2015年广东高考（理科）数学试题及答案.pdf

12015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分分.1若集合，则|(4)(1)0Mxxx=+=|(4)(1)0Nxxx=-=MN=A B C D 1,4 01,4 2若复数 z=i(3 2 i)(i 是虚数单位)，则=z A3-2i B3+2i C2+3i D2-3i 3下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A B C D xexyxxy1xxy212 21xy 4袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球。从袋中任取 2 个球，所 取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为 A1 B.C.D.21112110215 5平行于直线且与圆相切的直线的方程是 012 yx522 yx A或 B.或 052 yx052 yx052 yx052 yx C.或 D.或 052 yx052 yx052 yx052 yx6若变量 x，y 满足约束条件则的最小值为 2031854yxyxyxz23 A B.6 C.D.4 5315237已知双曲线 C：的离心率 e=，且其右焦点 F2(5,0)，则双曲线 C 的方程为 （）12222byax45 A B.C.D.13422yx191622yx116922yx14322yx8若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值 A大于 5 B.等于 5 C.至多等于 4 D.至多等于 3 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 7 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分分（一）必做题（一）必做题（9-139-13 题）题）9在的展开式中，x 的系数为 。4)1(x 10在等差数列中，若，则=。na2576543aaaaa82aa 11设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c.若 a=，sinB=，C=，则 b=。3216 12.某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字作答）13某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写 了 条毕业留言。（用数字做答）（二）选做题（二）选做题（14-1514-15 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题）14(坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的极坐标方程为，点 A 的极坐标为 A(,24sin(2）22)，则点 A 到直线 l 的距离为 。47 15.（几何证明选讲选作题）如图 1，已知 AB 是圆 O 的直径，AB=4，EC 是圆 O 的切线，切点为 C，BC=1，过圆心 O 做 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P，则 OD=。三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分解答须写出文分解答须写出文字 说 明、字 说 明、证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤 16（本小题满分（本小题满分 12 分）分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m=（，），n=（sin x，cos x），x（0，）。22222图 1POECDAB2 （1）若 mn，求 tan x 的值 （2）若 m 与 n 的夹角为，求 x 的值。3 17（本小题满分（本小题满分 12 分）分）某工厂 36 名工人的年龄数据如下表。工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39 （1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的平均值和方差；x2s（3）36 名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 0.01）？sx sx 18（本小题满分（本小题满分 14 分）分）如图 2，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，.点 E4PDPC=6AB=3BC=是 CD 边的中点，点 F，G 分别在线段 AB，BC 上，且，.2AFFB=2CGGB=（1）证明：；PEFG（2）求二面角的正切值；PADC-（3）求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.19（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）设 a1，函数。aexxfx)1()(2 (1)求的单调区间；)(xf (2)证明：在（，+）上仅有一个零点；)(xf (3)若曲线在点 P 处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线 OP 平行（O 是坐标原()yf x=x(,)M m n点）,证明：123eam 20（本小题满分（本小题满分 14 分）分）已知过原点的动直线 与圆相交于不同的两点 A，B.l221:650Cxyx+-+=（1）求圆的圆心坐标；1C（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线 C 只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不k:(4)L yk x=-k存在，说明理由.21（本小题满分（本小题满分 14 分）分）数列满足,.na1212242 nnnnaaa*Nn (1)求的值；3a (2)求数列前 n 项和 Tn；na(3)令，（），证明：数列的前 n 项和 11bannnannTb）131211(1 2nnbnS图 2ADCBHFGE3满足 nSnln22 2015 广东高考数学（理）试题（参考答案）广东高考数学（理）试题（参考答案）1、A 2、D 3、A 4、C 5、D 6、C 7、B 8、C 9、610、1011、112、156013、15、8 1352216、4 5 6 7 以下为选择填空解析！以下为选择填空解析！一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。目要求的。1.若集合，则|(4)(1)0,|(4)(1)0MxxxNxxxMN A.1,4 B.1,4 C.0 D.【答案】D【解析】，1,40)1)(4(xxxM 4,10)1)(4(xxxN NM2.若复数（是虚数单位），则(32)ziiiz A.23i B.23i C.32i D.32i【答案】A【解析】，23)23(iiiz iz323.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 2A.1yx 1B.yxx 1C.22xxy D.xyxe【答案】D【解析】A 和 C 选项为偶函数，B 选项为奇函数，D 选项为非奇非偶函数 4.袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球，从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰好有 1 个白球，1 个红球的概率为 5A.21 10B.21 11C.21 D.1【答案】B【解析】211021515110CCCP 5.平行于直线且与圆相切的直线的方程是 2+1=0 x y225xy A.250250 xyxy或 B.250250 xyxy或 C.250250 xyxy或 D.250250 xyxy或【答案】A【解 析】设 所 求 直 线 为，因 为 圆 心 坐 标 为（0，0），则 由 直 线 与 圆 相 切 可 得 02cyx，解得，所求直线方程为 55122ccd5c052052yxyx或86.若变量满足约束条件，则的最小值为,x y4581302xyxy32zxy A.4 23B.5 C.6 31D.5【答案】B【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标 函数，则当目标函数过点（1，），32zxy85取最小值为 32zxy235 7.已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为 2222:1xyCab54e 2(5,0)FC 22A.143xy 22B.1916xy 22C.1169xy 22D.134xy【答案】C【解析】由双曲线右焦点为，则 c=5，)0,5(2F445aace ，所以双曲线方程为 9222acb191622yx8.若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值 nn A.3至多等于 B.4至多等于 C.5等于 D.5大于【答案】B【解析】当时，正三角形的三个顶点符合条件；当时，正四面体的四个顶点符合条件 3n4n故可排除 A，C，D 四个选项，故答案选 B 二、填空题：本大题二、填空题：本大题 共共 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分.（一）必做题（一）必做题（9-13 题）题）9.在的展开式中，的系数为 .4x（-1）x【答案】6【解析】，则当时，的系数为 2444411rrrrrrxCxC2rx61242C10.在等差数列中，若，则 .na3456725aaaaa28aa【答案】10【解析】由等差数列性质得，解得，所以 255576543aaaaaa55a102582aaa11.设的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，则 b=.ABC3a 1sin2B 6C【答案】1【解析】，又，故，所以 656,21sin或BB6C6B32A 由正弦定理得，所以 BbAasinsin1b12.某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字作答）【答案】1560 13.已知随机变量 X 服从二项分布，则 .(,)B n p()30E X()20D X p【答案】31【解析】，解得 30 npXE 20)1(pnpXD31p（二）选做题（二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题），14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线 的极坐标方程为，点的极坐标为，则l2 sin()24A7(2 2,)4A点到直线 的距离为 .Al【答案】225【解析】2)cos22sin22(2)4sin(21cossin即直线 的直角坐标方程为，点 A 的直角坐标为（2，-2）l011yxxy，即A 到直线的距离为 2252122d15.(几何证明选讲选做题)如图 1，已知是圆的直径，,是圆的切线，切点为，过圆ABO4AB ECOC1BC 心作的平行线，分别交和于点和点，则=.OBCECACDPOD【答案】8【解析】图 1 如图所示，连结 O，C 两点，则,CDOC ACOD 90ACDCDO,90CABCBACBAACD，CABCDO9则，所以,所以 BCOCABOD8OD