2009年广东高考（理科）数学试题及答案.pdf

1 绝密启用前 试卷类型：B 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）数学（理科）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高 13VshSh一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 巳知全集，集合和的关系的韦恩（enn）图如图 1UR212Mxx 21,1,2,Nx xkk所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A个 个 个 无穷个 设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数z()a z1nz n单位，i()a i 若函数是函数的反函数，其图像经过点，则()yf x(0,1)xyaaa且(,)a a()f x 2log x12log x12x2x3。巳知等比数列满足，且，则当时，na0,1,2,nan25252(3)nnaan1n 2123221logloglognaaa (21)nn2(1)n2n2(1)n4 5给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是 和 和 .和 和 6一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知成角，且的大123,F F F12,F F06012,F F小分别为和，则的大小为 3F 2 52 7 72010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 36 种 12 种 18 种 48 种 8已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为（如图 2 所示）那么对于图vv乙甲和中给定的，下01tt和列判断中一定正确的是 A在时刻，甲车在乙车前面 1tB时刻后，甲车在乙车后面 1tC在时刻，两车的位置相同 0tD时刻后，乙车在甲车前面 0t 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（题）随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图 3 所示的程序框图输出的 ，表示的样本的n12,na aas 数字特征是 （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”“：=”）若平面向量满足，平行于轴，,a b1ababx，(2,1)b 则 a 11巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为Gx，且上32G一点到的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆的方程为 GG_ 12已知离散型随机变量的分布列如右表若，X0EX，则1DX ，a b （二）选做题（13 15 题，考生只能从中选做两题）13（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线（为参11 2,:()2.xtltykt 为参数2,:1 2.xslys s数）垂直，则 k 14（不等式选讲选做题）不等式的实数解为 112xx 15(几何证明选讲选做题）如图 4，点是圆上的点，且,A B CO，则圆的面积等于 04,45ABACBO F1F2F3OABCD 2 三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分 8080 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16(本小题满分1212分）已知向量互相垂直，其中(sin,2)(1,cos)ab与(0,)2（1）求的值；sincos和（2）若，求的值 10sin(),0102cos 17（本小题满分12分）根据空气质量指数 API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图5 0,50,(50,100,(100,150,(150,200,(200,250,(250,300（1）求直方图中的值；x（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2 2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示已知,1282,78125577,9125123912581825318257365218253）573365 18（本小题满分分）如图，已知正方体的棱长为，1111ABCDABC D点是正方形的中心，点、分别是棱的中11BCC B111,C D AA点设点分别是点、在平面内的正投影 11,E G11DCC D（）求以为顶点，以四边形在平面内 FGAE11DCC D的正投影为底面边界的棱锥的体积；（）证明：直线；11FGFEE 平面（）求异面直线所成角的正弦值 11EGEA与 19（本小题满分分）已知曲线与直线交于两点和2:C yx:20l xy(,)AAA xy(,)BBB xy，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点是ABxxCABLABD(,)P s tL上的任一点，且点与点和点均不重合 PAB（）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；QABPQM（）若曲线与有公共点，试求的最小值 22251:24025G xaxyyaDa 20（本小题满分分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值()yg x2yx()yg x1x 1(0)mm设()()g xf xx（）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；()yf xP(0,2)Q2m（）如何取值时，函数存在零点，并求出零点()k kR()yf xkx 21（本小题满分分）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为22:20(1,2,)nCxnxyn(1,0)P nC(0)nnk k nl(,)nnnP xy（）求数列的通项公式；nnxy与（）证明：1352112sin1nnnnnxxxxxxxy 答答 案案 1.解：，所以 31|xxM,5,3,1N3,1NM 故，选 B 2.解：因为，所以满足的最小正整数的值是 4。故，选 C 12iii314i1nin 3.解：由函数是函数的反函数，可知，()yf x(0,1)xyaaa且xxfalog)(又其图像经过点，即，所以 a=,。故答 B(,)a aaaalog21xxf21log)(。解：在中，令 n=5,得，令 n=3,得，25252(3)nnaan251025)2(2a6152aa 又，所以，从而解得，公比，0,1,2,nan552a21a2qnna2，12122nna12log122nan所以1+3+（2n-1）=2123221logloglognaaa22)121(nnn5.解：显然 和是假命题，故否定 A,B,C,答 D.6.解：依题意，可知，所以，0321FFF)(213FFF =28.oFFFFFFFFF60cos2)(21222122122123214224222所以，力的大小为，答 D。3F72283F7。解：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有种，122322 AA若小张和小赵两人只有一人都被选中，则不同的选派方案有种，24331212 ACC故，总的不同的选派方案共有 12+24=36 种。答 A。8.解：因为速度函数是路程函数的导函数，即，所以，)(tv)(ts)()(tvtsdttvtst0)()(根据定积分的定义，比较图中速度曲线分别与 x 轴及直线，vv乙甲和0tt 1tt 围成的图形的面积，即可看出，应选 A。9.解：记时求得的 S 值为,记初始值为,ki kS00S 则,1101101aaSS22121212aaaSS,332321323aaaaSS naaanaSnSnnnn211)1(故,答案为(1)；(2)这 n 件产品的平均长度。naaan2110。解：设，则，依题意，得),(yxa)1,2(yxba ，解得或，所以或。011)1()2(22yyx11yx13yx)1,1(a)1,3(a 答：或。)1,1()1,3(11.解：设椭圆 G 的方程为，焦半径为 c,)0(12222babyax 依题意，得 2a=12，且，解得 a=6，c=,所以 23ac3392736222cab所以，椭圆 G 的方程为。193622yx12。解：依题意，得，解得 11212001212011212cacacba4141125cba 答：；1254113解：直线化为普通方程是，11 2,:()2.xtltykt 为参数)1(22xky该直线的斜率为，2k 直线（为参数）化为普通方程是，2,:1 2.xslys s12 xy该直线的斜率为，2则由两直线垂直的充要条件，得，。122 k1k14。解：112xx0221xxx2)2()1(22xxx2032xx 解得且。所以原不等式的解集为x|且 23x2x23x2x15解法一：连结 OA，OB，则AOB=2ACB=90O，所以AOB 为等腰直角三角形，又，4AB 所以，圆 O 的半径 R=，圆的面积等于 22O8)22(22R 解法二：设圆 O 的半径为 R，在ABC 中，由正弦定理，得，解得 R=，Ro245sin422所以，圆的面积等于 O8)22(22R16解：（1）向量与互相垂直，sin2a1 cosb，即，0cos2sinbacos2sin又 1cossin22 代入，整理，得，51cos2由，可知，2,00cos，代入得 55cos552sin故 ，。55cos552sin（2），cos53)cos(5 cos53)sinsincos(cos5 将（1）的结果代入其中，得 cos53sin552cos555 4 整理，得，又 cossin1cossin22代入，整理，得 21cos2由，可知，200cos所以，解得。22cos17.解：（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于 1，依题意，得 150912581825318257365218253 x又 9125123912581825318257365218253 所以。182501199125123501x（2）一年中空气质量为良和的天数为 （天）；1195018250119365一年中空气质量为轻微污染的天数为 （天）；100503652365（3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天）所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是，53365219p 设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为，则B（7，）53 ，（k=0,1,2,7）kkkCkP7753153)(设“该城市某一周至少有2 2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A，则=)1()0(1)(PPAP1700753153C611753153C =.67525375217812576653781251344128152212176718.(1)解：点 D,分别是点 A,在平面内的正投影 11,E G11DCC D四边形在平面内的正投影为四边形 FGAE11DCC D11DEFG 22)1121(12212211DEFGS 又平面，且 1EE11DCC D11EE 所以，所求锥体的体积为=11DEFGEV32123131111EESDEFG（）证明：平面，平面，1EE11DCC D1FG11DCC D 1EE1FG在正方形中，分别是11DCC D11,GFE的DDDCCC1111,中点，1111111GDFDFCCE 0111145FDGFCE OFGE9011 FE11FG 又=1EEFE11E；11FGFEE 平面（）设的中点为 H，连结 EH，1GG11GE 则 EHCD，且 EH=CD=2，11GE11GE AEH 就是异面直线所成角 11EGEA与又 CD平面，11DDAAEH平面 11DDAA 在 RTAEH 中，EH=2，AH=，所以 EA=26所以，异面直线所成角的正弦值为。11EGEA与3362sinEAAHAEH解法 2：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结EG11DCC D1E1G1E1G1CC1DD1EE、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 1EGED1DE11FGDEE 11FGDE，111111EDGRtFGERtFGDESSS221212221又面，.1EE11FGDE11EE323111111EESVFGDEFGDEE（2）以为坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又DDADC1DDxyz)1,2,0(1E)1,0,0(1G，则，)1,0,2(G)2,1,0(F)1,2,1(E)1,1,0(1FG)1,1,1(FE)1,1,0(1FE，即，01)1(01FEFG01)1(011FEFGFEFG 111FEFG 又，平面.FFEFE11FG1FEE（3），则，设异面直线所成角为)0,2,0(11GE)1,2,1(EA62,cos111111EAGEEAGEEAGE11EGEA与，则.33321sin19.解：（1）解曲线 C 与直线 的联立方程组,得,l022yxxy1111yx4222yx 又，所以点 A，B 的坐标分别为 ABxx)4,2(),1,1(BA 点是线段的中点 QAB点的坐标为 Q25,21Q点是上的任一点，且点与点和点均不重合(,)P s tLPAB，即，且 2st),(2ssP21s设线段的中点为(x,y),PQM则点 M 的轨迹的参数方程为（s 为参数，且）；2252212sysx21s消去 s 整理，得，且 454122xy4541x所以，线段的中点的轨迹方程是，；PQM454122xy4541x 5（）曲线可化为，22251:24025G xaxyya222572yax它是以 G(a,2)为圆心，以为半径的圆，57设直线与 y 轴相交于点 E，则 E 点的坐标为 E(0,2)；:20l xy自点 A 做直线的垂线，交直线 y=2 于点 F，:20l xy在 RTEAF 中，AEF=，所以0452AE，2AF，257 当且圆 G 与直线 相切时，圆心 G 必定在线段 FE 上，0al且切点必定在线段 AE 上，于是，此时的 a 的值就是所求的最小值。当圆 G 与直线相切时，:20l xy571122a 解得，或者（舍去）527a527a所以，使曲线 G 与平面区域 D 有公共点的 a 的最小值是 527（备注：讨论圆讨论圆 G 与直线与直线 切点的位置的必要性切点的位置的必要性。若圆 G 的半径大于|AF|,则圆 G 与直线 的切点将落在线段 EAll的延长线上，此时，圆 G 与平面区域 D 没有公共点，这时令圆 G 过点 A，求出的 a 的两个值，其中的那个较小的数，才是所求。）20.解：设二次函数的解析式为()yg x)0()(2acbxaxxg 则它的导函数为，)0(2)(abaxxg 函数的图像与直线平行，)0(2)(abaxxgxy2 2a=2，解得 a=1,所以，cbxxxg2)(bxxg2)(在处取得极小值()yg x1x 1(0)mm，即，解得。1)1(0)1(mgg1102mcbbmcb2所以，=（）mxxxg2)(2()()g xf xx2xmx0 x（1）设点点 P（，）为曲线上的任意一点 2,xmxx0 x0m()yf x则点 P 到点的距离为(0,2)QmxmxxmxxPQ2222222由基本不等式定理可知，mmmxmx22222222当且仅当时，等号“=”成立，此时=222mx minPQmm222又已知点 P 到点的距离的最小值为，所以令(0,2)Q22222 mm两边平方整理，得 12 mm当时，解得 0m12 mm12 m当时，解得 0m12mm12 m所以，的值为或者；m12 12 （2）函数令=（）kxxfxh)()(2)1(2xmxkkxxmx0 x令，即（），0)(xh02)1(xmxk0 x整理，得（），02)1(2mxxk0 x函数存在零点，等价于方程有非零实数根，kxxfxh)()(由可知，方程不可能有零根，0m当 k=1 时，方程变为，解得，方程有唯一实数根，02 mx02mx 此时，函数存在唯一的零点；kxxfxh)()(2mx 当 k1 时，方程根的判别式为，)1(44km0m 令=0，解得，)1(44kmmk11方程有两个相等的实数根，mxx21 此时，函数存在唯一的零点；kxxfxh)()(mx令0，得 m(1-k)0 时，解得，mk11当 m0 且，或者 m0 且时，函数存在两个零点 mk11mk11kxxfxh)()(，。kkmx1)1(111kkmx1)1(11221.（1）解：曲线可化为，22:20(1,2,)nCxnxyn222)(nynx 所以，它表示以为圆心，以 n 为半径的圆，)0,(nCn 切线的方程为，nl)1(xkyn 6 联立，消去 y 整理，得，02)1(22ynxxxkyn0)22()1(2222nnnkxnkxk ，222222)12(44)1(4)22(nnnnknnkknk0nk 令，解得，01222nnkn12 nnkn 此时，方程化为 012)2122()121(2222nnxnnnxnn 整理，得，解得，0)1(2nxn1nnxx 所以 121)11(12nnnnnnnyn数列的通项公式为 nx1nnxx数列的通项公式为。ny121nnnyn（）证明：，121111111nnnnnxxnn 121214)12(4)12(2122222nnnnnnnn 121275533121265432112531nnnnxxxxn =121nnnxx11 =，又 121nyxnnnnxx114311210n 令，则，xyxnn40 x要证明，只需证明当时，恒成立即可。nnnnyxyxsin240 xxxsin2 设函数，xxxfsin2)(40 x 则，xxfcos21)(40 x 在区间上为增函数，4,0 xxfcos21)(当时，40 x04cos21cos21)(xxf 在区间上为单调递减函数，xxxfsin2)(4,0 对于一切很成立，xxxfsin2)(0)0(f40 x，即=xxsin2nnxx11nnnnyxyxsin2综上，得 1352112sin1nnnnnxxxxxxxy