2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 15 页）2012 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的 1（5 分）已知集合 A=x|x2x20，B=x|1x1，则（）AAB BBA CA=B DAB=2（5 分）复数 z=的共轭复数是（）A2+i B2i C1+i D1i 3（5 分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）（n2，x1，x2，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，n）都在直线 y=x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A1 B0 C D1 4（5 分）设 F1、F2是椭圆 E：+=1（ab0）的左、右焦点，P 为直线 x=上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A B C D 5（5 分）已知正三角形 ABC 的顶点 A（1，1），B（1，3），顶点 C 在第一象限，若点（x，y）在ABC 内部，则 z=x+y 的取值范围是（）A（1，2）B（0，2）C（1，2）D（0，1+）6（5 分）如果执行下边的程序框图，输入正整数 N（N2）和实数 a1，a2，an，输出 A，B，则（）AA+B 为 a1，a2，an的和 B为 a1，a2，an的算术平均数 CA 和 B 分别是 a1，a2，an中最大的数和最小的数 DA 和 B 分别是 a1，a2，an中最小的数和最大的数 7（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）第 2 页（共 15 页）A6 B9 C12 D18 8（5 分）平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为，则此球的体积为（）A B4 C4 D6 9（5 分）已知 0，0，直线 x=和 x=是函数 f（x）=sin（x+）图象的两条相邻的对称轴，则=（）A B C D 10（5 分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于点 A 和点 B，|AB|=4，则 C 的实轴长为（）A B C4 D8 11（5 分）当 0 x时，4xlogax，则 a 的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（，2）12（5 分）数列an满足 an+1+（1）nan=2n1，则an的前 60 项和为（）A3690 B3660 C1845 D1830 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13（5 分）曲线 y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为 14（5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S2=0，则公比 q=15（5 分）已知向量夹角为 45，且，则=16（5 分）设函数 f（x）=的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c=asinCccosA（1）求 A；（2）若 a=2，ABC 的面积为，求 b，c 18（12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理（）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：枝，nN）的函数解析式（）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10（i）假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率 第 3 页（共 15 页）19（12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D 是棱AA1的中点（）证明：平面 BDC1平面 BDC（）平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比 20（12 分）设抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点为 F，准线为 l，AC，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点；（1）若BFD=90，ABD 的面积为，求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值 21（12 分）设函数 f（x）=exax2（）求 f（x）的单调区间；（）若 a=1，k 为整数，且当 x0 时，（xk）f（x）+x+10，求 k 的最大值 22（10 分）如图，D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交ABC 的外接圆于 F，G 两点，若 CFAB，证明：（1）CD=BC；（2）BCDGBD 第 4 页（共 15 页）23选修 44；坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2的坐标系方程是=2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2，）（1）求点 A，B，C，D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围 24已知函数 f（x）=|x+a|+|x2|当 a=3 时，求不等式 f（x）3 的解集；f（x）|x4|若的解集包含1，2，求 a 的取值范围 第 5 页（共 15 页）2012 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的 1（5 分）已知集合 A=x|x2x20，B=x|1x1，则（）AAB BBA CA=B DAB=【考点】18：集合的包含关系判断及应用菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】先求出集合 A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A=x|1x2，B=x|1x1，在集合 B 中的元素都属于集合 A，但是在集合 A 中的元素不一定在集合 B 中，例如 x=BA 故选：B【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题 2（5 分）复数 z=的共轭复数是（）A2+i B2i C1+i D1i 【考点】A1：虚数单位 i、复数；A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为 a+bi 的形式，然后求法共轭复数即可【解答】解：复数 z=1+i 所以复数的共轭复数为：1i 故选：D【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力 3（5 分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）（n2，x1，x2，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，n）都在直线 y=x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A1 B0 C D1 【考点】BS：相关系数菁优网版权所有【专题】29：规律型【分析】所有样本点（xi，yi）（i=1，2，n）都在直线 y=x+1 上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为 1【解答】解：由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，n）都在直线 y=x+1 上，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为 1，故选：D【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题 4（5 分）设 F1、F2是椭圆 E：+=1（ab0）的左、右焦点，P 为直线 x=上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A B C D 【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题 第 6 页（共 15 页）【分析】利用F2PF1是底角为 30的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据 P 为直线 x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】解：F2PF1是底角为 30的等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P 为直线 x=上一点 故选：C 【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题 5（5 分）已知正三角形 ABC 的顶点 A（1，1），B（1，3），顶点 C 在第一象限，若点（x，y）在ABC 内部，则 z=x+y 的取值范围是（）A（1，2）B（0，2）C（1，2）D（0，1+）【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由 A，B 及ABC 为正三角形可得，可求 C 的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求 z 的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】解：设 C（a，b），（a0，b0）由 A（1，1），B（1，3），及ABC 为正三角形可得，AB=AC=BC=2 即（a1）2+（b1）2=（a1）2+（b3）2=4 b=2，a=1+即 C（1+，2）则此时直线 AB 的方程 x=1，AC 的方程为 y1=（x1），直线 BC 的方程为 y3=（x1）当直线 xy+z=0 经过点 A（1，1）时，z=0，经过点 B（1，3）z=2，经过点 C（1+，2）时，z=1 故选：A 【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想属于基本题型 6（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N2）和实数 a1，a2，an，输出 A，B，则（）第 7 页（共 15 页）AA+B 为 a1，a2，an的和 B为 a1，a2，an的算术平均数 CA 和 B 分别是 a1，a2，an中最大的数和最小的数 DA 和 B 分别是 a1，a2，an中最小的数和最大的数 【考点】E7：循环结构菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出 a1，a2，an中最大的数和最小的数【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出 a1，a2，an中最大的数和最小的数 其中 A 为 a1，a2，an中最大的数，B 为 a1，a2，an中最小的数 故选：C【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题 7（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6 B9 C12 D18 【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为 3；底面三角形斜边长为 6，高为 3 的等腰直角三角形，此几何体的体积为 V=633=9 故选：B【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力 8（5 分）平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为，则此球的体积为（）A B4 C4 D6 第 8 页（共 15 页）【考点】LG：球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积【解答】解：因为平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为，所以球的半径为：=所以球的体积为：=4 故选：B【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力 9（5 分）已知 0，0，直线 x=和 x=是函数 f（x）=sin（x+）图象的两条相邻的对称轴，则=（）A B C D 【考点】HK：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及 的范围，确定 的值即可【解答】解：因为直线 x=和 x=是函数 f（x）=sin（x+）图象的两条相邻的对称轴，所以 T=2所以=1，并且 sin（+）与 sin（+）分别是最大值与最小值，0，所以=故选：A【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力 10（5 分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于点 A 和点 B，|AB|=4，则 C 的实轴长为（）A B C4 D8 【考点】KI：圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设等轴双曲线 C：x2y2=a2（a0），y2=16x 的准线 l：x=4，由 C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A，B 两点，能求出 C 的实轴长【解答】解：设等轴双曲线 C：x2y2=a2（a0），y2=16x 的准线 l：x=4，C 与抛物线 y2=16x 的准线 l：x=4 交于 A，B 两点，A（4，2），B（4，2），将 A 点坐标代入双曲线方程得=4，a=2，2a=4 故选：C【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化 11（5 分）当 0 x时，4xlogax，则 a 的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（，2）【考点】7J：指、对数不等式的解法菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：0 x时，14x2 要使 4xlogax，由对数函数的性质可得 0a1，数形结合可知只需 2logax，第 9 页（共 15 页）即对 0 x时恒成立 解得a1 故选：B 【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题 12（5 分）数列an满足 an+1+（1）nan=2n1，则an的前 60 项和为（）A3690 B3660 C1845 D1830 【考点】8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列【分析】由题意可得 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97，变形可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，利用 数列的结构特征，求出an的前 60 项和【解答】解：由于数列an满足 an+1+（1）n an=2n1，故有 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97 从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2，从第二项开始，依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项，以 16 为公差的等差数列 an的前 60 项和为 152+（158+）=1830，故选：D【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13（5 分）曲线 y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x3 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程【解答】解：求导函数，可得 y=3lnx+4，当 x=1 时，y=4，曲线 y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为 y1=4（x1），即 y=4x3 故答案为：y=4x3【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题 14（5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S2=0，则公比 q=2 【考点】89：等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由题意可得，q1，由 S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求 q 第 10 页（共 15 页）【解答】解：由题意可得，q1 S3+3S2=0 q3+3q24=0（q1）（q+2）2=0 q1 q=2 故答案为：2【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比 q 是否为 1 15（5 分）已知向量夹角为 45，且，则=3 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分 析】由 已 知 可 得，=，代 入|2|=可求【解答】解：，=1=|2|=解得 故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质|=是求解向量的模常用的方法 16（5 分）设函数 f（x）=的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=2 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】函数可化为 f（x）=，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为 0，由此可得函数 f（x）=的最大值与最小值的和【解答】解：函数可化为 f（x）=，令，则为奇函数，的最大值与最小值的和为 0 函数 f（x）=的最大值与最小值的和为 1+1+0=2 即 M+m=2 故答案为：2【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c=asinCccosA（1）求 A；（2）若 a=2，ABC 的面积为，求 b，c 【考点】HU：解三角形菁优网版权所有 第 11 页（共 15 页）【专题】11：计算题【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinCsinCcosAsinC=0，可以求出 A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出 b、c【解答】解：（1）c=asinCccosA，由正弦定理有：sinAsinCsinCcosAsinC=0，即 sinC（sinAcosA1）=0，又，sinC0，所以sinAcosA1=0，即 2sin（A）=1，所以 A=；（2）SABC=bcsinA=，所以 bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即 4=b2+c2bc，即有，解得 b=c=2【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式 18（12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理（）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：枝，nN）的函数解析式（）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10（i）假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率 【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；BB：众数、中位数、平均数；CS：概率的应用菁优网版权所有【专题】15：综合题；5I：概率与统计【分析】（）根据卖出一枝可得利润 5 元，卖不出一枝可得赔本 5 元，即可建立分段函数；（）（i）这 100 天的日利润的平均数，利用 100 天的销售量除以 100 即可得到结论；（ii）当天的利润不少于 75 元，当且仅当日需求量不少于 16 枝，故可求当天的利润不少于 75 元的概率【解答】解：（）当日需求量 n17 时，利润 y=85；当日需求量 n17 时，利润 y=10n85；（4 分）利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式（nN*）（6 分）（）（i）这 100 天的日利润的平均数为元；（9 分）（ii）当天的利润不少于 75 元，当且仅当日需求量不少于 16 枝，故当天的利润不少于 75 元的概率为 P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7（12 分）【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题 19（12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D 是棱AA1的中点（）证明：平面 BDC1平面 BDC（）平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比 第 12 页（共 15 页）【考点】L2：棱柱的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（）由题意易证 DC1平面 BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面 BDC1平面BDC；（）设棱锥 BDACC1的体积为 V1，AC=1，易求 V1=11=，三棱柱 ABCA1B1C1的体积 V=1，于是可得（VV1）：V1=1：1，从而可得答案【解答】证明：（1）由题意知 BCCC1，BCAC，CC1AC=C，BC平面 ACC1A1，又 DC1平面 ACC1A1，DC1BC 由题设知A1DC1=ADC=45，CDC1=90，即 DC1DC，又 DCBC=C，DC1平面 BDC，又 DC1平面 BDC1，平面 BDC1平面 BDC；（2）设棱锥 BDACC1的体积为 V1，AC=1，由题意得 V1=11=，又三棱柱 ABCA1B1C1的体积 V=1，（VV1）：V1=1：1，平面 BDC1分此棱柱两部分体积的比为 1：1【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题 20（12 分）设抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点为 F，准线为 l，AC，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点；（1）若BFD=90，ABD 的面积为，求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值 【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（1）由对称性知：BFD 是等腰直角，斜边|BD|=2p 点 A 到准线 l 的距离，由ABD 的面积 SABD=，知=，由此能求出圆 F 的方程（2）由 对 称 性 设，则点 A，B 关 于 点 F 对 称 得：，得：，由此能求出坐标原点到 m，n 距离的比值【解答】解：（1）由对称性知：BFD 是等腰直角，斜边|BD|=2p 点 A 到准线 l 的距离，ABD 的面积 SABD=，=，解得 p=2，所以 F 坐标为（0，1），圆 F 的方程为 x2+（y1）2=8（2）由题设，则，A，B，F 三点在同一直线 m 上，又 AB 为圆 F 的直径，故 A，B 关于点 F 对称 由点 A，B 关于点 F 对称得：得：，直线，切点 直线 第 13 页（共 15 页）坐标原点到 m，n 距离的比值为【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化 21（12 分）设函数 f（x）=exax2（）求 f（x）的单调区间；（）若 a=1，k 为整数，且当 x0 时，（xk）f（x）+x+10，求 k 的最大值 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想【分析】（）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母 a，故应按 a 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（xk）f（x）+x+10 在 x0 时成立转化为 k（x0）成立，由此问题转化为求 g（x）=在 x0 上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出 k 的最大值；【解答】解：（I）函数 f（x）=exax2 的定义域是 R，f（x）=exa，若 a0，则 f（x）=exa0，所以函数 f（x）=exax2 在（，+）上单调递增 若 a0，则当 x（，lna）时，f（x）=exa0；当 x（lna，+）时，f（x）=exa0；所以，f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增（II）由于 a=1，所以，（xk）f（x）+x+1=（xk）（ex1）+x+1 故当 x0 时，（xk）f（x）+x+10 等价于 k（x0）令 g（x）=，则 g（x）=由（I）知，当 a=1 时，函数 h（x）=exx2 在（0，+）上单调递增，而 h（1）0，h（2）0，所以 h（x）=exx2 在（0，+）上存在唯一的零点，故 g（x）在（0，+）上存在唯一的零点，设此零点为，则有（1，2）当 x（0，）时，g（x）0；当 x（，+）时，g（x）0；所以 g（x）在（0，+）上的最小值为 g（）又由 g（）=0，可得 e=+2 所以 g（）=+1（2，3）由于式等价于 kg（），故整数 k 的最大值为 2【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错 22（10 分）如图，D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交ABC 的外接圆于 F，G 两点，若 CFAB，证明：（1）CD=BC；（2）BCDGBD 【考点】N4：相似三角形的判定菁优网版权所有【专题】14：证明题【分析】（1）根据 D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，可得 DEBC，证明四边形 ADCF 是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得BCDGBD【解答】证明：（1）D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点 DFBC，AD=DB ABCF，四边形 BDFC 是平行四边形 第 14 页（共 15 页）CFBD，CF=BD CFAD，CF=AD 四边形 ADCF 是平行四边形 AF=CD，BC=AF，CD=BC（2）由（1）知，所以 所以BGD=DBC 因为 GFBC，所以BDG=ADF=DBC=BDC 所以BCDGBD 【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题 23选修 44；坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2的坐标系方程是=2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2，）（1）求点 A，B，C，D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（1）确定点 A，B，C，D 的极坐标，即可得点 A，B，C，D 的直角坐标；（2）利用参数方程设出 P 的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围【解答】解：（1）点 A，B，C，D 的极坐标为 点 A，B，C，D 的直角坐标为（2）设 P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2 sin20，1 t32，52【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题 24已知函数 f（x）=|x+a|+|x2|当 a=3 时，求不等式 f（x）3 的解集；f（x）|x4|若的解集包含1，2，求 a 的取值范围 【考点】R5：绝对值不等式的解法菁优网版权所有【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式【分析】不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求 原命题等价于2xa2x 在1，2上恒成立，由此求得求 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=3 时，f（x）3 即|x3|+|x2|3，即，可得 x1；，可得 x；，可得 x4 取并集可得不等式的解集为 x|x1 或 x4（2）原命题即 f（x）|x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x 在1，2上恒成立，第 15 页（共 15 页）等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa2x 在1，2上恒成立 故当 1x2 时，2x 的最大值为21=3，2x 的最小值为 0，故 a 的取值范围为3，0【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题