
30+2
C．
20
D．
10+10

考点：
等腰直角三角形．菁优网版权所有
分析：
所求正方形的边长即为AB的长，在等腰Rt△ACF、△CDE中，已知了CE、DE、CF的长均为10，根据等腰直角三角形的性质，即可求得AC、CD的长，由AB=AC+CD+BD即可得解．
解答：
解：如图；连接AB，则AB必过C、D；
Rt△ACF中，AC=AF，CF=10；
则AC=AF=5；
同理可得BD=5；
Rt△CDE中，DE=CE=10，则CD=10；
所以AB=AC+CD+BD=20；故选C．

点评：
理清题意，熟练掌握直角三角形的性质是解答此题的关键．

12．（2009•鄞州区模拟）直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（　　）

A．
132
B．
121
C．
120
D．
以上答案都不对

考点：
勾股定理．菁优网版权所有
分析：
假设另外两边后，根据勾股定理适当变形，即可解答．
解答：
解：设另外两边是a、b（a＞b）
则根据勾股定理，得：a2﹣b2=121
∵另外两边的长都是自然数
∴（a+b）（a﹣b）=121=121×1
即另外两边的和是121，
故三角形的周长是132．
故选A．
点评：
注意熟练进行因式分解和因数分解，根据另外两边的长都是自然数分析结论．

13．（2009•宝安区一模）下列命题中，是假命题的是（　　）

A．
有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形

B．
在直角三角形中，斜边上的高等于斜边的一半

C．
在直角三角形中，最大边的平方等于其他两边的平方和

D．
三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等

考点：
勾股定理；角平分线的性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
专题：
计算题；证明题．
分析：
A、根据等腰三角形的性质求解；B、根据直角三角形的面积计算方法求斜边的高；
C、根据勾股定理求解；D、求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可．
解答：
解：A、等腰三角形底角相等，若底角为60°，则顶角为180°﹣60°﹣60°=60°，若顶角为60°，则底角为=60°，所以有一个角为60°的等腰三角形即为等边三角形，故A选项正确；
B、直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，只有在等腰直角三角形中斜边的高与斜边的中线才会重合，故B选项错误；
C、在直角三角形中，最大的边为斜边，根据勾股定理可知斜边长的平方的等于两直角边长平方的和，故C选项正确；
D、过三角形角平分线的交点作各边的垂线，则三角形分成3对小三角形，其中各顶点所在的两个直角三角形全等，即过角平分线作的高线相等，故D选项正确；
即B选项中命题为假命题，
故选 B．
点评：
本题考查了全等三角形的证明，考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了等腰三角形的性质，考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边长一半的性质．

14．（2008•江西模拟）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（　　）

A．
2n﹣2
B．
2n﹣1
C．
2n
D．
2n+1

考点：
等腰直角三角形．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
根据△ABC是边长为1的等腰直角三角形分别求出Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△ADE的面积，找出规律即可．
解答：
解：∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形，
∴S△ABC=×1×1==21﹣2；
AC==，AD==2…，
∴S△ACD=××=1=22﹣2；
S△ADE=×2×2=1=23﹣2…
∴第n个等腰直角三角形的面积是2n﹣2．
故选A．
点评：
此题属规律性题目，解答此题的关键是分别计算出图中所给的直角三角形的面积，找出规律即可．

15．（2007•台湾）以下是甲、乙两人证明+≠的过程：
（甲）因为＞=3，＞=2，所以+＞3+2=5
且=＜=5
所以+＞5＞
故+≠
（乙）作一个直角三角形，两股长分别为、
利用商高（勾股）定理（）2+（）2=15+8
得斜边长为
因为、、为此三角形的三边长
所以+＞
故+≠
对于两人的证法，下列哪一个判断是正确的（　　）

A．
两人都正确
B．
两人都错误
C．
甲正确，乙错误
D．
甲错误，乙正确

考点：
勾股定理；实数大小比较；三角形三边关系．菁优网版权所有
专题：
压轴题；阅读型．
分析：
分别对甲乙两个证明过程进行分析即可得出结论．
解答：
解：甲的证明中说明+的值大于5，并且证明小于5，一个大于5的值与一个小于5的值一定是不能相等的．
乙的证明中利用了勾股定理，根据三角形的两边之和大于第三边．
故选A．
点评：
本题解决的关键是正确理解题目中的证明过程，阅读理解题是中考中经常出现的问题．

16．（2007•宁波二模）如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（　　）

A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个

考点：
勾股定理；等腰三角形的判定．菁优网版权所有
专题：
探究型．
分析：
先根据勾股定理求出AB的长，再根据等腰三角形的性质分别找出以AB为腰和以AB为底边的等腰三角形即可．
解答：
解：∵A、B是4×5网格中的格点，
∴AB==，
同理可得，AC=BD=AC=，
∴所求三角形有：△ABD，△ABC，△ABE．
故选B．

点评：
本题考查的是勾股定理及等腰三角形的性质，先根据勾股定理求出AB的长是解答此题的关键．

17．（2006•郴州）在△ABC中，∠C=90°，AC，BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根，△ABC内一点P到三边的距离都相等．则PC为（　　）

A．
1
B．

C．

D．

考点：
勾股定理；解一元二次方程-因式分解法；三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
根据AC、BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根，根据根与系数的关系求出．
解答：
解：根据“AC，BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根”可以得出：
AC+BC=7，AC•BC=12，
AB2=AC2+BC2=25，
AB=5，
△ABC内一点P到三边的距离都相等，即P为△ABC内切圆的圆心，
设圆心的半径为r，根据三角形面积表达式：
三角形周长×内切圆的半径÷2=三角形的面积，
可得出，AC•BC÷2=（AC+BC+AB）×r÷2，
12÷2=（7+5）×r÷2，
r=1，
根据勾股定理PC==，
故选B．
点评：
本题中考查了勾股定理和一元二次方程根与系数的关系．本题中三角形内心与三角形周长和面积的关系式是本题中的一个重点．

18．（2002•南宁）如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（　　）

A．
Sl+S2＞S3
B．
Sl+S2＜S3
C．
S1+S2=S3
D．
S12+S22=S32

考点：
勾股定理．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
依据半圆的面积公式，以及勾股定理即可解决．
解答：
解：设直角三角形三边分别为a，b，c，则三个半圆的半径分别为，，
由勾股定理得a2+b2=c2，即（）2+（）2=（）2
两边同时乘以π得π（）2+π（）2=π（）2
即S1、S2、S3之间的关系是S1+S2=S3
故选C．
点评：
根据勾股定理，然后变形，得出三个半圆之间的关系．

19．（2001•广州）已知点A和点B（如图），以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出（　　）

A．
2个
B．
4个
C．
6个
D．
8个

考点：
等腰直角三角形．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
利用等腰直角三角形的性质来作图，要注意分不同的直角顶点来讨论．
解答：
解：此题应分三种情况：
①以AB为腰，点A为直角顶点；
可作△ABC1、△ABC2，两个等腰直角三角形；
②以AB为腰，点B为直角顶点；
可作△BAC3、△BAC4，两个等腰直角三角形；
③以AB为底，点C为直角顶点；
可作△ABC5、△ABC6，两个等腰直角三角形；
综上可知，可作6个等腰直角三角形，故选C．

点评：
等腰直角三角形两腰相等，顶角为直角，据此可以构造出等腰直角三角形．关键是以AB为腰和以AB为底来讨论．

20．设直角三角形的三边长分别为a、b、c，若c﹣b=b﹣a＞0，则=（　　）

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

考点：
勾股定理．菁优网版权所有
分析：
根据已知条件判断c是斜边，并且得到c+a=2b，然后根据勾股定理得到c2﹣a2=b2，然后因式分解可以求出c﹣a，代入要求的式子可以求出结果了．
解答：
解：∵c﹣b=b﹣a＞0
∴c＞b＞a，c+a=2b
根据勾股定理得，c2﹣a2=b2，（c+a）（c﹣a）=b2，
∴c﹣a=b
∴=4
故选C．
点评：
此题主要利用了勾股定理和因式分解解题，题目式子的值不能直接求出，把它的分子分母分别用b表示才能求出．

21．（1999•温州）已知△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，DC=2，那么BD等于（　　）

A．
4
B．
6
C．
8
D．

考点：
勾股定理．菁优网版权所有
分析：
由CD的长，可求得AD的值，进而可在Rt△ABD中，由勾股定理求得BD的长．
解答：
解：如图；
△ABC中，AB=AC=10，DC=2；
∴AD=AC﹣DC=8；
Rt△ABD中，AB=10，AD=8；
由勾股定理，得：BD==6；
故选B．

点评：
此题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理的应用．

22．如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
勾股定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
作AE⊥BC，DF⊥BC，构建直角△AEB和直角△DFC，根据勾股定理计算BE，CF，DF，计算EF的值，并根据EF求AD．
解答：
解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得
BE=AE=，CF=，DF=2，
于是EF=4+．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD=====．
故选 D．

点评：
本题考查了勾股定理的正确运用，本题中构建直角△ABE和直角△CDF是解题的关键．

23．在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB=12，则△ABC的面积等于（　　）

A．
16
B．
18
C．
12
D．
12

考点：
勾股定理；三角形的面积．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
作∠ABD=∠A=15°，则∠BDC=30°；设BC=x，则BD=2x，CD=x，计算AC=AD+CD=（2+）x，BC=x，AB=12，根据勾股定理计算AC，BC的长度，△ABC的面积为根据•BC•AC计算可得．
解答：
解：如图，作∠ABD=∠A=15°
BD交AC于D，则∠DBC=75°﹣15°=60°
在Rt△BCD中，因为∠BDC=90°﹣∠DBC=30°
所以BD=2BC，CD=BC
设BC=x，
所以BD=2x，CD=x
因为∠A=∠ABD，所以AD=BD=2x
所以AC=AD+DC=（2+）x
在Rt△ABC中AC2+BC2=AB2∴
∴，

故选 B．

点评：
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中设BC=x，根据直角△ABC求x的值，是解题的关键．

24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，AC=BE=15，BC=20．则四边形ACED的面积为（　　）

A．
54
B．
75
C．
90
D．
96

考点：
勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
先利用勾股定理求出AB的长，再根据相似三角形对应边成比例求出DE、BD的长，然后代入面积公式即可求解．
解答：
解：∵∠BDE=∠C=90°，∠B=∠B
∴△BDE∽△BCA
∴BE：BA=BD：BC
∵AC=BE=15，BC=20
∴AB==25
∴15：25=BD：20
∴BD=12
∴DE=9
∴S△BDE=×12×9=54；S△ABC=×15×20=150
∴四边形ACED的面积=S△ABC﹣S△BDE=150﹣54=96
故选D．
点评：
此题主要考查了学生对相似三角形的性质及勾股定理的运用．

25．如图，在△ABC中，分别以AB、BC为直径的⊙O1、⊙O2交于AC上一点D，且⊙O1经过点O2，AB、DO2的延长线交于点E，且BE=BD．则下列结论不正确的是（　　）

A．
AB=AC
B．
∠BO2E=2∠E
C．
AB=BE
D．
EO2=BE

考点：
勾股定理；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质