2011年广东高考（理科）数学试题及答案.doc

试卷类型：A
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2、 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。
4、 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式 V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高
线性回归方程中系数计算公式
其中表示样本均值。
N是正整数，则…）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数满足，其中为虚数单位，则=
A． B. C. Ｄ．
2．已知集合 ∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为
Ａ．0　　　　Ｂ．1　　　　Ｃ．2　　　　　Ｄ．3
3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则
Ａ．4　　　　Ｂ．3　　　　　Ｃ．2　　　　　　Ｄ．0
4. 设函数和分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
Ａ．是偶函数　　　　　　　　　　　Ｂ．是奇函数
Ｃ．是偶函数　　　　　　　　　　　Ｄ．是奇函数
5. 在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为
A．　　　　 B．　　　　　　　C．4　　　　　 D．3
6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A．　　　　 B．　　　　　　　C．　　　　　 D．
7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为

A. B. C. D.
8.设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是
A. 中至少有一个关于乘法是封闭的
B. 中至多有一个关于乘法是封闭的
C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. 中每一个关于乘法都是封闭的
16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(一）必做题（9-13题）
9. 不等式的解集是 .
10. 的展开式中，的系数是 （用数字作答）
11. 等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，则k=____________.
12. 函数在x=____________处取得极小值。
13. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.

（二） 选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为 和，它们的交点坐标为___________.
15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线
和割线交圆于,，且=7，是圆上一点使得=5，
∠=∠, 则= 。

三． 解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
（1） （本小题满分12分）
已知函数
(1) 求的值；
(2) 设求的值.

17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
（1） 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2） 当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3） 从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。

18.(本小题满分13分)
如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，
且∠DAB=60，,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点.
(1) 证明：AD 平面DEF;
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.

19.(本小题满分14分)
设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。
（1）求圆C的圆心轨迹L的方程;
（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.
20.（本小题共14分）
设b>0,数列满足a1=b，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，

21.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:.实数p，q满足，x1，x2是方程的两根，记。
（1）过点作L的切线教y轴于点B. 证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有
（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0. 过M(a，b)作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b) X;
（3）设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）.

2011年广东高考理科数学参考答案
一、选择题
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
B
C
D
A
C
D
B
A
二、填空题
９.　； 10.　84； 11.　10； 12.　2； 13.　185；
14.　； 15.　；
三、解答题
16．解：(1);
(2)，，又，，
，，
又，，
.
17．解：（1）乙厂生产的产品总数为；
（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；
（3）， ，的分布列为

0
1
2

P
AＳ
BＳ
CＳ
DＳ
F
G
P
AＳ
BＳ
CＳ
DＳ
F
E
均值.
18.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD，，
由题意知ΔABC是等边三角形，，
又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，
，
，
，

(2) 由（1）知为二面角的平面角，
在中，；在中，；
在中，.
19．解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，
由题意得或，
，
可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则
，所以轨迹L的方程为．
（２）∵，仅当时，取＂＝＂，
由知直线，联立并整理得解得或，此时
所以最大值等于2，此时．
20．解（１）法一：，得，
设，则，
（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，
即，∴
（ⅱ）当时，设，则，
令，得，，
知是等比数列，，又，
，．
法二：（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，
即，∴
（ⅱ）当时，，，，
猜想，下面用数学归纳法证明：
①当时，猜想显然成立；
②假设当时，，则
，
所以当时，猜想成立，
由①②知，，．
（２）（ⅰ）当时， ，故时，命题成立；
（ⅱ）当时，，
，
，以上n个式子相加得
，

．故当时，命题成立；
综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．

21．解：（１），
直线AB的方程为，即，
，方程的判别式，
两根或，
，，又，
，得，
．
（２）由知点在抛物线L的下方，
①当时，作图可知，若，则，得；
若，显然有点； ．
②当时，点在第二象限，
作图可知，若，则，且；
若，显然有点；
．
根据曲线的对称性可知，当时，，
综上所述，（*）；
由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，
同理点M在直线上，方程的两根或，
若，则不比、、小，
，又，
；又由（１）知，；
，综合（*）式，得证．
（３）联立，得交点，可知，
过点作抛物线L的切线，设切点为，则，
得，解得，
又，即，
，设，，
，又，；
，，
．

2011年普通高等学校招生全国统一考试
【广东卷】（理科数学）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
【2011广东理，1】1．设复数满足，其中为虚数单位，则 ( )．
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】依题意得，故选．
【2011广东理，2】2．已知集合为实数,且,为实数,且,则的元素个数为( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C．
【解析】 题意等价于求直线与圆的交点个数,画大致图像可得答案．
【2011广东理，3】3．若向量，，满足∥且⊥，则( )．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D．
【解析】因为∥且⊥,所以⊥，从而．
【2011广东理，4】4．设函数和分别是实数集上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
【答案】A．
【解析】 依题意,故,从而 是偶函数，故选A．
x
y
O

2
A
【2011广东理，5】5．已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为 ( )．
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】 目标函数即,画出可行域如图所示，
代入端点比较之，易得当时取得最大值,故选C．
【2011广东理，6】6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )．
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】设甲队获得冠军为事件,则包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率,从而选D．
【2011广东理，7】7．如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )．

A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面，高为的四棱柱，又平行四边形的底边长为,高为,所以面积,从而所求几何体的体积,故选B．

【2011广东理，8】8．设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的．若是的两个不相交的非空子集, ,且,有；,有,则下列结论恒成立的是 ( )．
A．中至少有一个关于乘法是封闭的 B．中至多有一个关于乘法是封闭的
C．中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．中每一个关于乘法都是封闭的
【答案】A．
【解析】 因为,故必有或,不妨设,则令,依题意对,有,从而关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取,则为所有负整数组成的集合,显然封闭,但显然是不封闭的,如;同理,若奇数，偶数，显然两者都封闭，从而选A．
二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
【2011广东理，9】9．不等式的解集是 ．
【答案】．
【解析】解法一:原不等式或或，
解得,从而原不等式的解集为.
解法二(首选):的几何意义为到点的距离与到点的距离的差,画出数轴易得.
解法三:不等式即,平方得,解得.．
【2011广东理，10】10．的展开式中的系数是 （用数字作答）．
【答案】 84．
【解析】题意等价于求的展开式中的系数,,令得,故所求系数为．
【2011广东理，11】11．等差数列的前9项和等于前4项和，若，则
．
【答案】 10．
【解析】由得,,故．
【2011广东理，12】12．函数在 处取得极小值．
【答案】 2．
【解析】 ,当或时，；当时，，故当时，取得极小值．
【2011广东理，12】13 ．某数学老师身高176cm，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是173cm,170cm和182cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 cm．
【答案】 185．
【解析】抓住“儿子的身高与父亲的身高有关”提炼数据易得平均值,于是，，
从而，,，所以线性回归方程为，当时，．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
二、填空题：（每小题5分，共25分）
【2011广东理，14】14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0≤q ＜p )和（t∈R），它们的交点坐标为 ．
【答案】．
【解析】对应普通方程为,,联立方程消去得,解得或(舍去),于是,,故所求交点坐标为．
【2011广东理，15】15．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别做圆的切线和割线交圆于，两点，且，是圆上一点使得，，则 ．
【答案】．
【解析】结合弦切角定理易得,于是,
代入数据解得．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分）
【2011广东理，16】16．（本小题满分12分）已知函数．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 设，，，求的值．
【解析】 ．
(Ⅰ) ；
(Ⅱ) 因为，所以，
因为所以，
又所以，，
所以．
【2011广东理，17】17．（本小题满分13分）为了解甲，乙两厂的产品质量，采取分层抽样的方法从甲，乙两厂的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5

169
178
166
175
180

75
80
77
70
81
(Ⅰ) 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
(Ⅱ) 当产品中微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(Ⅲ) 从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽出的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．
【解析】 ．
解：(Ⅰ) 乙厂生产的产品数量为件；
(Ⅱ) 样本中满足，且的产品有件,故样本频率为,则可估计乙厂生产的优等品数量为件；
(Ⅲ) 的可能取值为,且,,
．【或者】
故的分布列为

0
1
2

的数学期望．
【2011广东理，18】18．（本小题满分13分）如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，PB=2，，分别是，的中点．
(Ⅰ) 证明：⊥平面；
(Ⅱ) 求二面角的平面角．
【解析】 ．

(Ⅰ)取AD的中点G，又PA=PD，，
由题意知ΔABC是等边三角形，，
又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，
，
，
，

(Ⅱ)由（1）知为二面角的平面角，
在中，；在中，；
在中，．
另解：（Ⅰ）连接，，
x
y
z
M
因为是边长为的菱形，且，
是的中点，所以均为正三角形，
且，
所以
所以，从而，
取的中点，连接，因为，，所以
,
又，所以平面，所以，
在中，因为分别是的中点，所以，所以
又，所以平面.
（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知为二面角的平面角,
易得,,
在中,,由余弦定理得
所以二面角的余弦值为．
解法二:先证明平面，即证明即可，
在中，；在中，，
所以在中，，．
在中，，故为直角三角形，从而.
建立空间直角坐标系如图所示,则,
所以,设平面的一个法向量为，则
，从而，解得，令得
显然平面的一个法向量为，
从而，所以二面角的余弦值为．
【2011广东理，19】19．（本小题满分14分）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切．
(Ⅰ) 求圆的圆心轨迹的方程；
(Ⅱ) 已知点,且为上动点，求的最大值及此时点的坐标．
【解析】 ．
（Ⅰ）设圆的圆心为，半径为，圆的圆心为,半径为2；圆的圆心为,半径为2；依题意,有或，所以．
所以圆的圆心轨迹是以原点为中心,焦点在轴上,焦距为,实轴长为的双曲线,因此,,故轨迹的方程为.
（Ⅱ）易得过点的直线的方程为,
联立方程，消去得,解得,
则直线与双曲线的交点为,
因为在线段外,所以,
因为在线段内,所以,
若点不住上,则,
综上, 的最大值为,此时点的坐标为.
解析二：
(Ⅰ) 两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，
由题意得或，
，
可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则
，所以轨迹L的方程为．
(Ⅱ) ∵，仅当时，取＂＝＂，
由知直线，联立并整理得
解得或(舍去)，此时．
所以最大值等于2，此时．
【2011广东理，20】20．（本小题满分14分）设，数列满足,．
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
(Ⅱ) 证明：对于一切正整数，．
【解析】 ．
（Ⅰ）由得,
当时, , 所以是以首项为,公差为的等差数列,
所以,从而.
当时, ,所以是首项为，
公比为的等比数列,所以，
从而.
综上所述，数列的通项公式为
（Ⅱ）当时,不等式显然成立；
当时,要证,只需证,即证
(*)
因为

所以不等式（*）成立，从而原不等式成立；
综上所述，当时，对于一切正整数,
解析二：
(Ⅰ) 解法一：，得，
设，则，
（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，
即，∴
（ⅱ）当时，设，则，
令，得，，
知是等比数列，，又，
，．
解法二：（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，
即，∴
（ⅱ）当时，，，，
猜想，下面用数学归纳法证明：
①当时，猜想显然成立；
②假设当时，，则
，
所以当时，猜想成立，
由①②知，，．
(Ⅱ)（ⅰ）当时， ，故时，命题成立；
（ⅱ）当时，，
，
，以上n个式子相加得
，

．故当时，命题成立；
综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．
【2011广东理，21】21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系上，给定抛物线，实数满足，是方程的两根，记．
(1) 过点作L的切线交轴于点B．证明：对线段AB上的任一点，有；
(2) 设是定点，其中满足．过作的两条切线，切点分别为，与轴分别交于．线段上异于两端点的点集记为，证明：；
(3) 设，当点取遍时，求的最小值（记为）和最大值（记为）．
【解析】 ．
（Ⅰ）因为,所以,过点的切线方程为
即,从而,又在直线上,故,其中
所以方程为,解得,
由于,且同号,所以,所以
（Ⅱ）过点且切点为的的切线方程为:
因为,所以且,因为,
所以,即
即,所以,所以
因为,且同号,所以
反之也成立,所以,
由（Ⅰ）可知,,反之,逆推也成立,所以，
综上,.
（Ⅲ）此题即求当点取遍时,方程的绝对值较大的根的最大值与最小值,
解方程得,因为,
令,解得或，所以，，
因为，所以，于是，
所以，所以，
设（），令，则，
则，所以．
综上，当或时，；当时，．
(Ⅲ) 联立，得交点，可知，
过点作抛物线L的切线，设切点为，则，
得，解得，
又，即，
，设，，
，又，；
，，
．
解析二：
(1) ，
直线AB的方程为，即，
，方程的判别式，
两根或，
，，又，
，得，
．
(2) 由知点在抛物线L的下方，
①当时，作图可知，若，则，得；
若，显然有点； ．
②当时，点在第二象限，
作图可知，若，则，且；
若，显然有点；
．
根据曲线的对称性可知，当时，，
综上所述，（*）；
由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，
同理点M在直线上，方程的两根或，
若，则不比、、小，
，又，
；又由（１）知，；
，综合（*）式，得证．
(3) 联立，得交点，可知，
过点作抛物线L的切线，设切点为，则，
得，解得，
又，即，
，设，，
，又，；
，，
．

2011年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第11页（共11页）