2011年广东高考（理科）数学试题及答案.pdf

2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第 1 页（共页（共 11 页）页）试卷类型：A 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）数学（理科）本试题共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。4、作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 为柱体的底面积，h 为柱体的高 线性回归方程ybxa中系数计算公式 其中,x y表示样本均值。N 是正整数，则nnabab12(nnaab21nnabb）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。合题目要求的。1.设复数z满足12i z，其中i为虚数单位，则z=A1 i B.1 i C.22i 22i 2已知集合,Ax y,x y为实数，且221xy，,Bx y,x y为实数，且yx，则AB的元素个数为 0123 3.若向量，满足且，则(2)cab4320 4.设函数 f x和 g x分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 f xg x是偶函数 f xg x是奇函数 f xg x是偶函数 f xg x是奇函数 5.在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyxy给定。若(,)M x y为D上的动点，点A的坐标为(2,1)，则zOM ON 的最大值为 A4 2 B3 2C4 D3 6.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A12 B35C23 D34 7.如图 13，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 A.B.C.D.6 39 312 318 38.设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果,a bS有abS，则称 S 关于数的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集，,TUZ且,a b cT有有xyzV，则下列结论恒成立;,abcTx y zV的是 A.,T V中至少有一个关于乘法是封闭的 B.,T V中至多有一个关于乘法是封闭的 C.,T V中有且只有一个关于乘法是封闭的 2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第 2 页（共页（共 11 页）页）D.,T V中每一个关于乘法都是封闭的 16.16.填空题：本大题共填空题：本大题共 7 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分。分。(一）必做题（一）必做题（9-139-13 题）题）9.不等式130 xx的解集是 .10.72x xx的展开式中，4x的系数是 （用数字作答）11.等差数列前 9 项的和等于前 4 项的和.若141,0kaaa，则 k=_.na12.函数2()31f xxx在 x=_处取得极小值。13.某数学老师身高 176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm 和 182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm.（二）（二）选做题（选做题（1414 -1515 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为 和5cos(0)sinxy25()4xttRyt，它们的交点坐标为_.15.（几何证明选讲选做题）如图 4，过圆O外一点p分别作圆的切线 和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，BAC=APB,则AB=。三三解答题。本大题共解答题。本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。（1）（本小题满分 12 分）已知函数 1()2sin(),.36f xxxR(1)求的值；5()4f(2)设求的值.106,0,(3),(32),22135faf cos()17.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件，测量产品中的微量元素 x,y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81（1）已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素 x,y 满足 x175，且 y75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。18.(本小题满分 13 分)如图 5.在椎体 P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的棱形，且DAB=60，2PAPD,PB=2,E,F 分别是 BC,PC 的中点.(1)证明：AD 平面 DEF;(2)求二面角 P-AD-B 的余弦值.19.(本小题满分 14 分)设圆 C 与两圆2222(5)4,(5)4xyxy中的一个内切，另一个外切。（1）求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程;（2）已知点 M3 5 4 5(,),(5,0)55F，且 P 为 L 上动点，求MPFP的最大值及此时点 P 的坐标.20.（本小题共 14 分）设 b0,数列 na满足 a1=b，11(2)22nnnnbaanan.（1）求数列 na的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 n，111.2nnnba 2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第 3 页（共页（共 11 页）页）21.（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 上，给定抛物线 L:214yx.实数 p，q 满足240pq，x1，x2是方程20 xpxq的两根，记12(,)max,p qxx。（1）过点20001(,)(0)4A ppp 作 L 的切线教 y 轴于点 B.证明：对线段 AB 上任一点 Q(p，q)有 0(,);2pp q （2）设 M(a，b)是定点，其中 a，b 满足 a2-4b0,a0.过 M(a，b)作 L 的两条切线12,l l，切点分别为22112211(,),(,)44E ppE pp，12,l l与 y 轴分别交与 F,F。线段 EF 上异于两端点的点集记为 X.证明：M(a,b)X12PP(,)a b12p;（3）设 D=(x,y)|yx-1,y14(x+1)2-54.当点(p,q)取遍 D 时，求(,)p q的最小值（记为min）和最大值（记为max）.20112011 年广东高考理科数学参考答案年广东高考理科数学参考答案 一、选择题一、选择题 题题 号号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 答答 案案 B B C C D D A A C C D D B B A A 二、填空题二、填空题.；10.84；11.10；12.2；13.185；1,)14.；15.；2 5(1,)535三、解答题三、解答题 16解：(1);55()2sin()2sin241264f(2)，又，10(3)2sin213f5sin130,212cos13，6(32)2sin()2cos25f3cos5又，0,24sin5.16cos()coscossinsin6517解：（1）乙厂生产的产品总数为；1453598（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；25235145（3），的分布列为 0,1,222325()iiC CPiC(0,1,2)i 0 1 2 P 310 35 110均值.314()125105E 18.解：(1)取 AD 的中点 G，又 PA=PD，PGAD，由题意知 ABC 是等边三角形，BGAD又 PG,BG 是平面 PGB 的两条相交直线，ADPGB 平 平，/,/EFPB DEGB，DEFPGB平 平/平 平 ADDEF 平 平(2)由（1）知为二面角的平面角，PGBPADB在中，；在中，；Rt PGA222172()24PG Rt BGA222131()24BG 在中，.PGB22221cos27PGBGPBPGBPG BG 19解：（1）两圆半径都为 2，设圆 C 的半径为 R，两圆心为、，1(5,0)F 2(5,0)F由题意得或，12|2|2RCFCF 21|2|2RCFCF，1212|42 5|CFCFFF可知圆心 C 的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则 12,F F22221xyab，所以轨迹 L 的方程为 22224,2,5,1,1aacbcab2214xy（），仅当时，取，|2MPFPMF(0)PMPF 由知 直 线，联 立并 整 理 得解 得或2MFk:2(5)MFlyx 2214xy21532 590 xx6 55x，此时 14 5(15x 舍去）6 52 5(,-)55P所以最大值等于 2，此时|MPFP3 54 5(,)55PPABCDFGPABCDFE2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第 4 页（共页（共 11 页）页）20解（）法一：，得，112(1)nnnabanan1112(1)121nnnnannnababba设，则，nnnba121nnbbbb(2)n（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，2b nb1212即，111(1)222nbnn2na（）当时，设，则，2b 12()nnbbb122(1)nnbbbb令，得，21(1)bb12b1121()22nnbbbbb(2)n 知是等比数列，又，12nbb11112()()22nnbbbbb11bb，12112()222nnnnnbbbbbbb(2)2nnnnnbbab法二：（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，2b nb1212即，111(1)222nbnn2na（）当时，2b 1ab2222222(2)22bb babb33223333(2)242bb babbb猜想，下面用数学归纳法证明：(2)2nnnnnbbab当时，猜想显然成立；1n 假设当时，则 nk(2)2kkkkkbbab，1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2kkkkkkkkkkkb akb kbbkbbaankbbkbb所以当时，猜想成立，1nk由知，*nN(2)2nnnnnbbab（）（）当时，故时，命题成立；2b 112212nnna2b（）当时，2b 222212222nnnnnnbbb，212122122222nnnnnnbbbb，以上 n 个式子相加得 1111221,22222nnnnnnnnbbbb，2212nnbb111122nnnnbb2121222nnnnbnb 1221212112(2)(222)2(2)2(2)2(2)nnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbabb 2212121(222)(2)2(2)2(2)nnnnnnnnnbbbbbbb 2121111(2)222(2)nnnnnnnnnbbbb故当时，命题成立；2111211(2)(22)2(2)nnnnnnnnnbbbb1112nnb2b 综上（）（）知命题成立 21解：（），00011|()|22ABx px pkyxp直线 AB 的方程为，即，200011()42yppxp2001124yp xp，方程的判别式，2001124qp pp20 xpxq2204()pqpp 两根或，001,2|22ppppx02pp，又，00p p00|22pppp00|pp，得，000|222pppp000|222ppppp 0(,)|2pp q（）由知点在抛物线 L 的下方，240ab(,)M a b当时，作图可知，若，则，得；0,0ab(,)M a bX120pp12|pp若，显然有点；12|pp(,)M a bX(,)M a bX12|pp当时，点在第二象限，0,0ab(,)M a b作图可知，若，则，且；(,)M a bX120pp12|pp若，显然有点；12|pp(,)M a bX(,)M a bX12|pp根据曲线的对称性可知，当时，0a(,)M a bX12|pp综上所述，（*）；(,)M a bX12|pp由（）知点 M 在直线 EF 上，方程的两根或，20 xaxb11,22px12pa 同理点 M 在直线上，方程的两根或，E F20 xaxb21,22px22pa 2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第 5 页（共页（共 11 页）页）xyO22A若，则不比、小，1(,)|2pa b1|2p1|2pa 2|2p2|2pa，又，12|pp12|pp(,)M a bX；又由（）知，；1(,)|2pa b(,)M a bX(,)M a bX1(,)|2pa b，综合（*）式，得证 1(,)|2pa b(,)M a bX（）联立，得交点，可知，1yx215(1)44yx(0,1),(2,1)02p过点作抛物线 L 的切线，设切点为，则，(,)p q2001(,)4xx20001142xqxxp得，解得，200240 xpxq204xppq又，即，215(1)44qp2442pqp，设，042xpp42pt20122xtt 215(1)22t，又，；0maxmax|2x052x max54，1qp2044|2|2xppppp 0minmin|12x 2011 年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】（理科数学）本试卷分第第卷卷（选择题）和第第卷卷（非选择题）两部分，第卷第 1 至第 2 页，第卷第 3 页至第 4 页全卷满分 150分，考试时间 120 分钟 第卷第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分）【2011广东理，1】1设复数z满足(1)2i z，其中i为虚数单位，则z ()A1 i B1 i C22i D22i 【答案】B 【解析】依题意得211zii，故选B【2011广东理，2】2已知集合(,)|Ax y,x y为实数,且221xy,(,)|Bx y,x y为实数,且yx,则AB的元素个数为()A0 B1 C2 D3 【答案】C【解析】题意等价于求直线yx与圆221xy的交点个数,画大致图像可得答案【2011广东理，3】3若向量a，b，c满足ab且ac，则(2)=ca+b()A4 B3 C2 D1 【答案】D【解析】因为ab且ac,所以bc，从而(2)=20ca+bc a+c b=【2011广东理，4】4设函数()f x和()g x分别是实数集R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A f xg x是偶函数 B f xg x是奇函数 C f xg x是偶函数 D f xg x是奇函数【答案】A【解析】依题意()(),()()fxf x gxg x,故()|()|()|()|fxgxf xg x,从而()|()|f xg x 是偶函数，故选 A【2011广东理，5】5已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyxy给定若(,)M x y为D上的动点，点A的坐标为(2,1)，则zOM OA 的最大值为()A4 2 B3 2 C4 D3 【答案】C【解析】目标函数即2zxy,画出可行域如图所示，2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第 6 页（共页（共 11 页）页）代入端点比较之，易得当2,2xy时z取得最大值4,故选 C【2011广东理，6】6甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A12 B35 C23 D34 【答案】D【解析】设甲队获得冠军为事件A,则A包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率1113()2224P A,从而选 D【2011广东理，7】7如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A6 3 B9 3 C12 3 D18 3 【答案】B【解析】该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面，高为3的四棱柱，又平行四边形的底边长为3,高为3,所以面积3 3S,从而所求几何体的体积9 3VSh,故选 B 【2011广东理，8】8设S是整数集Z的非空子集，如果,a bS，有abS，则称S关于数的乘法是封闭的若,T V是Z的两个不相交的非空子集,YVZ,且,a b cT,有abcT；,x y zV,有xyzV,则下列结论恒成立的是()A,T V中至少有一个关于乘法是封闭的 B,T V中至多有一个关于乘法是封闭的 C,T V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D,T V中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A【解析】因为TVZ,故必有1T或1V,不妨设1T,则令1c,依题意对,a bT,有abT,从而T关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选 A 了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取TN,则V为所有负整数组成的集合,显然T封闭,但V显然是不封闭的,如(1)(2)2V;同理,若T 奇数，V 偶数，显然两者都封闭，从而选 A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题考生小题考生作答作答 6 小题每小题小题每小题 5 分，满分分，满分 30分分（一）必做题（一）必做题（913 题）题）【2011广东理，9】9不等式130 xx的解集是 【答案】1,【解析】解法一:原不等式1(1)(3)0 xxx 或131(3)0 xxx 或31(3)0 xxx，解得1x,从而原不等式的解集为1,).解法二(首选):|1|3|xx的几何意义为到点1的距离与到点3的距离的差,画出数轴易得1x.解法三:不等式即|1|3|xx,平方得222169xxxx,解得1x.【2011广东理，10】1072()x xx的展开式中4x的系数是 （用数字作答）【答案】84【解析】题意等价于求72()xx的展开式中3x的系数7 217(2)kkkkTC x,0,1,2,3,7k,令723k得2k,故所求系数为27484C 【2011广东理，11】11等差数列 na的前 9 项和等于前 4 项和，若141,0kaaa，则 k 【答案】10【解析】由94SS得56789750aaaaaa,4741002kaaaaa,故10k 【2011广东理，12】12函数32()31f xxx在x 处取得极小值【答案】2【解析】2()363(2)fxxxx x,当0 x 或2x 时，()0fx；当02x时，()0fx，故当2x 时，()f x取得极小值【2011广东理，12】13 某数学老师身高 176cm，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是 173cm,170cm 和 182cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 cm【答案】185【解 析】抓 住“儿 子 的 身 高 与 父 亲 的 身 高 有 关”提 炼 数 据(173,170),(170,176),(176,182),易 得 平 均 值2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第 7 页（共页（共 11 页）页）173,176xy,于是1()()3 618niiixxyy，21()18niixx，从而1b，,176 1 1733a ，所以线性回归方程为3yx，当182x 时，185y 第卷（非选择题 共 90 分）（二）选做题（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题）二、填空题：（每小题 5 分，共 25 分）【2011广东理，14】14（坐标系与参数方程选做题）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cossinxy（0 和254xtyt（tR），它们的交点坐标为 【答案】2 5(1,)5【解析】对应普通方程为221(55,01)5xyxy,245yx,联立方程消去y得2450 xx,解得1x 或5x (舍去),于是1x,2 55y,故所求交点坐标为2 5(1,)5 【2011广东理，15】15（几何证明选讲选做题）（几何证明选讲选做题）如图 4，过圆O外一点P分别做圆的切线和割线交圆于A，B两点，且7PB，C是圆上一点使得5BC，BACAPB，则AB 【答案】35【解析】结合弦切角定理易得ABPCBA,于是ABPBBCAB,代入数据解得35AB 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分）【2011广东理，16】16（本小题满分 12 分）已知函数1()2sin(),36f xxxR()求5()4f的值；()设,0,2，10(3)213f，6(32)5f，求cos()的值【解析】()5()4f1 52sin()2sin23464；()因为10(3)2sin()2sin26613f，所以5sin13，因为26(32)2sin()2sin()2cos,3625f所以3cos5，又,0,2 所以212cos1 sin13，24sin1 cos5，所以1235416cos()coscossinsin13513565【2011广东理，17】17（本小题满分 13 分）为了解甲，乙两厂的产品质量，采取分层抽样的方法从甲，乙两厂的产品中分别抽取 14 件和 5 件，测量产品中微量元素,x y的含量（单位：毫克）下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81()已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量；()当产品中微量元素,x y满足175x 且75y 时，该产品为优等品用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；()从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随即抽取 2 件，求抽出的 2 件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）【解析】解：()乙厂生产的产品数量为598=3514件；()样本中满足175x，且75y 的产品有2件,故样本频率为25,则可估计乙厂生产的优等品数量为235=145件；()的可能取值为0,1,2,且23253(0)10CPC,1132253(1)5C CPC,22251(2)10CPC【或者22325()iiC CPiC(0,1,2)i】故的分布列为 0 1 2 P 310 35 110 的数学期望3314012105105E 【2011广东理，18】18（本小题满分 13 分）如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为 1 的菱形，且60DBA，2PAPD，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点()证明：AD平面DEF；()求二面角PADB的平面角【解析】()取 AD 的中点 G，又 PA=PD，PGAD，由题意知 ABC 是等边三角形，BGAD，又 PG,BG 是平面 PGB 的两条相交直线，ADPGB 平 平，2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第 8 页（共页（共 11 页）页）xyzM/,/EFPB DEGB，/DEFPGB平 平平 平，ADDEF 平 平()由（1）知PGB为二面角PADB的平面角，在Rt PGA中，222172()24PG；在Rt BGA中，222131()24BG；在PGB中，22221cos27PGBGPBPGBPG BG 另解：（）连接AE，BD，因为ABCD是边长为1的菱形，且60DAB，E是BC的中点，所以,ABDBCD均为正三角形，且31,12022DEBEABE，所以22272cos4AEABBEAB BEABE 所以22237144ADDEAE，从而ADDE，取AD的中点M，连接,PM BM，因为PAPD，BABD，所以,PMAD BMAD,又PMBMM，所以AD 平面PBM，所以ADPB，在BCP中，因为,E F分别是,BCPC的中点，所以/EFPB，所以ADEF 又EFDEE，所以AD 平面DEF.（）解法一解法一:由（）知BMP为二面角PADB的平面角,易得32BM,2217(2)()22PM,在BPM中,2PB,由余弦定理得22221cos27BMPMPBBMPBM PM 所以二面角PADB的余弦值为217 解法二解法二:先证明DF 平面ABCD，即证明DFDE即可，在Rt PBC中，22215PC；在PDC中，2221(5)(2)2cos2 155DCP，所以在FDC中，22255211()2 12245DF ，12DF 在DEF中，222231()124DEDFEF，故DEF为直角三角形，从而DFDE.建立空间直角坐标系Dxyz如图所示,则13(0,0,0),(1,0,0),(,1)22DAP,所以13(1,0,0),(,1)22DADP ,设平面PAD的一个法向量为,x y z1()n，则 00DADP11 nn，从而013022xxyz，解得032xzy，令2y 得0,2,31()n 显然平面DAB的一个法向量为0,0,12()n，从而321cos,|77 1121212=n nn n|nn，所以二面角PADB的余弦值为217【2011广东理，19】19（本小题满分 14 分）设圆C与两圆2222(5)4,(5)4xyxy中的一个内切，另一个外切()求圆C的圆心轨迹L的方程；()已知点M3 5 4 5(,),(5,0)55F,且P为L上动点，求MPFP的最大值及此时点P的坐标【解析】（）设 圆C的 圆 心 为(,)C x y，半 径 为r，圆22(5)4xy的 圆 心 为1(5,0)F,半 径 为 2；圆22(5)4xy的 圆 心 为2(5,0)F,半 径 为 2；依 题 意,有12|2|2CFrCFr或12|2|2CFrCFr，所 以1212|42 5|CFCFFF 所以圆C的圆心轨迹L是以原点为中心,焦点在x轴上,焦距为22 5c,实轴长为24a 的双曲线,因此2a,5,1cb,故轨迹L的方程为2214xy.（）易得过点M3 5 4 5(,),(5,0)55F的直线l的方程为2(5)yx,联立方程22142(5)xyyx，消去y得21532 5840 xx,解得126 514 5,515xx,则直线l与双曲线L的交点为126 52 514 5 2 5(,),(,)551515PP,因为1P在线段MF外,所以22112 54 5|()()255MPFPMF,因为2P在线段MF内,所以11|MPFPMF,若点P不住MF上,则|MPFPMF,综上,MPFP的最大值为2,此时点P的坐标为6 52 5(,)55.解析二：()两圆半径都为 2，设圆 C 的半径为 R，两圆心为1(5,0)F、2(5,0)F，由题意得12|2|2RCFCF 或21|2|2RCFCF，1212|42 5|CFCFFF，可知圆心 C 的轨迹是以12,F F为焦点的双曲线，设方程为22221xyab，则 22224,2,5,1,1aacbcab，所以轨迹 L 的方程为2214xy 2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第 9 页（共页（共 11 页）页）()|2MPFPMF，仅当(0)PMPF 时，取，由2MFk 知直线:2(5)MFlyx，联立2214xy并整理得 21532 590 xx解得6 55x 或14 515x(舍去)，此时6 52 5(,-)55P 所以|MPFP最大值等于 2，此时3 54 5(,)55P【2011广东理，20】20（本小题满分 14 分）设0b，数列na满足,1ab11(2)22nnnnbaanan()求数列na的通项公式；()证明：对于一切正整数n，1112nnnba【解析】（）由1122nnnnbaaan得1211nnnnab ab,当2b 时,1112nnnnaa,所以nna是以首项为1112a,公差为12的等差数列,所以11(1)222nnnna,从而2na.当2b 时,11211()22nnnnabb ab,所以12nnab是首项为11122(2)abbb，公比为2b的等比数列,所以11222()2(2)(2)nnnnnabbbbbb，从而(2)2nnnnnbbab.综上所述，数列 na的通项公式为2,2(2),22nnnnbanbbbb （）当2b 时,不等式显然成立；当2b 时,要证1112nnnba,只需证11(2)122nnnnnnbbbb,即证 11122(2)2nnnnnnbnbbb (*)因为1111122312(2)(2)(222)2nnnnnnnnnnbbbbbbb 1122222111(222)(22)nnnnnnnnnbbbbb 1112121222()()222nnnnnnnnbbbbbbb 21122311222()()()222nnnnnnbbbbbbb 2111122311222(222)2(1 11)2222nnnnnnnnnnbbbbbnbbbb 所以不等式（*）成立，从而原不等式成立；综上所述，当0b 时，对于一切正整数n,111.2nnnba 解析二：()解法一：112(1)nnnabanan，得1112(1)121nnnnannnababba，设nnnba，则121nnbbbb(2)n，（）当2b 时，nb是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222nbnn，2na （）当2b 时，设12()nnbbb，则122(1)nnbbbb，令21(1)bb，得12b，1121()22nnbbbbb(2)n，知12nbb是等比数列，11112()()22nnbbbbb，又11bb，12112()222nnnnnbbbbbbb，(2)2nnnnnbbab 解法二：（）当2b 时，nb是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222nbnn，2na （）当2b 时，1ab，2222222(2)22bb babb，33223333(2)242bb babbb，猜想(2)2nnnnnbbab，下面用数学归纳法证明：当1n 时，猜想显然成立；假设当nk时，(2)2kkkkkbbab，则 1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2kkkkkkkkkkkb akb kbbkbbaankbbkbb，所以当1nk时，猜想成立，由知，*nN，(2)2nnnnnbbab()（）当2b 时，112212nnna，故2b 时，命题成立；（）当2b 时，222212222nnnnnnbbb，212122122222nnnnnnbbbb，1111221,22222nnnnnnnnbbbb，以上 n 个式子相加得 2212nnbb111122nnnnbb2121222nnnnbnb，1221212112(2)(222)2(2)2(2)2(2)nnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbabb 2212121(222)(2)2(2)2(2)nnnnnnnnnbbbbbbb 2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第2011 年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第 10 页（共页（共 11 页）页）2121111(2)222(2)nnnnnnnnnbbbb 2111211(2)(22)2(2)nnnnnnnnnbbbb1112nnb故当2b 时，命题成立；综上（）（）知命题成立【2011广东理，21】21（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线21:4L yx，实数,p q满足240pq，12,x x是方程20 xpxq的两根，记12(,)max|,|p qxx(1)过 点20001(,)(0)4A ppp 作 L 的 切 线 交y轴 于 点 B 证 明：对 线 段 AB 上 的 任 一 点(,)Q p q，有0|(,)2pp q；(2)设(,)M a b是 定 点，其 中,a b满 足240,0aba 过(,)M a b作L的 两 条 切 线12,l l，切 点 分 别 为22112211(,),(,)44E ppE pp，12,l l与y轴 分 别 交 于,F F 线 段EF上 异 于 两 端 点 的 点 集 记 为X，证 明：112|(,)|(,)2pM a bXppa b；(3)设215(,)|1,(1)44Dx yyxyx，当点(,)p q取遍D时，求(,)p q的最小值（记为min）和最大值（记为max）【解析】（）因为12yx,所以001|2x pyp,过点A的切线方程为200011()42ypp xp 即20024ppyx,从而20(0,)4pB,又(,)Q p q在直线AB上,故20024p ppq,其中00|pp 所以方程为2200024p ppxpx,解得012px,022pxp 由于00|pp,且0,p p同号,所以0021|22ppxpx,所以0(,).2pp q （）过点(,)M a b且切点为2111(,)4E pp的L的切线1l方程为EF:21124ppyx 因为(,)M a b1l,所以21124ppba且10|ap,因为2221(,)4E pp,所以22112221()4242MEpppapkpa,即22112221()()4242ppppapa 即2212124422ppppaa,所以22121212()()0442222ppppppa,所以212pap 因为10|ap,且1,a p同号,所以21111|2|2|papppp 反之也成立,所以(,)M a bX12|pp,由（）可知,(,)M a bX1|(,)2pa b,反之,逆推也成立,所以(,)M a bX1|(,)2pa b，综上,(,)M a bX12|pp(,)a b12p.（）此题即求当点(,)p q取遍D时,方程20 xpxq的绝对值较大的根的最大值与最小值,解方程得242ppqx,因为215(,)|1,(1)44Dx yyxyx,令2151(1)44xx,解得0 x 或2x，所以02p，24(,)2ppqp q，因为(,)p qD，所以215(1)144pqp，于是2(1)5444pqp，所以22(2)424ppqp，所以2424(,)1,22ppqppp q，设24()2ppf p（02p），令24tp，则24(02)2tpt，则221115()()1(1)4244f pg tttt ，所以5()1,4f p 综上，当2,1pq或0,1pq 时，min1；当35,216pq时，max54()联立1yx，215(1)44yx得交点(0,1),(2,1)，可知02p，过点(,)p q作抛物线 L 的切线，设切点为2001(,)4xx，则20001142xqxxp，得200240 xpxq，解得204xppq，又215(1)