2015年海南省高考数学试题及答案（文科）.pdf

20152015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。3答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。第卷 一、选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.已知集合21|xxA，30|xxB，则 AB=A.)3,1(B.)0,1(C.)2,0(D.)3,2(2.若a为实数，且iiai312，则a A.4 B.3 C.3 D.4 3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是 2 27 70 00 02 26 60 00 02 25 50 00 02 24 40 00 02 23 30 00 02 22 20 00 02 21 10 00 02 20 00 00 01 19 90 00 02 20 01 13 3(年年)2 20 01 12 22 20 01 11 12 20 01 10 02 20 00 09 92 20 00 08 82 20 00 07 72 20 00 06 62 20 00 05 52 20 00 04 4 A.逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效果显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4.向量向量 a=(1，-1)b=(-1，2)，则（2a+b）.a=A.1 B.0 C.1 D.2 5.设nS是数列na的前n项和，若3531aaa，则5S A.5 B.7 C.9 D.11 6.一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A.81 B.71 C.61 D.51 7.已知三点)0,1(A，)3,0(B，)3,2(C，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为 A.35 B.321 C.352 D.34 8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a、b分别为 14、18，则输出的a A.0 B.2 C.4 D.14 9.已知等比数列na满足411a，)1(4453aaa，则2a A.2 B.1 C.21 D.81 10.已知A、B是球O的球面上两点，90AOB，C为该球面上的动点.若三棱锥ABCO体积的最大值为 36，则球O的表面积为 A.36 B.64 C.144 D.256 11.如图，长方形ABCD的边2AB，1BC，O是AB的中点，点P沿着BC、CD与DA运动，记xBOP.将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数)(xf，则)(xfy 的图象大致为 12.设函数211|)|1ln()(xxxf，则使得)12()(xfxf成立的x的取值范围是 A.)1,31(B.),1()31,(U C.)31,31(D.),31()31,(U 二填空题：共二填空题：共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分.13.已知函数xaxxf2)(3的图象过点)4,1(，则a .14.若x、y满足约束条件01201205yxyxyx，则yxz 2的最大值为 .15.已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为xy21，则该双曲线的标准方程为 .16.已知曲线xxyln在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2xaaxy相切，则a .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17、（本小题满分 12 分）ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD=2DC.（I）求sinsinBC；（II）若BAC=60,求B.18、（本小题满分 12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得分 A 地区用户满意评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表.B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 50,60)60，70)70，80)80，90)90，100)频数 2 8 14 10 6(I)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频数分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）(II)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级；满意度评分 低于 70 分 70 分到 80 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.19、（本小题满分 12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8,点 E，分别在 A1B1,D1C1 上，A1E=D1F=4.过点 E,F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.20、（本小题满分 12 分）已知椭圆 C：22221xyab（ab0）的离心率为22，点（2，2）在 C 上.（I）求 C 的方程.（II）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.21、（本小题满分 12 分）已知函数 f（x）=ln x+a（1-x）（I）讨论 f（x）的单调性；（II）当 f（x）有最大值，且最大值大于 2a-2 时，求 a 的取值范围.请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。22、（本小题满分 10 分）选修 4-1，几何证明选择 如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，圆 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点，与底边上的高 AD 交于 G,且与 AB，AC 分别相切于 E,F 两点.（I）证明：EF/BC;（II）若 AG 等于圆 O 的半径，且 AE=MN=23，求四边形 EBCF 的面积 23、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直线坐标系 xOy 中，曲线 C1：cossinx ty t（t 为参数，t0）其中 0.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：p=2sin，C3：p=23cos。（I）求 C1 与 C3 交点的直角坐标；（II）若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值.24、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d.证明：（I）若 abcd，则abcd;（II）abcd是|a-b|c-d|的充要条件.20152015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题答案文科数学试题答案 一.选择题（1）A （2）D （3）D （4）C （5）A （6）D（7）B （8）B （9）C （10）C （11）B （12）A 二.选择题（13）-2 （14）8 （15）2214xy （16）8 三.解答题（17）解：（）由正弦定理得,.sinsinsinsinADBDADDCBBADCCAD 因为 AD 平分,2,BAC DBDC所以sin1.sin2BDCCBD（）因为所以00180,60,CBACBBAC 31sinsincossin.22CBACBBB 由（）知 所以 即。2sinsin,BC3tan,3B030B（18）解：（）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而 A 地区用户满意度评分比较分散。（）A 地区用户满意度等级为不满意的概率大。记 CA表示事件：“A 地区用户满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”。由直方图得 P(CA)的估计值为（0.01+0.02+0.03）10=0.6，P(CB)的估计值为（0.005+0.02）10=0.25.所以 A 地区用户满意度等级为不满意的概率大。（19）解：（）交线围成的正方形 EHGF 如图：（）作 EMAB,垂足为 M，则 AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8.因为 EHGF 为正方形，所以 EH=EF=BC=10.于是 MH=.因为长方体被平面分为两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比226,10,6EHEMAHHB值为（也正确）9779（20）解：（）由题意有，2222242,12abaab解得 。所以 C 的方程为 228,4ab221.84xy （）设直线将代入1122:(0,0),(,),(,),(,).MMl ykxb kbA x yB xyM xyykxb22184xy得 222(21)4280kxkbxb 故 12222,22121mmmxxkbbxyk xbkk 于是直线 OM 的斜率 11,.22momommykkkxk 中 所以直线 OM 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值。l（21）解：（）f（x）的定义域为 1(0,),()fxax若则所以单调递增。0,a()0,fx()(0,)f x中若，则当时，当时，所以在单调递增，在0a 1(0,)xa()0,fx 1(,)xa()0,fx()f x1(0,)a单调递减。1(,)a（）由（）知，当时，无最大值；当时，在取得最大值，最0a()(0,)f x中0a()f x1xa大值为。111()1()(1)11fnanaaaaa 因此 等价于 1()22faa110naa 令，则在单调递增，()11g anaa()g a(0,)(1)0g于是，当时；当时，01a()0g a 1a()0g a 因此，的取值范围是 a(0,1)（22）解：（）由于是等腰三角形，,所以是的平行线。又因为分别于，ABCADBCADCABOAB相切于点，所以，故从而。ACEFAEAFADEFEFBC （）由（）知，故是的垂直平分线，又为的弦，所以在AEAFADEFADEFEFOO上。AD 连接,则 OE OMOEAE 由等于的半径得,所以.因AGO2AOOE030OAE此和都是等边三角形。ABCAEF 因为，所以，。2 3AE 4AO 2OE 因为，所以于是2OMOE132DMMN1OD 10 35,3ADAB 所以四边形的面积为 EBCF22110 331316 3()(2 3)232223（23）解：（）曲线 C2的直角坐标方程为曲线 C3的直角坐标方程为 2220,xyy222 30.xyx 联立 解得 或 222220,2 30.xyyxyx0,0,xy3,23,2xy 所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0,0)和 3 3,.22 （）曲线 C1的极坐标方程为 ,0,0.aRa中 中 因此 A 的极坐标为B 的极坐标为所以2sin,a a2 3cos,.a a当时，取得最大值，最大值为 4.2sin2 3cos4 sin.3ABaaa56aAB（24）解：（）因为 222,2,abababcdcdcd 由题设，得。abcdabcd22abcd 因此。abcd （）（i）若则，即,abcd22abcd224()4.ababcdcd 因为，所以 abcdabcd 由（）得 abcd （ii）若，则，即 abcd22abcd22ababcdcd 因为，所以.于是 abcdabcd2222()44abababcdcdcd 因此.abcd 综上，是的充要条件 abcdabcd 选择填空解析 1.【答案】A【解析】因为,所以故选 A.|12Axx|03Bxx|13.ABxx 2【答案】D【解析】由题意可得,故选 D.2i1 i3i24i4aa3【答案】D【解析】由柱形图可知 2006 年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选 D.4【答案】C【解析】试题分析：由题意可得,所以.故选 C.21 12 a123,a b222431abaaa b5【答案】A【解析】试题解析：由,所有.故选 A.13533331aaaaa15535552aaSa6【答案】D【解析】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,1656所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选 D.157【答案】B【解析】试 题 分 析：外 接 圆 圆 心 在 直 线 BC 垂 直 平 分 线 上 即 直 线上,设 圆 心 D,由 DA=DB 得ABC1x 1,b,所以圆心到原点的距离.故选 B.22 2133bbb222 221133d8【答案】B【解析】试题分析：由题意可知输出的 a 是 18,14 的最大公约数 2,故选 B.9【答案】C【解析】试题分析：由题意可得,所以,故,选 C.235444412a aaaa34182aqqa2112aa q10【答案】C【解析】试题分析：设球的半径为 R,则AOB 面积为,三棱锥 体积最大时,C 到平面 AOB 距离最大且为 R,212ROABC此时,所以球 O 的表面积.故选 C.313666VRR24144SR11【答案】B【解析】试题分析：由题意可得,由此可排除 C,D；当时点2 2,512424ffff 04x在边上，所以,可知PBCtanPBx2224tanPAABPBx 2tan4fxxtan x时图像不是线段,可排除 A,故选 B.0,4x12【答案】A【解析】试 题 分 析：由可 知是 偶 函 数,且 在是 增 函 数,所 以21()ln(1|)1f xxx f x0,.故选 A.2212121212113f xfxfxfxxxxxx 13【答案】-2【解析】试题分析：由可得.32f xaxx1242faa 14【答案】8【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域,的最50210210 xyxyxy 1,1,2,3,3,22zxy大值必在顶点处取得,经验算,时.3,2xymax8z15【答案】2214xy【解析】试题分析：根据双曲线渐近线方程为,可设双曲线的方程为,把代入12yx 224xym4,3224xym得.所以双曲线的方程为.1m 2214xy16【答案】8【解析】试题分析：由可得曲线在点处的切线斜率为 2,故切线方程为,与11yx lnyxx1,121yx 联立得,显然,所以由.221yaxax220axax0a 2808aaa