医学高等数学习题解答(1-2-3-6).doc

第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)
一、判断题题解
1. 正确。设h(x)=f(x)+f(-x), 则h(-x)= f(-x)+f(x)= h(x)。故为偶函数。
2. 错。y=2lnx的定义域(0,+¥), y=lnx2的定义域(-¥,0)∪(0,+¥)。定义域不同。
3. 错。。故无界。
4. 错。在x0点极限存在不一定连续。
5. 错。逐渐增大。
6. 正确。设，当x无限趋向于x0,并在x0的邻域内，有。
7. 正确。反证法：设F(x)=f(x)+g(x)在x0处连续，则g(x) =F(x)-f(x)，在x0处F(x)，f(x)均连续，从而g(x)在x=x0处也连续，与已知条件矛盾。
8. 正确。是复合函数的连续性定理。
二、选择题题解
1.
2. y=x (C)
3. (A)
4. (B)
5. (B)
6. (D)
7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。 (A)
8. 设,则，连续，由介质定理可知。 (D)
三、填空题题解
1. Þ
2. 是奇函数，关于原点对称。
3. ,。
4. ,可以写成。
5. 设，，
6. 有界，，故极限为0。
7.
8. Þ,而，得c=6, 从而b=6, a=-7。
9.
10.
11. 设u=ex-1，
12. 由处连续定义，，得：a=1。
四、解答题题解
1. 求定义域
(1) , 定义域为和x=0
(2) ÞÞ定义域为
(3) 设圆柱底半径为r，高为h，则v=pr2h, ，则罐头筒的全面积，其定义域为(0,+¥)。
(4) 经过一天细菌数为，经过两天细菌数为,故经过x天的细菌数为，其定义域为[0,+¥)。
2. ，，。
3. ,。
4. 证明：。
5. 令x+1=t, 则x=t-1。，所以：。
6. 求函数的极限
(1) 原式=。
(2) 原式==。
(3) 原式==。
(4) 原式=。
(5) 原式==。（P289常见三角公式提示）
(6) 原式=，令，则，
令，则，，原式=。
(7) 原式=== e3。
(8) 原式==×= e2。
(9) 原式==。
(10) 令，则，原式=(填空题11)。
7. ，，，¼，
, =
8. 指出下列各题的无穷大量和无穷小量
(1) ，为无穷小量。
(2) ，为无穷小量。
(3) ，为无穷小量。
(4) ，为无穷大量。
9. 比较下列无穷小量的阶
，，当x®1时，1-x与1-x3是同阶无穷小。1-x与是等阶无穷小。
10. 当x®0时，x2是无穷小量，当x®¥时，x2是无穷大量；当x®±1时，是无穷小量，当x®0时，是无穷大量；当x®+¥时，e-x是无穷小量，当x®-¥时，e-x是无穷大量。
11. 。
12. ，，\b=1，=1，\a=-1
13. ，
14. 设，，，由介质定理推论知：在(0,2)上至少存在一点x0使得，即。
15. 设，它在[0,a+b]上连续，且，，若，则a+b就是方程的根。若，由介质定理推论知：至少存在一点xÎ(0, a+b), 使得,即x是的根。综上所述，方程至少且个正根，并且它不超过a+b。
16. (1)(g)；(2)(g)；(3)Þ(周)。
17. 设，则F(x)在[a,b]上连续，，，由介质定理推论知：至少存在一点xÎ(a, b), 使得。即。所以与在(a,b)内至少有一个交点。
第二章 一元函数微分学习题题解(P66)
一、判断题题解
1. 正确。设y=f(x), 则。
2. 正确。反证法。假设在x0点可导，则在x0点也可导，与题设矛盾。故命题成立。
3. 错。极值点也可能发生一阶导数不存在的点上。
4. 错。如图。
5. 错。拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。
6. 错。不满足拉格朗日中值的结论。
7. 错。设, ，则：，
显然在点的导数为1，在点的导数不存在，而在点的导数为0。是可导的。
8. 错。设和，显然它们在(-¥,+¥)上是单调增函数，但在点的导数为0，的导数不存在。
二、选择题题解
1. 设切点坐标为，则切线的斜率，切线方程为：过得，又有，解方程组得：，，切线方程为：。(A)
2. 可导一定连续。(C)
3. 连续但不可导。(C)
4. 因为。(B)
5. ，在x=0处导数不存在，但y1在x=0处切线不存在，y2在x=0处切线存在。(D)。
6. 可导。(C)
7. ，。(B)
8. 。(B)
三、填空题题解
1. ,。
2.
3. , 。
4. 。
5. ，当时，，单调调减小。
6. ÞÞ。
7. ，，当时，由减变增，取得极小值。
8. ，。
四、解答题题解
1.
2. (1)不存在，在不可导。
(2) ，在可导，且。
3. 不可导。
4. 过与两点的割线斜率为，抛物线过x点的切线斜率为，故，得，即为所求点。
5. 过点作抛物线的切线，设切点为，应满足方程，若方程有两个不等的实根x，则说明过点可作抛物线的两条切线。整理方程得：，当时，方程有两个不等的实根。也就是要满足即可。
6. 求下列函数的导数。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
7. 求下列函数的导数。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
8. ，。
9. 求下列函数的导数。
(1) ，，
(2) ，，

(3) ,，，，,
(4) ，,
10. 求下列函数的n阶导数。
(1) ，，，…，
(2) ，，，，…，
(3) ，，，，…，
11. 求下列隐函数的导数。
(1) ，，
(2) 同填空题3。, 。
(3) ÞÞ
(4) Þ
12. 求下列函数的微分。
(1)
(2)
(3)
(4)
13. 求、近似值。
(1) 设，则，取，，则，，故
(2) 设，则，取，，则，，故
14. 证明下列不等式。
(1) 设，则，在上单调递减。当时，，即，当时，，即，当时，，即，综上所述，当时，。
(2) 设,当时,,有,即；设,当时,,有,即；综上所述，当时，有。
(3) 设，则，当时,，有，即；当时,，有，即；综上所述。
15. 求下列函数的极限。
(1) ===
(2) ===…==0
(分子和分母分别求n阶导数，使n>q)
(3) =
===
(4) ==
(5) ====
====
(6) =
16. 证明下列不等式。
(1) 令,因为f ¢(x)=cosx-1<0 (x<0), 所以当x<0时f(x)↘, f(x)>f(0)=0 Þ sinx>x ；
令g(x)=, 则：g¢(x)=，g¢¢(x) = - sinx+x, g¢¢¢(x)= - cosx+1>0 (x<0), 有g¢¢(x)↗
Þg¢¢(x) <g¢¢(0)=0Þg¢(x)↘, g¢(x)>g¢(0)=0Þg(x)↗Þg(x)< g(0)=0 Þ sinx<x-x3/6。综上所述： x<sinx<x-x3/6
(2) 令, f(x)在[0,1]连续且f(0)=f(1)=1，f ¢(x)= p[xp-1-(1-x)p-1],令f ¢(x)=0得x=1/2为驻点。
f ¢¢(x)=p(p-1)[xp-2+(1-x)p-2]>0,有极小值，
17. 确定下列函数的单调区间。
(1) ，定义域(-¥,+¥)，，令，解得，增减性如下表：
x
(-¥,-)
-
(-,)

(,+¥)
y¢
+
0
-
0
+
y
↗

↘

↗
(2) ，定义域(-¥,+¥)，，令，解得，均是孤立驻点，故在(-¥,+¥)单调递增。
x
(-¥,-1)
-1
(-1,2)
2
(2,+¥)
y¢
+
0
-
0
+
y
↗

↘

↗
(3) ，定义域(-¥,+¥)，
=，令，解得，增减性如右表：
x
(-1,0)
0
(0,+¥)
y¢
-
0
+
y
↘
极小值
为0
↗
18. 求下列函数的极值。
(1) ，定义域(-1,+¥)，=，令，解得，极值见右表：
x
(0,)

(,+¥)
y¢
-
0
+
y
↘
极小值为
↗
(2) ，定义域(0,+¥)，=，
令，解得，极值见如右表：
(3) ，定义域(-¥,0)∪(0,+¥)，，，令，解得，有极大值，有极小值。
19. 求下列函数在所给区间内的最大值和最小值。
(1) 是[-1,1]上的连续函数，减函数且无驻点，但有一个不可导点，它不在[-1,1]上，故，。
(2) 是[-10,10]上的连续函数，此函数可用分段函数表示，，令，得：，，，，，比较得：，。
(3) 是[-5,5]上的连续函数，此函数可用分段函数表示，分段点为，，，无驻点。，，比较得：，。
20. ，，，因为(1,3)为曲线的拐点，所以有，解之得：，。
21. ，，，令，解得，，，，可验证是曲线的三个拐点。下面论证此三点在一条直线上。只要证明过任意两点的直线的斜率相同即可。
，，得证。
22. ，两端对t求导数：
Þ
23．设，，
。
24. (1)求出现浓度最大值的时刻：,,令，解得唯一驻点。，
===有极大值。也为最大值。
(2)求出现浓度变化率最小值的时刻：令，解得唯一驻点。
,=
==有极小值。也为最小值。
25. 求何时达最大值。Þ…①，
Þ…②，
，令，得：。
由Þ，而Þw=341.5，由①得无解。
由Þ，得：是唯一驻点。，
当时，，，，有极大值。也为最大值。
26. 讨论下列函数的凹凸性和拐点
x

+
0
-
0
+
y
凹
拐点
3/4
凸
拐点
3/4
凹
(1) ，定义域(-¥,+¥)，，，令，得，，列表讨论。
(2) ,定义域(-¥,+¥),,,令,得,,当
时,,曲线是凹的。当时,,曲线是凸的。拐点为：。
27. 讨论下列函数的单调性、极值、凹凸性、拐点和渐进线，并画出它们的大致图形。
(1) ，定义域(-¥,+¥)，是偶函数，，有水平渐进线，，
x

0

+
+
+
0
-
-
-

+
0
-
0
-
0
+
y

拐
点

极
大

拐
点

(2) ，定义域(-1,1)，是奇函数，，有垂直渐进线，无驻点，但当时导数不存在。，令，得。
x
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1

无
+
-
+
无

无
-
0
+
无
y

拐点
0

(3) ，定义域(-¥,+¥)，是奇函数，无渐进线。，，令，得驻点，令，得，列表讨论。,,
x

0

+
0
-
-
-
0
+

-
-
-
0
+
+
+
y

极
大

拐
点

极
小

(4) ，定义域(-¥,+¥)，是偶函数，无渐进线。，，令，得驻点，而，列表讨论。
x

0

-
0
+

+
+
+
y

极小
1

(5) ，定义域(-¥,+¥)，是奇函数，，
=，有两条渐进线：。无驻点，，令，得
x

0

+
0
+

+
+
-
y

拐点
0

(6) ，定义域(-¥,+¥)，是偶函数，，有一条水平渐进线y=p,=，=，，。
x

0

-
无
+

-
无
-
y

极小0

28. 已知不在同一直线上的三点、和；试用表示DABC的面积。
解：由P55例42知：直线到的距离为：。那么，直线AB的方程为：Þ，AB两点间的距离为：，DABC的面积=
=
=
==
29. 椭圆的切线与x轴y轴分别交于A、B两点，(1)求AB之间的最小距离；(2)求三角形DOAB的最小面积。
解：椭圆方程：…①如图。设切点坐标为，则…②，此点切线斜率为：，切线方程为：。
令，，坐标。
令，，坐标。
(1) 。可设，令，将②代入得：Þ，代入①得驻点：，。
==
=有极小值。，故AB之间的最小距离是。
(2) 可设面积，=，
令，得：，代入①得驻点：，(三角形边长取值应大于零)。
=
==
==有极小值。
，故三角形的最小面积为a×b。
第三章 一元函数积分学习题题解(P108)
一、判断题题解
1. 错。是原函数的全体，记作。
2. 错。的任意两个原函数之差为常数。
3. 错。是。
4. 正确。
5. 错。被积函数在x=0处无界。
6. 正确。，
7. 正确。被积函数是奇函数，积分区间对称。
8. 正确。
二、选择题题解
1. 被积函数是奇函数，积分区间对称，定积分为零。或=
==。(A)
2. =+=+=。(A)
3. 正确的是C。
4. =。(D)
5. 令，，==。(B)
6. 令，则，===。(D)
7. =，\=。(D)
或==
8. ==，，
==。(B)
三、填空题题解
1. ===
=。
2. === p。
3. ==。
4. === 0。
5. ===。
6. ==。
7. =。
8. 这是积分上限函数，由定理3知：，。
四、解答题题解
1. 分别对三个函数求导数，结果皆为，所以它们是同一函数的原函数。
2. (1) 错。是不定积分。
(2) 错。是所有原函数。
(3) 正确。设是的一个原函数，则。
(4) 正确。因为积分变量不同，造成被积函数不同。
(5) 正确。因为时，。
3. 求下列不定积分
(1) =
(2) =
(3) ===
(4) ==
(5) ===
(6) ===
(7) ==
(8) ==
(9) ===
(10) ==
(11) ==
(12) ==
(13) ==
(14) ==
(15) =
4. 求下列不定积分
(1) ==
(2) ==
(3) ==
(4) ===
(5) ==
(6) ==
(7) =
(8) =
(9) ==
(10) ==
(11) ==
(12) ==
(13) ==
(14) ===
(15) ==
(16) ==
(17) ===(填空题5)
(18) ==
(19) ===
(20) ==
(21) ===
(22) ===
(23) ===
(24) ===
(25) ==
(26) ==
(27) ==
(28) ===
(29) ==
(30) ==
(31) ===
(32) ===
==
5. 求下列不定积分
(1) ==
=
(2) ==
==
(3) ===
(4) ===
(5) ===
(6) ===
(7) ===
(8) ===
==
(9) ==

4、填埋场在填满垃圾以后，可以在上面修建公园、体育场、但是不能用来建筑房屋和种植庄稼。==
(10) ===
=
(11) ==

2、人们通常处理垃圾的方法有填埋或焚烧。===
(12) ==

4、填埋场在填满垃圾以后，可以在上面修建公园、体育场、但是不能用来建筑房屋和种植庄稼。(13) ===

12、太阳是太阳系里唯一发光的恒星，直径是1400000千米。(14) ==
=

答：烧饭时米变成了饭；写字时纸上留下了字迹；下雨后路上的积水慢慢地变成水蒸气消失在空中；岩石风化变成沙子等。6. 求下列不定积分

4、小苏打和白醋混合后，产生了一种新物质——二氧化碳气体，这种气体能使燃着的火焰熄灭，这样的变化属于化学变化。(1) ==
(2) ===

二、问答：=

二、问答：(3) ===
===

答：放大镜的中间厚，边缘薄，光线在透过放大镜时会产生折射，因此会把物图像放大。(4) ====
(5) ==

答：硫酸铜溶液的颜色逐渐变浅，取出铁钉后，发现浸入硫酸铜溶液中的那部分变红了。=
(6) ===
(7) ====
==
(8) ===
=，=
(9) ==
=
(10) ==
=
(11) ===
==
(12) ==
==
(13) ===
=
(14) ===
=
7. 求下列不定积分
(1) ====
(2) ===
(3) ==
==
==
(4) ===
(5) ===
(6) ==
==
8. 求下列不定积分
(1) ===
(2) ==
(3) ===
==
(4) ==
(5) ===
(6) ==
9. 将区间细分为n个小区间，在每个小区间上任取一点,，由于小区间的长度很小，可以近似地认为放射性物质在内是以速度均匀分解。
(1) 分解质量的近似值为：
(2) 分解质量的精确值为：，
10. 用定义计算。y=x2在[0,1]上连续，\定积分存在。故可将[0,1]区间n等份：
0=x0<x1<…<xi<…<xn=1，且取小区间的右端点。，，，

11. (1)是一个底边长为1高为2的三角形，面积为1。
(2)奇函数在对称区间上，定积分为0。
(3)偶函数在对称区间上，定积分为2倍的正的区间上的定积分。
12. (1)在[0,1]区间上，由定积分性质知：。
(2)在[1,2]区间上，由定积分性质知：。
13. (1) 在[1,4]区间上，由定积分性质知：。
(2) 在[0,1]区间上是一个单调递减函数，有，由定积分性质知：。
(3) 在区间上，由定积分性质知：。
14. 由积分上限函数的定理3知，，。
15. 求下列函数的导数。
(1) =
(2) ==
(3) ==
(4) ==
==
16. 求下列极限。
(1) ===
(2) ====
17. ，，，令，得驻点：,有极小值，。
18. 计算下列定积分。
(1) ===
(2) ==
(3) ===
(4) ===
==
(5) ===
(6) ====
=,
(7) ===
(8) ====
(9) ====
(10) ==
(11) ===
(12) ==
(13) ===
(14) ==
==
(15) ==
(16) ====
19. 证明：
(1) ==0，奇函数在对称区间上的定积分为0。
(2) ===0
(3) ===0
20. =
==，=。
21. 由万有引力定律，火箭与地心距离为r时，地球对火箭的引力是。将火箭送至离地面高为H处所做的功为：===，在地球表面引力就是重力，即：， 。
22. ===5。
23. ===。
24. 如右图所示。
==
25. 如下图所示。
，，，，两条切线方程为：，其交点坐标为：

===。
26. 如右图所示。
===
27. 如右图所示。
=
28. 如右图所示。

====。
29. 求曲线在上的弧长。,
==
==
=
===
==
，而=
=
==
30. ===
31. ===
32. 判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分。
(1) == (收敛)
(2) = (发散)
(3) == (发散)
(4) == (收敛)
(5) ==，=
(6) === (收敛)
(7) == (收敛)
(8) == (发散)
33. 当k为何值时，积分收敛或发散？
当k=1时，，当k¹1时，=，
=
第六章 常微分方程习题题解(P186)
一、判断题题解
1. 错。应该是：微分方程通解中独立任意常数的个数由微分方程的阶所确定。
2. 错。有三个变量z, x, y。
3. 错。不管C取何值都不为0。
4. 错。如是的解，但它既不是通解也不是特解。
5. 错。它只有一个独立的任意常数。
6. 正确。它的通解为：，当时，
7. 正确。
8. 错。必须是两个线性无关的解。
二、选择题题解
1. 在选项(A)中有。
2. 在选项(B)中有。
3. 通解为：==，(B)
4. (B)是一阶微分方程
5. 将(C)代入满足方程
6. 在选项(C)中，将代入后，有
Þ，而
7. 在选项(A)中，对x求导数：===
==。
三、填空题题解
1. 特征方程为：，特征根为：，通解为：。
2. ==
3. 特征方程为：，特征根为：，通解为：，。该曲线过(0,0)点，且切线斜率为1，有：，，得：，。
四、解答题题解
1. ，，
2. 求下列一阶微分方程的通解或特解。
(1) ，Þ
(2) ，Þ
(3) ，ÞÞ
(4) ，ÞÞ
(5) ，，令Þ
ÞÞÞÞ
(6) ，，令ÞÞ
ÞÞÞ
(7) ，令，ÞÞ
ÞÞ
(8) , 令, ÞÞÞ
(9) ，，
===
(10) ，，=
==
(11) ，令ÞÞ
ÞÞ，由初始条件得：。
(12) ，ÞÞÞ
由初始条件得：。
(13) ，，=
==，由初始条件得：。
(14) ，=
==，由初始条件得：。
3. 求下列特殊的二阶微分方程的通解或特解。
(1) ，===
===
(2) ，令，，ÞÞ
=
(3) ，令，，=
====
=
(4) ，令，，=
===，=
(5) ，令，，Þ，
=
(6) ，令，ÞÞÞ
ÞÞÞ
(7) ，令，Þ
ÞÞ，由初始条件得：，Þ
ÞÞ，由初始条件得：，
(8) ，令，Þ
ÞÞ，由得：，=，
由得：，
4. 求下列二阶常系数线性齐次微分方程的通解或特解。
(1) ，特征方程：，特征根：。通解：。
(2) ，特征方程：，特征根：。通解：。
(3) ，特征方程：，特征根：。通解：。
(4) ，特征方程：，特征根：。通解：。
(5) ，特征方程：，特征根：。
通解：，，由，得：
特解：。
(6) ，特征方程：，特征根：。
通解：，，由，得：
特解：。
(7) ，特征方程：，特征根：。
通解：，，由，得：
特解：
5. 设t小时细菌数为N(t)，依题意可建立微分方程：，其中k为比例系数。解之得，不妨设，则，从而有，由已知条件，得，那么，
小时。
6. 设第t天32P的乘余量为M(t)，依题意得：。解之得，，有，又，，得：，故：。
7. 设t分钟时过氧化氢的浓度为，依题意有：，解之得，，代入上式有：，，，，。
8. 设死亡后t小时尸体的温度为T(t)，依题意有：，则，由，得，，当时，由，得小时。
9. 设输入葡萄糖t分钟后，血液中葡萄糖含量为Q(t)，依题意有：，即，解之得：，由初始条件：代入上式得，，显然当时，e-at®0 ，有。
10. 设t年后14C的含量为M(t)，由物理学知：放射性元素的衰减速度与当时的量成正比。有，解之得，假定，则，当t=1时，，由此得到Þ，，故此人大约死于22193年前。