圆锥曲线题型归纳[经典含答案解析].doc

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椭圆题型总结
一、 椭圆的定义和方程问题
(一) 定义:
1. 命题甲:动点到两点的距离之和命题乙: 的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2. 已知、是两个定点，且,若动点满足则动点的轨迹是（ D ）
A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段
3. 已知、是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得,那么动点的轨迹是( B )
A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点
4. 椭圆上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中心，则的值是 4 。
5. 选做：F1是椭圆的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1），求的最小值。
解：

(二) 标准方程求参数范围
1. 试讨论k的取值范围，使方程表示圆，椭圆，双曲线。（略）

2. ( C )
A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，所在的象限是（ A ）
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 方程所表示的曲线是 椭圆的右半部分 .

5. 已知方程表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是 k>1
(三) 待定系数法求椭圆的标准方程
1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点到两焦点的距离之和为26；

（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；

（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,求椭圆方程.

2. 简单几何性质
1． 求下列椭圆的标准方程（1）； （2）过（3，0）点，离心率为。

（3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是。

（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为

（5）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。

3．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若，则椭圆的离心率为_____________________
（四）椭圆系————共焦点，相同离心率
1． 椭圆与的关系为（ A ）
A．相同的焦点 B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴 D。有相等的焦距
2、求与椭圆有相同焦点，且经过点的椭圆标准方程。

（五）焦点三角形4a
1. 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点。若，则 8 。
2. 已知、为椭圆的两个焦点，过且斜率不为0的直线交椭圆于、两点，则的周长是 20 。
3. 已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长为 。
（六）焦点三角形的面积：
1. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，，求点到轴的距离。
解：设则解得，所以求点到轴的距离为
2. 设是椭圆上的一点，、为焦点，，求的面积。
解：
当，S=

3. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，若，则的面积为 。
4. 已知AB为经过椭圆的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积的最大值为 cb 。
（七）焦点三角形
1. 设椭圆的两焦点分别为和，为椭圆上一点，求的最大值，并求此时点的坐标。
2. 椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 2 ； 120O 。
3. 椭圆的焦点为、，为其上一动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围为 。
（八）与椭圆相关的轨迹方程
定义法：
1. 点M(x,y)满足，求点M的轨迹方程。
（）
2. 已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程.

3. 已知圆,圆，动圆与外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程.
解：由题
所以点的轨迹是：以，为焦点的距离之和为12的椭圆。，方程为
4. 已知，是圆（为圆心）上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为
5. 已知A(0,-1),B(0,1),△ABC的周长为6，则△ABC 的顶点C的轨迹方程是 。
直接法
6. 若的两个顶点坐标分别是和，另两边、的斜率的乘积是，顶点的轨迹方程为 。
相关点法
7. 已知圆，从这个圆上任意一点向轴引垂线段，垂足为，点在上，并且，求点M的轨迹。

8. 已知圆，从这个圆上任意一点P向X轴引垂线段PP’，则线段PP’的中点M的轨迹方程是 。

二、 直线和椭圆的位置关系
(一)判断位置关系
1． 当为何值时,直线和椭圆 (1)相交；(2)相切；(3)相离。
解：由消去y得，判别式：
所以，当时直线与椭圆相交；当时直线与椭圆相切；当时直线与椭圆相离。
2． 若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围为 。
(二)弦长问题
1. 设椭圆的左右两个焦点分别为、，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线交椭圆C于另一点N，求的面积。
解：由（1）点B（0，），，直线BF2的方程为：
消去y得：，解得
所以点N的坐标为（，）
所以
(三)点差法
定理 在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.
1. 已知一直线与椭圆 相交于、两点,弦的中点坐标为，求直线AB的方程.
解：设交点，则有，
（2）-（1）得
即，又直线AB过点（1，1）
所以直线AB的方程为：
2. 直线l经过点A(1，2)，交椭圆于两点P1、P2，
（1）若A是线段P1P2的中点，求l的方程；（2）求P1P2的中点的轨迹．
解：（1）设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，
则
…………*
∵A(1，2)是线段P1P2的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=4，
∴，即。
∴l的方程为，即2x+9y-20=0．
（2）设P1P2的中点M(x，y)，则x1+x2=2x，y1+y2=2y，
代入*式，得，又直线l经过点A(1，2)，∴，
整理，得4x(x-1)+9y(y-2)=0，∴P1P2的中点的轨迹：。

(四) 定值、定点问题
1、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点 ， 求证：为定值.[
证明：设交点
由消去y得
则有

所以为定值

19. 已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为．
(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则
解得 ∴ 椭圆C的标准方程为 ．……… 4分
（Ⅱ）由方程组 消去，得 ………… 6分
由题意△，整理得： ① …………7分
设，则， ……… 8分
由已知，， 且椭圆的右顶点为，∴　………… 10分
即，也即 ，
整理得．解得 或 ，均满足①…………… 11分
当时，直线的方程为 ，过定点，不符合题意舍去；
当时，直线的方程为 ，过定点，
故直线过定点，且定点的坐标为． ……………………… 13分

20. 在直角坐标系中，点到F1、F2的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线：与轨迹交于不同的两点和．
(1) 求轨迹的方程；(2) 当时，求与的关系，并证明直线过定点．
解：（1）∵点到，的距离之和是4，
∴M的轨迹是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，其方程为 …………………3分
（2）将，代入曲线的方程，整理得…………………5分
因为直线与曲线交于不同的两点和，
所以． ①
设，则， ．　　 ②………7分
且 ． ③
显然，曲线与轴的负半轴交于点，
所以，，由，得．
将②、③代入上式，整理得，………………………10分
所以，即或．经检验，都符合条件①．
当时，直线的方程为．
显然，此时直线经过定点点．即直线经过点，与题意不符．
当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点，且不过点．
综上，与的关系是：，且直线经过定点点．…………13分

三、最值问题
5. 已知P为椭圆上任意一点，M（m，0）（m∈R），求PM的最小值。
目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。
提示：设P(x,y)，用距离公式表示出PM，利用二次函数思想求最小值。
解：设P(x,y)，PM===
=，x∈[-2,2]，结合相应的二次函数图像可得
（1）<-2，即m<时，(PM)min=|m+2|；
（2）-2≤≤2,即≤m≤时，(PM)min=；
（3）>2，即m>时，(PM)min=|m-2|.
说明：（1）类似的，亦可求出最大值；（2）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b，最远的点是长轴端点，最大值为a；（3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为a-c，最远的点是长轴右端点，最大值为a+c；

6. 在椭圆求一点P，是它到直线l：x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。
目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题的一般处理方法。
提示：（1）可等价转化为与直线l平行的椭圆的切线与直线l之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程。
解法一：设直线m：x+2y+m=0与椭圆相切，则，消去x，得8y2+4my+m2-4=0,
Δ=0,解得m=.
当m=时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最近，最近为=，此时点P的坐标是(,)；
当m=-时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最远，最远为=，此时点P的坐标是(,)。
解法二：设椭圆上任意一点P(2cosθ,sinθ),θ∈[0,2)
则P到直线l的距离为=
∴当θ=时，P到直线l的距离最大，最大为此时点P的坐标是(,)；
当θ=时，P到直线l的距离最小，最小为，此时点P的坐标是(,)。
说明：在上述解法一中体现了“数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多变，利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。

7. 设AB是过椭圆中心的弦，F1是椭圆的上焦点，
（1）若△ABF1面积为4，求直线AB的方程；（2）求△ABF1面积的最大值。
解：（1）设AB：y=kx，代入椭圆，得x2==，∴x1=-x2=，
又，S△ABF1=|OF1|·|x1-x2|=2|x1-x2|=4，∴|x1-x2|=2，
∴=5，∴k=，∴直线AB的方程为y=x。
（2）S△ABF1=|OF1|·|x1-x2|=4·，∴当k=0时，(S△ABF1)Max=12。▋

9. 设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点，与椭圆相交于、两点．
（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值．
（1）解：依题设得椭圆的方程为，
直线的方程分别为，． 如图，设，其中，且满足方程，故．①
由知，得；
由在上知，得．所以，
化简得，解得或．
（2）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．
又，所以四边形的面积为
，
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为
解法二：由题设，，．
设，，由①得，，故四边形的面积为
，
当时，上式取等号．所以的最大值为．

四、垂直关系
10.（上海春季）已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、。
(1) 若为等边三角形，求椭圆的方程；
(2) 若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程。
解：（1）设椭圆的方程为（）。
根据题意知，解得，，故椭圆的方程为。
（2）容易求得椭圆的方程为。
当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为。
由，得。
设，，则，，，，
因为，所以，即

，
解得，即。
故直线的方程为或。

11. 如图，设椭圆的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M、N两点，问是否存在直线l使得F为的垂心。若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。
解：由已知可得，B(0，1)，F(1，0)，∴kBF=-1。
∵BF⊥l，∴可设直线l的方程为y=x+m，
代入椭圆方程整理，得。
设，，
则，。
∵BN⊥MF，∴，即。
∵，，∴。
即，
∵，∴，∴或。
由，得
又时，直线l过B点，不合要求，∴，
故存在直线l：满足题设条件。

双曲线题型总结
一. 定义的应用
1．动点与点与点满足，则点的轨迹方程为______________
2．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（　）
A． B． C．或 D．
3.已知平面上两定点及动点M，命题甲：（为常数），命题乙：“点M轨迹是以为焦点的双曲线”，则命题甲是命题乙的 （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
4双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离等于 .
5．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为　　　　　．
6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为__________________
7.已知双曲线的两个焦点为，是双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是 （ ）

8. 已知为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且；则
9．双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到 轴的距离为
10.双曲线16x2-9y2=144上一点P(x0,y0)(x0＜0)到左焦点距离为4，则x0= .
11．若椭圆和双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，则的值为　　　　　．
12．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（　）
A．抛物线[来源:学.科.网]B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆
13．是双曲线左支上的一点，为其左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为　　　　
二. 双曲线的几何性质
1．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．双曲线的一个焦点是，则m的值是_________。
3．如果双曲线的渐近线方程为，则离心率为____________
4．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 （ ）

5．双曲线的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ）

6．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为 ( )

7．是双曲线上一点，则到两条渐近线的距离的积为
8．双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为　　　　　．
9．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为
10．已知双曲线的离心率为，则的范围为____________________
11．若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其离心率为　　　　　．[来源:学科
12.方程表示双曲线，则的取值范围 （ ）

13.椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数的值是 （ ）
25 9
14．曲线与曲线的 （ ）
焦距相等 离心率相等 焦点相同 准线相同
15．已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为_____
16.已知方程，则此曲线是 （ ）
焦点在轴上的双曲线 焦点在轴上的双曲线 焦点在轴上的椭圆 焦点在轴上的椭圆
三. 求双曲线方程
1.已知圆与圆，圆与圆，圆均外切；则圆的圆心的轨迹方程是
2．若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为　　　　．
3．与曲线共焦点，而与共渐近线的双曲线方程为( )

4．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是___________.
5.已知双曲线通过两点，求双曲线的标准方程.
6.（1）设是双曲线上的动点，为坐标原点，为线段中点，求点的轨迹方程.
四. 直线与双曲线
1．直线与的右支交于两点；求实数的取值范围。
2．过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为____________

_
一.定义的应用
1. 2．D 3. 4． 5.7 6. 7． 8． 9．
10. 11. 12．C 13.
二双曲线的几何性质
1．A 2．-2[来源:学科网ZXXK]3. 或 4． 5． 6． 7． 8. 9． 10. 11.
12． 13． 14． 15. 16.
三.求双曲线方程
1． 2. 3． 4．
5．设双曲线方程为
由题意得 双曲线的标准方程为
6．解：设及 则 （1）
为线段中点 代入（1）得 ， 点的轨迹方程为
四.直线与双曲线
1．解两不同根为

2.
3．B 利用数形结合，结合渐近线可求得.
4．解:（1）由已知得,所以,所以双曲线方程为,
所以双曲线的渐近线方程分别 ,
（2）由（1）知,,因为,所以, 设,,中点
则,,,
消去并整理得:点M的轨迹方程为,所以点轨迹是焦点在轴上的椭圆.

抛物线
一.抛物线的定义
1．若 是定直线 外的一定点，则过 与 相切圆的圆心轨迹是（　）
　　A．圆       B．椭圆     C．双曲线一支       D．抛物线
1．若点 到点 的距离比它到直线 的距离小1，则 点的轨迹方程是（　）
　　A．        B． C．         D．
3若点到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点的轨迹方程为 （ ）
A.x2=12y B.y2=12x C.x2=4y D. x2=6y
4．已知点 ， 是抛物线 的焦点，点 在抛物线上移动时， 取得最小值时 点的坐标为（　）．
　A．（0，0）　　B． 　　C．　　D．（2，2）
5．已知点（－2，3）与抛物线 （ ）的焦点的距离是5，则 =_________．
6．在抛物线 上有一点 ，它到焦点的距离是20，则 点的坐标是_________．
7．已知抛物线 （ ）上一点 到焦点 的距离等于 ，则 =_______， =________．
8．抛物线 的焦点弦的端点为 ， ，且 ，则 =_______．
9．过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （ ）
A．8 B．10 C．6 D．4
10.在抛物线 上有一点 ，它到焦点的距离是20，则 点的坐标是_________．
11. (1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________
(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。
分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。
（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。
解：（1）（2，）
连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）
（2）（）
过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴Q()
点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

9.
二.抛物线的几何性质
2．焦点在直线 的抛物线的标准方程是________________．
3．抛物线 的焦点坐标是（　）
　　A．        B． C．      D．
4．抛物线 的焦点到准线的距离是（　）
　　A．2.5      B．5        C．7.5      D．10
5．抛物线 的焦点位于（　）
　　A． 轴的负半轴上       B． 轴的正半轴上 C． 轴的负半轴上       D． 轴的正半轴上
6．抛物线 （ ）的焦点坐标为（　）
　　A．        B． C．       D． 时为 ， 时为
7．抛物线 的焦点坐标是（　）．
　　A．　　B．　　C．　　D．
三.求抛物线方程
1．已知原点为顶点， 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线 上，则此抛物线的方程是（　）
　　A．　　B．　　C．　　D．
2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ）
A． y 2=-2x B． y 2=-4x C． y 2=2x D． y 2=-4x或y 2=-36x
3．与椭圆 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（　）
　　A．　　B．　　C．　　D．
4．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

　5．求顶点在原点，以 轴为对称轴，其上各点与直线 的最短距离为1的抛物线方程．

6．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A． y 2=－2x B． y 2=－4x C．y 2=－8x D．y 2=－16x
7．已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
8．动直线y =a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程．

9．已知点 和抛物线 上的动点 ，点 分线段 为 ，求点 的轨迹方程．

　 四.直线与抛物线的关系
1．过（0，1）作直线，使它与抛物线 仅有一个公共点，这样的直线有（　）条
　　A．1        B．2        C．3        D．4
2．设抛物线 （ ）与直线 （ ）有两个公共点，其横坐标分别是 、 ，而 是直线与 轴交点的横坐标，则 、 、 关系是（　）
　A．　　B． C．　　D．
3．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）
A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）
4．过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 （ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
5．过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于 （ ）
A．2a B． C．4a D．
6．在抛物线 内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是________．
7过抛物线y2=x的焦点F的直线l的倾斜角θ≥,直线l交抛物线于A,B两点，且点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是（ ）
A（,1+] B. （,1] C .[ ,+∞) D.[,+∞)
8.抛物线y2=4x的焦点为F，A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2,y1>0,y2<0)在抛物线上，且存在实数λ，使+λ=，||=．求直线AB的方程；

解答题
1．如图，、是抛物线上的两个点, 过点、引抛物线的两条弦.（1）求实数的值；（2）若直线与的斜率是互为相反数, 且两点在直线的两侧.①直线的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是, 说明理由；②求四边形面积的取值范围.

3． 已知抛物线，直线与交于两点，且，其中为坐标原点．（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为，记直线的斜率分别为，证明为定值．

6．如图，已知抛物线：，过焦点斜率大于零的直线交抛物线于、两点，且与其准线交于点．（Ⅰ）若线段的长为，求直线的方程；
（Ⅱ）在上是否存在点，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列，若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由.

7．已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且到原点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切.

8．已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线于点、和点、，线段、的中点分别为、.
（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；（Ⅱ）求面积的最小值；
（Ⅲ）过、的直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.

10．在直角坐标系中，曲线与直线交于两点．（1）当时，分别求在点处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．

一.抛物线的定义
　1．D　　2．C　3 .A 4．D 5．4； 6．（18，12）或（18，－12）；7． ，；
8．4　　9． A 10．（18，12）或（18，－12）；
二.抛物线的几何性质
1．D 2． 或　 3．B 4．B　 5．C　 6．C　7．B　
三.求抛物线方程
1．D　2． B 3．B　
4． [解析]：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得
，解之得或， 故所求的抛物线方程为，
5．依题设可设抛物线方程为 （ ）
　 此抛物线上各点与直线 的最短距离为1，此抛物线在直线 下方而且距离为1的直线 相切．
　由 有 ，  
所求抛物线方程为：
6． C
7.[解析]：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为．
8． [解析]：设M的坐标为（x，y），A（，），又B得
消去，得轨迹方程为，即

9．设 ， ， ，　 ，
　即 ， ，而点 在抛物线 上，
　 ，即所求点 的轨迹方程为

四.直线与抛物线的关系
1．C　 2．C 3． A 4． C 5． C 6．；7. A
8解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1 ，∵+λ=，∴A，B，F三点共线．
由抛物线的定义，得||= x1+x2+2． ·
设直线AB：y=k(x-1)，而k=,x1>x2,y1>0,y2<0,∴k>0
由得k2x2-2(k2+2)x+k2=0，∴，||=x1+x2+2=+2=|
∴k2=·从而k=，故直线AB的方程为y=(x-1)，即4x-3y-4=0·

1．(1) ；(2)①是，；②.
【解析】试题解析：
（1）把点代入拋物线方程得.
（2）①设点,直线,则直线,
联立方程组,消去得：,

联立方程组,消去得：,
,
得.故.
②设直线,联立方程组,消去得：,
,两点分别在直线的两侧,,
故,,,
设分别为点到直线的距离,,
,
四边形面积的取值范围是.
.
3．（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）解：设，，联立方程组，消元得，所以，．………………2分
又，………………4分
所以，从而．………………5分
（2）因为，，
所以，．………………6分
因此
………………8分
．
又，，………………9分
所以．………………11分
即为定值．………………12分
6．（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点或，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列．
【解析】
试题解析：（Ⅰ）焦点∵直线的斜率不为，所以设，
， 由得，，，
，，
∴， ∴． ∴直线的斜率，
∵，∴， ∴直线的方程为．
（Ⅱ）设，， 同理，，∵直线，，的斜率始终成等差数列，
∴恒成立，
即恒成立．∴， 把，代入上式，得恒成立，．∴存在点或，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列．
7．（