2011年广东高考（理科）数学试题及答案.doc

试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2、 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。4、 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：柱体的体积公式V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高线性回归方程中系数计算公式 其中表示样本均值。 N是正整数，则）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设复数满足，其中为虚数单位，则=A B. C. 2已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为01233. 若向量，满足且，则43204. 设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是是偶函数是奇函数是偶函数是奇函数5. 在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为A BC4 D36. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A BC D7. 如图13，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 8.设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是A. 中至少有一个关于乘法是封闭的B. 中至多有一个关于乘法是封闭的C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. 中每一个关于乘法都是封闭的16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题）9. 不等式的解集是 .10. 的展开式中，的系数是 （用数字作答）11. 等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，则k=_.12. 函数在x=_处取得极小值。13. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm.（二） 选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为 和，它们的交点坐标为_.15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,，且=7，是圆上一点使得=5，=, 则= 。三 解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。（1） （本小题满分12分）已知函数(1) 求的值；(2) 设求的值.17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1） 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2） 当产品中的微量元素x,y满足x175，且y75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3） 从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。18.(本小题满分13分) 如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.19.(本小题满分14分)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。（1）求圆C的圆心轨迹L的方程;（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.20.（本小题共14分）设b0,数列满足a1=b，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，21.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:.实数p，q满足，x1，x2是方程的两根，记。 （1）过点作L的切线教y轴于点B. 证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有 （2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b0,a0. 过M(a，b)作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b) X;（3）设D= (x,y)|yx-1,y(x+1)2-.当点(p,q)取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）.2011年广东高考理科数学参考答案一、选择题题 号12345678答 案BCDACDBA二、填空题.；10.84；11.10；12.2；13.185；14.；15.；三、解答题16解：(1);(2)，又，又，.17解：（1）乙厂生产的产品总数为；（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；（3）， ，的分布列为012PABCDFGPABCDFE均值.18.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD，由题意知ABC是等边三角形，又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，(2) 由（1）知为二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.19解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，由题意得或，可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则，所以轨迹L的方程为（），仅当时，取，由知直线，联立并整理得解得或，此时所以最大值等于2，此时20解（）法一：，得，设，则，（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，即，（）当时，设，则，令，得，知是等比数列，又，法二：（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，即，（）当时，猜想，下面用数学归纳法证明：当时，猜想显然成立；假设当时，则，所以当时，猜想成立，由知，（）（）当时， ，故时，命题成立；（）当时，以上n个式子相加得，故当时，命题成立；综上（）（）知命题成立21解：（），直线AB的方程为，即，方程的判别式，两根或，又，得，（）由知点在抛物线L的下方，当时，作图可知，若，则，得；若，显然有点； 当时，点在第二象限，作图可知，若，则，且；若，显然有点； 根据曲线的对称性可知，当时，综上所述，（*）；由（）知点M在直线EF上，方程的两根或，同理点M在直线上，方程的两根或，若，则不比、小，又，；又由（）知，；，综合（*）式，得证（）联立，得交点，可知，过点作抛物线L的切线，设切点为，则，得，解得，又，即，设，又，；，2011年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】（理科数学）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第1至第2页，第卷第3页至第4页全卷满分150分，考试时间120分钟 第卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）【2011广东理，1】1设复数满足，其中为虚数单位，则 ( ) A B C D 【答案】B 【解析】依题意得，故选【2011广东理，2】2已知集合为实数,且,为实数,且,则的元素个数为( ) A0 B1 C2 D3 【答案】C【解析】 题意等价于求直线与圆的交点个数,画大致图像可得答案【2011广东理，3】3若向量，满足且，则( ) A4 B3 C2 D1 【答案】D【解析】因为且,所以，从而【2011广东理，4】4设函数和分别是实数集上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A是偶函数 B是奇函数 C是偶函数 D是奇函数【答案】A【解析】 依题意,故,从而 是偶函数，故选AxyO2A【2011广东理，5】5已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为 ( ) A B C D 【答案】C【解析】 目标函数即,画出可行域如图所示，代入端点比较之，易得当时取得最大值,故选C【2011广东理，6】6甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A B C D 【答案】D【解析】设甲队获得冠军为事件,则包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率,从而选D【2011广东理，7】7如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( ) A B C D 【答案】B【解析】该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面，高为的四棱柱，又平行四边形的底边长为,高为,所以面积,从而所求几何体的体积,故选B【2011广东理，8】8设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集, ,且,有；,有,则下列结论恒成立的是 ( ) A中至少有一个关于乘法是封闭的 B中至多有一个关于乘法是封闭的 C中有且只有一个关于乘法是封闭的 D中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A【解析】 因为,故必有或,不妨设,则令,依题意对,有,从而关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取,则为所有负整数组成的集合,显然封闭,但显然是不封闭的,如;同理,若奇数，偶数，显然两者都封闭，从而选A二、填空题：本大题共7小题考生作答6小题每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）【2011广东理，9】9不等式的解集是 【答案】【解析】解法一:原不等式或或，解得,从而原不等式的解集为.解法二(首选):的几何意义为到点的距离与到点的距离的差,画出数轴易得.解法三:不等式即,平方得,解得. 【2011广东理，10】10的展开式中的系数是 （用数字作答）【答案】 84【解析】题意等价于求的展开式中的系数,令得,故所求系数为【2011广东理，11】11等差数列的前9项和等于前4项和，若，则 【答案】 10【解析】由得,故【2011广东理，12】12函数在 处取得极小值【答案】 2【解析】 ,当或时，；当时，故当时，取得极小值【2011广东理，12】13 某数学老师身高176cm，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是173cm,170cm和182cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 cm【答案】 185【解析】抓住“儿子的身高与父亲的身高有关”提炼数据易得平均值,于是，从而，,，所以线性回归方程为，当时，第卷（非选择题 共90分）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）二、填空题：（每小题5分，共25分）【2011广东理，14】14（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0q p )和（tR），它们的交点坐标为 【答案】【解析】对应普通方程为,联立方程消去得,解得或(舍去),于是,故所求交点坐标为 【2011广东理，15】15（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别做圆的切线和割线交圆于，两点，且，是圆上一点使得，则 【答案】【解析】结合弦切角定理易得,于是, 代入数据解得三、解答题：（本大题共6小题，共80分）【2011广东理，16】16（本小题满分12分）已知函数() 求的值； () 设，求的值【解析】 () ；() 因为，所以，因为所以，又所以，所以【2011广东理，17】17（本小题满分13分）为了解甲，乙两厂的产品质量，采取分层抽样的方法从甲，乙两厂的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号123451691781661751807580777081() 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；() 当产品中微量元素满足且时，该产品为优等品用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；() 从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽出的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）【解析】 解：() 乙厂生产的产品数量为件；() 样本中满足，且的产品有件,故样本频率为,则可估计乙厂生产的优等品数量为件；() 的可能取值为,且,【或者】故的分布列为012的数学期望【2011广东理，18】18（本小题满分13分）如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，PB=2，分别是，的中点() 证明：平面；() 求二面角的平面角【解析】 ()取AD的中点G，又PA=PD，由题意知ABC是等边三角形，又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，()由（1）知为二面角的平面角，在中，；在中，；在中， 另解：（）连接，xyzM 因为是边长为的菱形，且， 是的中点，所以均为正三角形， 且， 所以 所以，从而， 取的中点，连接，因为，所以, 又，所以平面，所以， 在中，因为分别是的中点，所以，所以 又，所以平面. （）解法一:由（）知为二面角的平面角,易得,在中,由余弦定理得所以二面角的余弦值为解法二:先证明平面，即证明即可，在中，；在中，所以在中，在中，故为直角三角形，从而.建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设平面的一个法向量为，则，从而，解得，令得显然平面的一个法向量为，从而，所以二面角的余弦值为【2011广东理，19】19（本小题满分14分）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切() 求圆的圆心轨迹的方程；() 已知点,且为上动点，求的最大值及此时点的坐标【解析】 （）设圆的圆心为，半径为，圆的圆心为,半径为2；圆的圆心为,半径为2；依题意,有或，所以所以圆的圆心轨迹是以原点为中心,焦点在轴上,焦距为,实轴长为的双曲线,因此,故轨迹的方程为. （）易得过点的直线的方程为, 联立方程，消去得,解得, 则直线与双曲线的交点为, 因为在线段外,所以, 因为在线段内,所以, 若点不住上,则, 综上, 的最大值为,此时点的坐标为.解析二：() 两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，由题意得或，可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则，所以轨迹L的方程为() ，仅当时，取，由知直线，联立并整理得解得或(舍去)，此时所以最大值等于2，此时【2011广东理，20】20（本小题满分14分）设，数列满足,() 求数列的通项公式；() 证明：对于一切正整数，【解析】 （）由得, 当时, , 所以是以首项为,公差为的等差数列, 所以,从而. 当时, ,所以是首项为，公比为的等比数列,所以，从而. 综上所述，数列的通项公式为 （）当时,不等式显然成立； 当时,要证,只需证,即证 (*) 因为 所以不等式（*）成立，从而原不等式成立；综上所述，当时，对于一切正整数,解析二：() 解法一：，得，设，则，（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，即，（）当时，设，则，令，得，知是等比数列，又，解法二：（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，即，（）当时，猜想，下面用数学归纳法证明：当时，猜想显然成立；假设当时，则，所以当时，猜想成立，由知，()（）当时， ，故时，命题成立；（）当时，以上n个式子相加得，故当时，命题成立；综上（）（）知命题成立【2011广东理，21】21（本小题满分14分）在平面直角坐标系上，给定抛物线，实数满足，是方程的两根，记(1) 过点作L的切线交轴于点B证明：对线段AB上的任一点，有；(2) 设是定点，其中满足过作的两条切线，切点分别为，与轴分别交于线段上异于两端点的点集记为，证明：； (3) 设，当点取遍时，求的最小值（记为）和最大值（记为）【解析】 （）因为,所以,过点的切线方程为 即,从而,又在直线上,故,其中 所以方程为,解得, 由于,且同号,所以,所以 （）过点且切点为的的切线方程为: 因为,所以且,因为, 所以,即 即,所以,所以 因为,且同号,所以 反之也成立,所以, 由（）可知,反之,逆推也成立,所以， 综上,. （）此题即求当点取遍时,方程的绝对值较大的根的最大值与最小值, 解方程得,因为, 令,解得或，所以， 因为，所以，于是， 所以，所以， 设（），令，则， 则，所以 综上，当或时，；当时，() 联立，得交点，可知，过点作抛物线L的切线，设切点为，则，得，解得，又，即，设，又，；，解析二：(1) ，直线AB的方程为，即，方程的判别式，两根或，又，得，(2) 由知点在抛物线L的下方，当时，作图可知，若，则，得；若，显然有点； 当时，点在第二象限，作图可知，若，则，且；若，显然有点； 根据曲线的对称性可知，当时，综上所述，（*）；由（）知点M在直线EF上，方程的两根或，同理点M在直线上，方程的两根或，若，则不比、小，又，；又由（）知，；，综合（*）式，得证(3) 联立，得交点，可知，过点作抛物线L的切线，设切点为，则，得，解得，又，即，设，又，；，2011年全国高考【广东卷】（理科数学）试题 第11页（共11页）