2014年广东高考（理科）数学试题及答案.pdf

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）-1 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 1,0,1M ，0,1,2N，则MN A.1,0,1 B.1,0,1,2 C.1,0,2 D.0,1 2已知复数 Z 满足(34)25i z，则 Z=A.34i B.34i C.34i D.34i 3若变量,x y满足约束条件121yxxyzxyy 且的最大值和最小值分别为m和n，则mn A.8 B.7 C.6 D.5 4若实数 k 满足09k，则曲线221259xyk与曲线221259xyk的 A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等 5已知向量1,0,1a，则下列向量中与a成60夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是 A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100，10 7若空间中四条两两不同的直线1234,l l l l，满足122334,ll ll ll，则下面结论一定正确的是 A.14ll B.14/ll C.14,l l既不垂直也不平行 D.14,l l的位置关系不确定 8 设 集 合12345=,1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x xxi，那 么 集 合A 中 满 足 条 件“1234513xxxxx”的元素个数为 A.60 B.90 C.120 D.130 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913 题）9不等式521xx的解集为 。10曲线25 xey在点)3,0(处的切线方程为 。11从 0,1,2,3,4,5,6,7,8，9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为 。12在ABC中，角CBA,所对应的边分别为cba,，已知bBcCb2coscos，则ba 。13若等比数列 na的各项均为正数，且512911102eaaaa，则1220lnlnlnaaa 。（二）选做题（1415 题，考生从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C和2C的方程分别为2sincos和sin1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C和2C交点的直角坐标为_.15（几何证明选讲选做题）如图 3,在平行四边形ABCD中，点E在AB上且AEEB2，AC与DE交于点F，则 的面积的面积AEFCDF 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16（本小题满分 12 分）已知函数RxxAxf),4sin()(，且23)125(f，（1）求A的值；（2）若23)()(ff，)2,0(，求)43(f。17（本小题满分 13 分）随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率 25,30 3 0.12(30,35 5 0.20(35,40 8 0.32(40,45 n1 f 1 (45,50 n2 f 2 （1）确定样本频率分布表中121,n nf和2f的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30,35的概率。18（本小题满分 13 分）如图 4，四边形ABCD为 正 方 形，PD 平面ABCD，030DPC，AFPC于点F，/FECD，交PD于点E.CEABFD小学生3500 名初中生4500 名高中生2000 名小学初中30高中10年级50O近视率/%ABCDEFP2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）-2（1）证明：CFADF 平面（2）求二面角DAFE的余弦值。19（本小题满分 14 分）设数列 na的前n和为nS,满足2*1234,nnSnann nN，且315S，(1)求123,a a a的值;(2)求数列 na的通项公式。20（本小题满分 14 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为(5,0)，离心率为53，（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若动点00(,)P xy为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程。21（本小题满分 14 分）设函数2221()(2)2(2)3f xxxkxxk，其中2k ，（1）求函数()f x的定义域 D（用区间表示）；（2）讨论函数()f x在 D 上的单调性；（3）若6k ，求 D 上满足条件()(1)f xf的x的集合（用区间表示）。2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）答案 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）-3 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的 1.已知集合则（B）1,0,1,0,1,2,MN MNA B.C.D.1,0,1 1,0,1,2 1,0,20,12.已知复数 Z 满足则 Z=（A）(34)25,i zA B.C.D.34i34i34i 34i 3.若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为 m 和 n，则（C）,x y121yxxyzxyy 且mnA8 B.7 C.6 D.5 4.若实数 k 满足09,k则曲线221259xyk与曲线221259xyk的（D）A离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等 5.已知向量1,0,1,a 则下列向量中与a成60夹角的是（B）A（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（A）A、200,20 B、100,20 C、200,10 D、100,10 7、若空间中四条两两不同的直线1234,l l l l满足122334,ll ll ll，则下列结论一定正确的是（D）A14ll B14/ll C14,l l既不垂直也不平行 D14,l l的位置关系不确定 8.设集合12345=,1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x xxi，那么集合A 中满足条件“1234513xxxxx”的元素个数为（D）A60 B90 C.120 D.130.解：A 中元素为有序数组12345,x x x x x，题中要求有序数组的 5 个数中仅 1 个数为1、仅 2 个数为1或仅 3 个数为1，所以共有12355522 22 2 2130CCC 个不同数组；二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分（一）必做题（一）必做题（913 题）题）9不等式521xx的解集为(,3)(2,)。10曲线25 xey在点)3,0(处的切线方程为53yx。11从 0,1,2,3,4,5,6,7,8，9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为16。11.解：6 之前 6 个数中取 3 个，6 之后 3 个数中取 3 个，336331016CCPC 12在ABC中，角CBA,所对应的边分别为cba,，已知bBcCb2coscos，则ba 2 。13若等比数列 na的各项均为正数，且512911102eaaaa，则naaa221lnlnln 50 。（二）选做题（二）选做题（1415 题，考生从中选做一题）题，考生从中选做一题）14、（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 C1和 C2的方程分别为2sincos和sin1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1和 C2的交点的直角坐标为 (1,1).15、（几何证明选讲选做题）如图 3，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上且 EB2AE，AC 与 DE 交于点F，则CDFAEF的面积的面积 9 .三、三、解答题：本大题共解答题：本大题共6小题，满分小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16、（12 分）已知函数RxxAxf),4sin()(，且23)125(f，（1）求A的值；（2）若23)()(ff，)2,0(，求)43(f。16.解：（1）553()sin()121242fA，3322A，3A；()f()f 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）-4（2）3()()3sin()3sin()442ff，2233(sincos)(sincos)222，36cos2，6cos4，又)2,0(，210sin1 cos4，)43(f303sin()3sin4 17、（13 分）随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,n nf和2f的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30,50 的概率。17.解：（1）127,2nn，120.28,0.08ff；（2）样本频率分布直方图为 （3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35的概率 0.2，设所取的 4 人中，日加工零件数落在区间（30,35的人数为，则(4,0.2)B，4(1)1(0)1(1 0.2)1 0.40960.5904PP ，所以 4 人中，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30,50的概率约为 0.5904 18、（13 分）如图 4，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，DPC30，AF式 PC 于点 F，FECD，交PD 于点 E。（1）证明：CF平面 ADF；（2）求二面角 DAFE 的余弦值。18.（）PD 平面ABCD，PDAD，又CDAD，PDCDD，AD平面PCD，ADPC，又AFPC，PC平面ADF，即CFADF 平面；（）设1AB，则Rt PDC中，1CD，又030DPC，2PC，3PD，由（）知CFDF 32DF，2272AFADDF，2212CFACAF，又/FECD，14DECFPDPC，34DE，同理3344EFCD，如图所示，以 D 为原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)A，3(,0,0)4E，3 3(,0)44F，(3,0,0)P，(0,1,0)C，设(,)mx y z是平面AEF的法向量，则mAEmEF ，又3(,0,0)43(0,0)4AEEF ，所以304304m AExzm EFy ，令4x，得3z，(4,0,3)m，由（）知平面ADF的一个法向量(3,1,0)PC ，设二面角DAFE的平面角为，可知为锐角，|cos|cos,|m PCm PCmPC 4 32 5719192，即所求 19.（14 分）设数列 na的前n和为nS,满足2*1234,nnSnann nN，且315S。(1)求123,a a a的值;(2)求数列 na的通项公式;19.解：23420Sa，3233520SSaa，又315S，37a，234208Sa，又212222(27)37SSaaaa，25a，112273aSa，综上知13a，25a，37a；（）由（）猜想21nan，下面用数学归纳法证明 当1n 时，结论显然成立；假设当nk（1k）时，21kak，则3(21)357(21)(2)2kkSkkk k，又21234kkSkakk，21(2)234kk kkakk，解得1246kak，日加工零件数频率组距0.0160.0240.040.0560.06425 30 35 40 45 500ABCDEFPxyz2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）-5 12(1)1kak，即当1nk时，结论成立；由知，*,21nnNan 20.（14 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为(5,0)，离心率为53，（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若动点00(,)P xy为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程。20.解：（）可知5c，又53ca，3a，2224bac，椭圆 C 的标准方程为22194xy；（）设两切线为12,l l，当1lx轴或1/lx轴时，对应2/lx轴或2lx轴，可知(3,2)P；当1l与x轴不垂直且不平行时，03x ，设1l的斜率为k，则0k，2l的斜率为1k，1l的方程为00()yyk xx，联立22194xy，得2220000(94)18()9()360kxykx kxykx，因为直线与椭圆相切，所以0，得222200009()(94)()40ykxkkykx，2200364()40kykx，2220000(9)240 xkx y ky 所以k是方程2220000(9)240 xxx y xy的一个根，同理1k是方程2220000(9)240 xxx y xy的另一个根，1()kk 202049yx，得220013xy，其中03x ，所以点 P 的轨迹方程为2213xy（3x ），因为(3,2)P 满足上式，综上知：点 P 的轨迹方程为2213xy 21.（本题 14 分）设函数2221()(2)2(2)3f xxxkxxk，其中2k ，（1）求函数()f x的定义域 D；（用区间表示）（2）讨论()f x在区间 D 上的单调性；（3）若6k ，求 D 上满足条件()(1)f xf的x的集合。21.解：（）可知222(2)2(2)30 xxkxxk，22(2)3(2)10 xxkxxk，223xxk 或221xxk，2(1)2xk (20)k 或2(1)2xk(20)k，|1|2xk 或|1|2xk，12k 12xk 或12xk 或12xk ，所以函数()f x的定义域 D 为(,12)k (12,k 12)k (12,)k；（）232222(2)(22)2(22)()2(2)2(2)3xxkxxfxxxkxxk 23222(21)(22)(2)2(2)3xxkxxxkxxk，由()0fx 得2(21)(22)0 xxkx，即(1)(1)(1)0 xkxkx ，1xk 或11xk ，结合定义域知12xk 或112xk ，所以函数()f x的单调递增区间为(,12)k ，(1,12)k ，同理递减区间为(12,1)k ，(12,)k；（）由()(1)f xf得2222(2)2(2)3(3)2(3)3xxkxxkkk，2222(2)(3)2(2)(3)0 xxkkxxkk，22(225)(23)0 xxkxx，(124)(124)(3)(1)0 xkxkxx ，124xk 或124xk 或3x 或1x，6k ，1(1,12)k ，3(12,1)k ，12412kk ，12412kk ，结合函数()f x的单调性知()(1)f xf的解集为(124,12)kk (12,3)k (1,12)k (12,124)kk