2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 15 页）2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1（5 分）已知集合 M=0，1，2，3，4，N=1，3，5，P=MN，则 P 的子集共有（）A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 2（5 分）复数=（）A2i B12i C2+i D1+2i 3（5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（）Ay=2x3 By=|x|+1 Cy=x2+4 Dy=2|x|4（5 分）椭圆=1 的离心率为（）A B C D 5（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（）A120 B720 C1440 D5040 6（5 分）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A B C D 7（5 分）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则cos2=（）A B C D 8（5 分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A B C D 9（5 分）已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|=12，P 为 C 的准线上一点，则ABP 的面积为（）A18 B24 C36 D48 10（5 分）在下列区间中，函数 f（x）=ex+4x3 的零点所在的区间为（）A（，）B（，0）C（0，）D（，）11（5 分）设函数，则 f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）Ay=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线 x=对称 By=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线 x=对称 Cy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线 x=对称 Dy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线 x=对称 12（5 分）已知函数 y=f（x）的周期为 2，当 x1，1时 f（x）=x2，那么函数 y=f（x）的图象与函数 y=|lgx|的图象的交点共有（）A10 个 B9 个 C8 个 D1 个 第 2 页（共 15 页）二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13（5 分）已知 a 与 b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量+与向量 k 垂直，则k=14（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=x+2y 的最小值为 15（5 分）ABC 中，B=120，AC=7，AB=5，则ABC 的面积为 16（5 分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 70 分）分）17（12 分）已知等比数列an中，a1=，公比 q=（）Sn为an的前 n 项和，证明：Sn=（）设 bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列bn的通项公式 18（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形DAB=60，AB=2AD，PD底面 ABCD（）证明：PABD（）设 PD=AD=1，求棱锥 DPBC 的高 第 3 页（共 15 页）19（12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表 指标值分组 90，94）94，98）98，102）102，106）106，110 频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 指标值分组 90，94）94，98）98，102）102，106）106，110 频数 4 12 42 32 10（）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y（单位：元）与其质量指标值 t 的关系式为 y=从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x26x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上（）求圆 C 的方程；（）若圆 C 与直线 xy+a=0 交与 A，B 两点，且 OAOB，求 a 的值 21（12 分）已知函数 f（x）=+，曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+2y3=0（）求 a、b 的值；（）证明：当 x0，且 x1 时，f（x）第 4 页（共 15 页）22（10 分）如图，D，E 分别为ABC 的边 AB，AC 上的点，且不与ABC 的顶点重合已知 AE的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程 x214x+mn=0 的两个根（）证明：C，B，D，E 四点共圆；（）若A=90，且 m=4，n=6，求 C，B，D，E 所在圆的半径 23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数）M 是 C1上的动点，P点满足=2，P 点的轨迹为曲线 C2（）求 C2的方程；（）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线=与 C1的异于极点的交点为A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB|24设函数 f（x）=|xa|+3x，其中 a0（）当 a=1 时，求不等式 f（x）3x+2 的解集（）若不等式 f（x）0 的解集为x|x1，求 a 的值 第 5 页（共 15 页）2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1（5 分）已知集合 M=0，1，2，3，4，N=1，3，5，P=MN，则 P 的子集共有（）A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用集合的交集的定义求出集合 P；利用集合的子集的个数公式求出 P 的子集个数【解答】解：M=0，1，2，3，4，N=1，3，5，P=MN=1，3 P 的子集共有 22=4 故选：B【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含 n 个元素，则其子集的个数是2n 2（5 分）复数=（）A2i B12i C2+i D1+2i 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】将分子、分母同时乘以 1+2i，再利用多项式的乘法展开，将 i2用1 代替即可【解答】解：=2+i 故选：C【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数 3（5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（）Ay=2x3 By=|x|+1 Cy=x2+4 Dy=2|x|【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数【解答】解：对于 Ay=2x3，由 f（x）=2x3=f（x），为奇函数，故排除 A；对于 By=|x|+1，由 f（x）=|x|+1=f（x），为偶函数，当 x0 时，y=x+1，是增函数，故 B 正确；对于 Cy=x2+4，有 f（x）=f（x），是偶函数，但 x0 时为减函数，故排除 C；对于 Dy=2|x|，有 f（x）=f（x），是偶函数，当 x0 时，y=2x，为减函数，故排除 D 故选：B【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题 4（5 分）椭圆=1 的离心率为（）A B C D 【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据椭圆的方程，可得 a、b 的值，结合椭圆的性质，可得 c 的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案【解答】解：根据椭圆的方程=1，可得 a=4，b=2，则 c=2；第 6 页（共 15 页）则椭圆的离心率为 e=，故选：D【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分 5（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（）A120 B720 C1440 D5040 【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图【分析】执行程序框图，写出每次循环 p，k 的值，当 kN 不成立时输出 p 的值即可【解答】解：执行程序框图，有 N=6，k=1，p=1 P=1，kN 成立，有 k=2 P=2，kN 成立，有 k=3 P=6，kN 成立，有 k=4 P=24，kN 成立，有 k=5 P=120，kN 成立，有 k=6 P=720，kN 不成立，输出 p 的值为 720 故选：B【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题 6（5 分）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A B C D 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是 33 种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有 3 种结果，根据古典概型概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是 33=9 种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有 3 种结果，根据古典概型概率公式得到 P=，故选：A【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目 7（5 分）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则cos2=（）A B C D 第 7 页（共 15 页）【考点】GS：二倍角的三角函数；I5：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到 tan 的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出 cos 的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把 cos 的平方代入即可求出值【解答】解：根据题意可知：tan=2，所以 cos2=，则 cos2=2cos21=21=故选：B【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题 8（5 分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A B C D 【考点】L7：简单空间图形的三视图菁优网版权所有【专题】13：作图题【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题 9（5 分）已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|=12，P 为 C 的准线上一点，则ABP 的面积为（）A18 B24 C36 D48 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】44：数形结合法【分析】首先设抛物线的解析式 y2=2px（p0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出 p，ABP 的面积是|AB|与 DP 乘积一半【解答】解：设抛物线的解析式为 y2=2px（p0），则焦点为 F（，0），对称轴为 x 轴，准线为 x=直线 l 经过抛物线的焦点，A、B 是 l 与 C 的交点，又ABx 轴|AB|=2p=12 p=6 又点 P 在准线上 DP=（+|）=p=6 SABP=（DPAB）=612=36 故选：C 第 8 页（共 15 页）【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法 10（5 分）在下列区间中，函数 f（x）=ex+4x3 的零点所在的区间为（）A（，）B（，0）C（0，）D（，）【考点】52：函数零点的判定定理菁优网版权所有【专题】52：导数的概念及应用【分析】根据导函数判断函数 f（x）=ex+4x3 单调递增，运用零点判定定理，判定区间【解答】解：函数 f（x）=ex+4x3 f（x）=ex+4 当 x0 时，f（x）=ex+40 函数 f（x）=ex+4x3 在（，+）上为 f（0）=e03=20 f（）=10 f（）=2=0 f（）f（）0，函数 f（x）=ex+4x3 的零点所在的区间为（，）故选：A【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题 11（5 分）设函数，则 f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）Ay=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线 x=对称 By=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线 x=对称 Cy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线 x=对称 Dy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线 x=对称 【考点】H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的奇偶性和对称性菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图像与性质【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数 f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断 y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案【解答】解：因为 f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x由于 y=cos2x的对称轴为 x=k（kZ），所以 y=cos2x 的对称轴方程是：x=（kZ），所以 A，C 错误；y=cos2x 的单调递减区间为 2k2x+2k（kZ），即（kZ），函数 y=f（x）在（0，）单调递减，所以 B 错误，D 正确 故选：D【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型 12（5 分）已知函数 y=f（x）的周期为 2，当 x1，1时 f（x）=x2，那么函数 y=f（x）的图象与函数 y=|lgx|的图象的交点共有（）A10 个 B9 个 C8 个 D1 个 【考点】3Q：函数的周期性；4N：对数函数的图象与性质菁优网版权所有【专题】16：压轴题；31：数形结合 第 9 页（共 15 页）【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可【解答】解：作出两个函数的图象如上 函数 y=f（x）的周期为 2，在1，0上为减函数，在0，1上为增函数 函数 y=f（x）在区间0，10上有 5 次周期性变化，在0，1、2，3、4，5、6，7、8，9上为增函数，在1，2、3，4、5，6、7，8、9，10上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为0，1，再看函数 y=|lgx|，在区间（0，1上为减函数，在区间1，+）上为增函数，且当 x=1 时 y=0；x=10 时 y=1，再 结 合 两 个 函 数 的 草 图，可 得 两 图 象 的 交 点 一 共 有10 个，故选：A【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13（5 分）已知 a 与 b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量+与向量 k 垂直，则 k=1 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为 0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出 k 值【解答】解：垂直 即 k=1 故答案为：1【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方 14（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=x+2y 的最小值为6 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数 z=x+2y变化为 y=x+，当直线沿着 y 轴向上移动时，z 的值随着增大，当直线过 A 点时，z 取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数 z=x+2y，变化为 y=x+，当直线沿着 y 轴向上移动时，z 的值随着增大，当直线过 A 点时，z 取到最小值，由 y=x9 与 2x+y=3 的交点得到 A（4，5）z=4+2（5）=6 故答案为：6 第 10 页（共 15 页）【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值 15（5 分）ABC 中，B=120，AC=7，AB=5，则ABC 的面积为 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】58：解三角形【分析】先利用余弦定理和已知条件求得 BC，进而利用三角形面积公式求得答案【解答】解：由余弦定理可知 cosB=，求得 BC=8 或 3（舍负）ABC 的面积为ABBCsinB=53=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法 16（5 分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LG：球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64，圆锥的底面积为：12，圆锥的底面半径为：2；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形 由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，所以圆锥体积较小者的高为：42=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：故答案为：【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 70 分）分）17（12 分）已知等比数列an中，a1=，公比 q=（）Sn为an的前 n 项和，证明：Sn=（）设 bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列bn的通项公式 【考点】89：等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】15：综合题【分析】（I）根据数列an是等比数列，a1=，公比 q=，求出通项公式 an和前 n 项和 Sn，然后经过运算即可证明 第 11 页（共 15 页）（II）根据数列an的通项公式和对数函数运算性质求出数列bn的通项公式【解答】证明：（I）数列an为等比数列，a1=，q=an=，Sn=又=Sn Sn=（II）an=bn=log3a1+log3a2+log3an=log33+（2log33）+（nlog33）=（1+2+n）=数列bn的通项公式为：bn=【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前 n 项和以及对数函数的运算性质 18（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形DAB=60，AB=2AD，PD底面 ABCD（）证明：PABD（）设 PD=AD=1，求棱锥 DPBC 的高 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题【分析】（）因为DAB=60，AB=2AD，由余弦定理得 BD=，利用勾股定理证明 BDAD，根据 PD底面 ABCD，易证 BDPD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证 PABD；（II）要求棱锥 DPBC 的高只需证 BC平面 PBD，然后得平面 PBC平面 PBD，作 DEPB 于E，则 DE平面 PBC，利用勾股定理可求得 DE 的长【解答】解：（）证明：因为DAB=60，AB=2AD，由余弦定理得 BD=，从而 BD2+AD2=AB2，故 BDAD 又 PD底面 ABCD，可得 BDPD 所以 BD平面 PAD故 PABD（II）解：作 DEPB 于 E，已知 PD底面 ABCD，则 PDBC，由（I）知，BDAD，又 BCAD，BCBD 故 BC平面 PBD，BCDE，则 DE平面 PBC 由题设知 PD=1，则 BD=，PB=2 根据 DEPB=PDBD，得 DE=，即棱锥 DPBC 的高为【点评】此题是个中档题考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力 19（12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表 第 12 页（共 15 页）指标值分组 90，94）94，98）98，102）102，106）106，110 频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 指标值分组 90，94）94，98）98，102）102，106）106，110 频数 4 12 42 32 10（）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y（单位：元）与其质量指标值 t 的关系式为 y=从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【考点】B2：简单随机抽样；BB：众数、中位数、平均数；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】11：计算题；15：综合题【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值【解答】解：（）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的频率为 用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3 由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42；（）用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值落入区间 90，94），94，102），102，110的频率分别为 0.04，0.54，0.42，P（X=2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，即 X 的分布列为 X 2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 X 的数学期望值 EX=20.04+20.54+40.42=2.68【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题 20（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x26x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上（）求圆 C 的方程；（）若圆 C 与直线 xy+a=0 交与 A，B 两点，且 OAOB，求 a 的值 【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析】（）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（）利用设而不求思想设出圆 C 与直线 xy+a=0 的交点 A，B 坐标，通过 OAOB 建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于 a 的方程，通过解方程确定出 a 的值【解答】解：（）法一：曲线 y=x26x+1 与 y 轴的交点为（0，1），与 x 轴的交点为（3+2，0），（32，0）可知圆心在直线 x=3 上，故可设该圆的圆心 C 为（3，t），则有 32+（t1）2=（2）2+t2，解得 t=1，故圆 C 的半径为，所以圆 C 的方程为（x3）2+（y1）2=9 法二：圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 x=0，y=1 有 1+E+F=0 y=0，x2 6x+1=0 与 x2+Dx+F=0 是同一方程，故有 D=6，F=1，E=2，第 13 页（共 15 页）即圆方程为 x2+y26x2y+1=0（）设 A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去 y，得到方程 2x2+（2a8）x+a22a+1=0，由已知可得判别式=5616a4a20 在此条件下利用根与系数的关系得到 x1+x2=4a，x1x2=，由于 OAOB 可得 x1x2+y1y2=0，又 y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得 2x1x2+a（x1+x2）+a2=0 由可得 a=1，满足=5616a4a20故 a=1【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型 21（12 分）已知函数 f（x）=+，曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+2y3=0（）求 a、b 的值；（）证明：当 x0，且 x1 时，f（x）【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出 a，b 的值（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式【解答】解：（I）由于直线 x+2y3=0 的斜率为，且过点（1，1）所以 解得 a=1，b=1（II）由（I）知 f（x）=所以 考虑函数，则 所以当 x1 时，h（x）0 而 h（1）=0，当 x（0，1）时，h（x）0 可得；当 从而当 x0 且 x1 时，【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立 22（10 分）如图，D，E 分别为ABC 的边 AB，AC 上的点，且不与ABC 的顶点重合已知 AE的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程 x214x+mn=0 的两个根（）证明：C，B，D，E 四点共圆；（）若A=90，且 m=4，n=6，求 C，B，D，E 所在圆的半径 第 14 页（共 15 页）【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（I）做出辅助线，根据所给的 AE 的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程x214x+mn=0 的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取 CE 的中点 G，DB 的中点F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH，根据四点共圆得到半径的大小【解答】解：（I）连接 DE，根据题意在ADE 和ACB 中，ADAB=mn=AEAC，即 又DAE=CAB，从而ADEACB 因此ADE=ACB C，B，D，E 四点共圆（）m=4，n=6 时，方程 x214x+mn=0 的两根为 x1=2，x2=12 故 AD=2，AB=12 取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH C，B，D，E 四点共圆，C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH 由于A=90，故 GHAB，HFACHF=AG=5，DF=（122）=5 故 C，B，D，E 四点所在圆的半径为 5 【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题 23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数）M 是 C1上的动点，P点满足=2，P 点的轨迹为曲线 C2（）求 C2的方程；（）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线=与 C1的异于极点的交点为A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB|【考点】J3：轨迹方程；Q4：简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（I）先设出点 P 的坐标，然后根据点 P 满足的条件代入曲线 C1的方程即可求出曲线 C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线 C1的极坐标方程，分别求出射线=与 C1的交点 A 的极径为 1，以及射线=与 C2的交点 B 的极径为 2，最后根据|AB|=|21|求出所求【解答】解：（I）设 P（x，y），则由条件知 M（，）由于 M 点在 C1上，所以即 从而 C2的参数方程为（为参数）（）曲线 C1的极坐标方程为=4sin，曲线 C2的极坐标方程为=8sin 射线=与 C1的交点 A 的极径为 1=4sin，射线=与 C2的交点 B 的极径为 2=8sin 所以|AB|=|21|=【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题 第 15 页（共 15 页）24设函数 f（x）=|xa|+3x，其中 a0（）当 a=1 时，求不等式 f（x）3x+2 的解集（）若不等式 f（x）0 的解集为x|x1，求 a 的值 【考点】R5：绝对值不等式的解法菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论【分析】（）当 a=1 时，f（x）3x+2 可化为|x1|2直接求出不等式 f（x）3x+2 的解集即可（）由 f（x）0 得|xa|+3x0 分 xa 和 xa 推出等价不等式组，分别求解，然后求出 a 的值【解答】解：（）当 a=1 时，f（x）3x+2 可化为|x1|2 由此可得 x3 或 x1 故不等式 f（x）3x+2 的解集为 x|x3 或 x1（）由 f（x）0 得|xa|+3x0 此不等式化为不等式组 或 即或 因为 a0，所以不等式组的解集为x|x 由题设可得=1，故 a=2【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型