2017年广东高考（理科）数学试题及答案.pdf

绝密启用前绝密启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=x|x1000 的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，可以分别填入 AA1 000 和 n=n+1 BA1 000 和 n=n+2 CA1 000 和 n=n+1 DA1 000 和 n=n+2 9已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是 23A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲6线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到12曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲126线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到1212曲线 C2 10已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A、B 两点，直线l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A16 B14 C12 D10 11设 xyz 为正数，且，则 235xyzA2x3y5z B5z2x3y C3y5z2x D3y2x100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是 A440 B330 C220 D110 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|=2，|b|=1，则|a+2 b|=.14设 x，y 满足约束条件，则的最小值为 .21210 xyxyxy 32zxy15已知双曲线 C：（a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C22221xyab的一条渐近线交于 M、N 两点。若MAN=60，则 C 的离心率为_。16如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 23sinaA（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC 的周长.18.（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且.90BAPCDP （1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，求二面角 A-PB-C 的余弦值.90APD19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在之外的零件数，求(3,3)及的数学期望；(1)P X X（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的(3,3)生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，其中为抽取的第16119.9716iixx161622221111()(16)0.2121616iiiisxxxxix个零件的尺寸，i1,2,16i 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的xs生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到 0.01）(3,3)附：若随机变量服从正态分布，则，Z2(,)N(33)0.997 4PZ，160.997 40.959 20.0080.0920.（12 分）已知椭圆 C：（ab0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点2222=1xyab3232在椭圆 C 上.（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.21.（12 分）已知函数ae2x+(a2)exx.)f x（1）讨论的单调性；()f x（2）若有两个零点，求 a 的取值范围.()f x（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（为参数），直线 l 的参数方程为 3cos,sin,xy.4,1,xattyt（为参数）（1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为，求 a.1723选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数 f（x）=x2+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围.2017 年新课标年新课标 1 理数答案理数答案 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A 11.D 12.A 13.14.15.16.2 352 334 1517.解：（1）由题设得，即.21sin23sinaacBA1sin23sinacBA由正弦定理得.1sinsinsin23sinACBA故.2sinsin3BC（2）由题设及（1）得，即.1coscossinsin,2BCBC 1cos()2BC 所以，故.23BC3A 由题设得，即.21sin23sinabcAA8bc 由余弦定理得，即，得.229bcbc2()39bcbc33bc 故的周长为.ABC33318.解：（1）由已知，得 ABAP，CDPD.90BAPCDP 由于 ABCD，故 ABPD，从而 AB平面 PAD.又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.（2）在平面内做，垂足为，PADPFADF由（1）可知，平面，故，可得平面.AB PADABPFPF ABCD以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.FFA x|AB Fxyz 由（1）及已知可得，.2(,0,0)2A2(0,0,)2P2(,1,0)2B2(,1,0)2C 所以，.22(,1,)22PC (2,0,0)CB 22(,0,)22PA (0,1,0)AB 设是平面的法向量，则(,)x y znPCB，即，00PCCB nn2202220 xyzx可取.(0,1,2)n设是平面的法向量，则(,)x y zmPAB，即，00PAAB mm220220 xzy可取.(1,0,1)n则，3cos,|3 n mn mn m所以二面角的余弦值为.APBC3319.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为 0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为 0.0026，故.因此(3,3)(16,0.0026)X B.(1)1(0)1 0.99740.0408P XP X 的数学期望为.X16 0.00260.0416EX（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有 0.0026，一天内抽取的 16 个零(3,3)件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有 0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，(3,3)就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii）由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一9.97,0.212xs9.970.212个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.(3,3)剔除之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为(3,3)1(16 9.979.22)10.021510.02.，剔除之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为16222116 0.21216 9.971591.134iix(3,3)，221(1591.1349.2215 10.02)0.00815因此的估计值为.0.0080.0920.（12 分）解：（1）由于，两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过，两点.3P4P3P4P又由知，C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上.222211134abab 因此，解得.222111314bab2241ab故 C 的方程为.2214xy（2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知，且，可得 A，B 的坐标分别为（t，），（t，0t|2t 242t）.242t则，得，不符合题设.22124242122ttkktt 2t 从而可设 l：（）.将代入得 ykxm1m ykxm2214xy 222(41)8440kxkmxm由题设可知.22=16(41)0km设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=，x1x2=.2841kmk224441mk而 12121211yykkxx 121211kxmkxmxx.1212122(1)()kx xmxxx x由题设，故.121kk 1212(21)(1)()0kx xmxx即.222448(21)(1)04141mkmkmkk解得.12mk 当且仅当时，欲使 l：，即，1m 0 12myxm 11(2)2myx 所以 l 过定点（2，）1 21.解：（1）的定义域为，()f x(,)2()2(2)1(1)(21)xxxxfxaeaeaee（）若，则，所以在单调递减.0a()0fx()f x(,)（）若，则由得.0a()0fxlnxa 当时，；当时，所以在单调递减，在(,ln)xa ()0fx(ln,)xa()0fx()f x(,ln)a 单调递增.(ln,)a（2）（）若，由（1）知，至多有一个零点.0a()f x（）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.0a lnxa()f x1(ln)1lnfaaa 当时，由于，故只有一个零点；1a(ln)0fa()f x当时，由于，即，故没有零点；(1,)a11ln0aa(ln)0fa()f x当时，即.(0,1)a11ln0aa(ln)0fa又，故在有一个零点.422(2)e(2)e22e20faa()f x(,ln)a 设正整数满足，则.0n03ln(1)na00000000()e(e2)e20nnnnf naannn由于，因此在有一个零点.3ln(1)lnaa()f x(ln,)a综上，的取值范围为.a(0,1)22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）解：（1）曲线的普通方程为.C2219xy当时，直线 的普通方程为.1a l430 xy由解得或.2243019xyxy30 xy21252425xy 从而与 的交点坐标为，.Cl(3,0)21 24(,)25 25（2）直线 的普通方程为，故上的点到 的距离为 l440 xyaC(3cos,sin)l.|3cos4sin4|17ad当时，的最大值为.由题设得，所以；4a d917a91717a8a 当时，的最大值为.由题设得，所以.4a d117a 11717a 16a 综上，或.、8a 16a 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）解：（1）当时，不等式等价于.1a()()f xg x2|1|1|40 xxxx 当时，式化为，无解；1x 2340 xx当时，式化为，从而；11x 220 xx11x 当时，式化为，从而.1x 240 xx11712x 所以的解集为.()()f xg x117|12xx （2）当时，.1,1x()2g x 所以的解集包含，等价于当时.()()f xg x 1,1 1,1x()2f x 又在的最小值必为与之一，所以且，得.()f x 1,1(1)f(1)f(1)2f(1)2f11a 所以的取值范围为.a 1,1