2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 15 页）2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的 1（5 分）已知集合 M=x|1x3，N=x|2x1，则 MN=（）A（2，1）B（1，1）C（1，3）D（2，3）2（5 分）若 tan0，则（）Asin0 Bcos0 Csin20 Dcos20 3（5 分）设 z=+i，则|z|=（）A B C D2 4（5 分）已知双曲线=1（a0）的离心率为 2，则实数 a=（）A2 B C D1 5（5 分）设函数 f（x），g（x）的定义域都为 R，且 f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）Af（x）g（x）是偶函数 B|f（x）|g（x）是奇函数 Cf（x）|g（x）|是奇函数 D|f（x）g（x）|是奇函数 6（5 分）设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则+=（）A B C D 7（5 分）在函数y=cos|2x|，y=|cosx|，y=cos（2x+），y=tan（2x）中，最小正周期为 的所有函数为（）A B C D 8（5 分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱 9（5 分）执行如图的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1，2，3，则输出的 M=（）A B C D 10（5 分）已知抛物线 C：y2=x 的焦点为 F，A（x0，y0）是 C 上一点，AF=|x0|，则 x0=（）A1 B2 C4 D8 11（5 分）设 x，y 满足约束条件且 z=x+ay 的最小值为 7，则 a=（）A5 B3 C5 或 3 D5 或3 12（5 分）已知函数 f（x）=ax33x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x00，则实数 a 的取第 2 页（共 15 页）值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13（5 分）将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 14（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 15（5 分）设函数 f（x）=，则使得 f（x）2 成立的 x 的取值范围是 16（5 分）如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座的山顶 C 为测量观测点，从 A 点测得 M 点的仰角MAN=60，C 点的仰角CAB=45以及MAC=75；从 C 点测得MCA=60，已知山高BC=100m，则山高 MN=m 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17（12 分）已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程 x25x+6=0 的根（1）求an的通项公式；（2）求数列的前 n 项和 18（12 分）从某企业生产的产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组 75，85）85，95）95，105）105，115）115，125）频数 6 26 38 22 8（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定？第 3 页（共 15 页）19（12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为 O，且 AO平面BB1C1C（1）证明：B1CAB；（2）若 ACAB1，CBB1=60，BC=1，求三棱柱 ABCA1B1C1的高 20（12 分）已知点 P（2，2），圆 C：x2+y28y=0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点（1）求 M 的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积 21（12 分）设函数 f（x）=alnx+x2bx（a1），曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为 0，（1）求 b；（2）若存在 x01，使得 f（x0），求 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。【选修题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。【选修 4-1：几：几何证明选讲】何证明选讲】22（10 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE（）证明：D=E；（）设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：ADE 为等边三角形 第 4 页（共 15 页）【选修【选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】23已知曲线 C：+=1，直线 l：（t 为参数）（）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程（）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值 【选修【选修 4-5：不等式选讲】：不等式选讲】24若 a0，b0，且+=（）求 a3+b3的最小值；（）是否存在 a，b，使得 2a+3b=6？并说明理由 第 5 页（共 15 页）2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的 1（5 分）已知集合 M=x|1x3，N=x|2x1，则 MN=（）A（2，1）B（1，1）C（1，3）D（2，3）【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】根据集合的基本运算即可得到结论【解答】解：M=x|1x3，N=x|2x1，则 MN=x|1x1，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2（5 分）若 tan0，则（）Asin0 Bcos0 Csin20 Dcos20 【考点】GC：三角函数值的符号菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案【解答】解：tan0，则 sin2=2sincos0 故选：C【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题 3（5 分）设 z=+i，则|z|=（）A B C D2 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数【分析】先求 z，再利用求模的公式求出|z|【解答】解：z=+i=+i=故|z|=故选：B【点评】本题考查复数代数形式的运算，属于容易题 4（5 分）已知双曲线=1（a0）的离心率为 2，则实数 a=（）A2 B C D1 【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线方程找出 a，b，c，代入离心率，从而求出 a【解答】解：由题意，e=2，解得，a=1 故选：D【点评】本题考查了双曲线的定义，属于基础题 第 6 页（共 15 页）5（5 分）设函数 f（x），g（x）的定义域都为 R，且 f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）Af（x）g（x）是偶函数 B|f（x）|g（x）是奇函数 Cf（x）|g（x）|是奇函数 D|f（x）g（x）|是奇函数 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论【解答】解：f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）=f（x），g（x）=g（x），f（x）g（x）=f（x）g（x），故函数是奇函数，故 A 错误，|f（x）|g（x）=|f（x）|g（x）为偶函数，故 B 错误，f（x）|g（x）|=f（x）|g（x）|是奇函数，故 C 正确|f（x）g（x）|=|f（x）g（x）|为偶函数，故 D 错误，故选：C【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键 6（5 分）设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则+=（）A B C D 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案【解答】解：D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A 【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则是解答的关键 7（5 分）在函数y=cos|2x|，y=|cosx|，y=cos（2x+），y=tan（2x）中，最小正周期为 的所有函数为（）A B C D 【考点】H1：三角函数的周期性菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图像与性质【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论【解答】解：函数y=cos 丨 2x 丨=cos2x，它的最小正周期为=，y=丨 cosx 丨的最小正周期为=，y=cos（2x+）的最小正周期为=，y=tan（2x）的最小正周期为，故选：A 第 7 页（共 15 页）【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题 8（5 分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱 【考点】L7：简单空间图形的三视图菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，可知几何体如图：几何体是三棱柱 故选：B 【点评】本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法，考查空间想象能力 9（5 分）执行如图的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1，2，3，则输出的 M=（）A B C D 【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出 M 的值【解答】解：由程序框图知：第一次循环 M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环 M=2+=，a=，b=，n=3；第 8 页（共 15 页）第三次循环 M=+=，a=，b=，n=4 不满足条件 n3，跳出循环体，输出 M=故选：D【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法 10（5 分）已知抛物线 C：y2=x 的焦点为 F，A（x0，y0）是 C 上一点，AF=|x0|，则 x0=（）A1 B2 C4 D8 【考点】K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出【解答】解：抛物线 C：y2=x 的焦点为 F，A（x0，y0）是 C 上一点，AF=|x0|，x00=x0+，解得 x0=1 故选：A【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题 11（5 分）设 x，y 满足约束条件且 z=x+ay 的最小值为 7，则 a=（）A5 B3 C5 或 3 D5 或3 【考点】7F：基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析】如图所示，当 a1 时，由，解得当直线 z=x+ay 经过 A 点时取得最小值为 7，同理对 a1 得出【解答】解：如图所示，当 a1 时，由，解得，y=当直线 z=x+ay 经过 A 点时取得最小值为 7，化为 a2+2a15=0，解得 a=3，a=5 舍去 当 a1 时，不符合条件 故选：B 【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属于中档题 12（5 分）已知函数 f（x）=ax33x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x00，则实数 a 的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）【考点】53：函数的零点与方程根的关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用 第 9 页（共 15 页）【分析】由题意可得 f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可【解答】解：f（x）=ax33x2+1，f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；当 a=0 时，f（x）=3x2+1 有两个零点，不成立；当 a0 时，f（x）=ax33x2+1 在（，0）上有零点，故不成立；当 a0 时，f（x）=ax33x2+1 在（0，+）上有且只有一个零点；故 f（x）=ax33x2+1 在（，0）上没有零点；而当 x=时，f（x）=ax33x2+1 在（，0）上取得最小值；故 f（）=3+10；故 a2；综上所述，实数 a 的取值范围是（，2）；故选：D【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13（5 分）将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到 2 本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可【解答】解：2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有=6 种结果，其中 2 本数学书相邻的有（数学 1，数学 2，语文），（数学 2，数学 1，语文），（语文，数学1，数学 2），（语文，数学 2，数学 1）共 4 个，故本数学书相邻的概率 P=故答案为：【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件 14（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A 【考点】F4：进行简单的合情推理菁优网版权所有【专题】5M：推理和证明【分析】可先由乙推出，可能去过 A 城市或 B 城市，再由甲推出只能是 A，B 中的一个，再由丙即可推出结论【解答】解：由乙说：我没去过 C 城市，则乙可能去过 A 城市或 B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市，则乙只能是去过 A，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为 A 故答案为：A【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题 15（5 分）设函数 f（x）=，则使得 f（x）2 成立的 x 的取值范围是x8 【考点】5B：分段函数的应用菁优网版权所有 第 10 页（共 15 页）【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用【分析】利用分段函数，结合 f（x）2，解不等式，即可求出使得 f（x）2 成立的 x 的取值范围【解答】解：x1 时，ex12，xln2+1，x1；x1 时，2，x8，1x8，综上，使得 f（x）2 成立的 x 的取值范围是 x8 故答案为：x8【点评】本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查学生的计算能力，属于基础题 16（5 分）如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座的山顶 C 为测量观测点，从 A 点测得 M 点的仰角MAN=60，C 点的仰角CAB=45以及MAC=75；从 C 点测得MCA=60，已知山高BC=100m，则山高 MN=150m 【考点】HU：解三角形菁优网版权所有【专题】12：应用题；58：解三角形【分析】ABC 中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC；AMC 中，由条件利用正弦定理求得 AM；RtAMN 中，根据 MN=AMsinMAN，计算求得结果【解答】解：ABC 中，BAC=45，ABC=90，BC=100，AC=100 AMC 中，MAC=75，MCA=60，AMC=45，由正弦定理可得，解得 AM=100 RtAMN 中，MN=AMsinMAN=100sin60=150（m），故答案为：150【点评】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17（12 分）已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程 x25x+6=0 的根（1）求an的通项公式；（2）求数列的前 n 项和 【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出 a2，a4的值，从而解出通项；（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和【解答】解：（1）方程 x25x+6=0 的根为 2，3又an是递增的等差数列，故 a2=2，a4=3，可得 2d=1，d=，故 an=2+（n2）=n+1，（2）设数列的前 n 项和为 Sn，Sn=，Sn=，第 11 页（共 15 页）得Sn=，解得 Sn=2【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式 18（12 分）从某企业生产的产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组 75，85）85，95）95，105）105，115）115，125）频数 6 26 38 22 8（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定？【考点】B8：频率分布直方图；BC：极差、方差与标准差菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可；（2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可（3）求出质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值，再和 0.8 比较即可【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示：（2）质量指标的样本平均数为=800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100，质量指标的样本的方差为 S2=（20）20.06+（10）20.26+00.38+1020.22+2020.08=104，这种产品质量指标的平均数的估计值为 100，方差的估计值为 104（3）质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68，由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定【点评】本题主要考查了频率分布直方图，样本平均数和方差，考查了学习的细心的绘图能力和精确的计算能力 19（12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为 O，且 AO平面BB1C1C（1）证明：B1CAB；（2）若 ACAB1，CBB1=60，BC=1，求三棱柱 ABCA1B1C1的高 第 12 页（共 15 页）【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直菁优网版权所有【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离【分析】（1）连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1的交点，证明 B1C平面 ABO，可得 B1CAB；（2）作 ODBC，垂足为 D，连接 AD，作 OHAD，垂足为 H，证明CBB1为等边三角形，求出B1到平面 ABC 的距离，即可求三棱柱 ABCA1B1C1的高【解答】（1）证明：连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1的交点，侧面 BB1C1C 为菱形，BC1B1C，AO平面 BB1C1C，AOB1C，AOBC1=O，B1C平面 ABO，AB平面 ABO，B1CAB；（2）解：作 ODBC，垂足为 D，连接 AD，作 OHAD，垂足为 H，BCAO，BCOD，AOOD=O，BC平面 AOD，OHBC，OHAD，BCAD=D，OH平面 ABC，CBB1=60，CBB1为等边三角形，BC=1，OD=，ACAB1，OA=B1C=，由 OHAD=ODOA，可得 AD=，OH=，O 为 B1C 的中点，B1到平面 ABC 的距离为，三棱柱 ABCA1B1C1的高 【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 20（12 分）已知点 P（2，2），圆 C：x2+y28y=0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点（1）求 M 的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积 【考点】%H：三角形的面积公式；J3：轨迹方程菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析】（1）由圆 C 的方程求出圆心坐标和半径，设出 M 坐标，由与数量积等于 0 列式得M 的轨迹方程；（2）设 M 的轨迹的圆心为 N，由|OP|=|OM|得到 ONPM求出 ON 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到 PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出 O 到 l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出 PM 的长度，代入三角形面积公式得答案【解答】解：（1）由圆 C：x2+y28y=0，得 x2+（y4）2=16，圆 C 的圆心坐标为（0，4），半径为 4 设 M（x，y），则，第 13 页（共 15 页）由题意可得：即 x（2x）+（y4）（2y）=0 整理得：（x1）2+（y3）2=2 M 的轨迹方程是（x1）2+（y3）2=2（2）由（1）知 M 的轨迹是以点 N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ONPM kON=3，直线 l 的斜率为 直线 PM 的方程为，即 x+3y8=0 则 O 到直线 l 的距离为 又 N 到 l 的距离为，|PM|=【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题 21（12 分）设函数 f（x）=alnx+x2bx（a1），曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为 0，（1）求 b；（2）若存在 x01，使得 f（x0），求 a 的取值范围 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）对 a 分类讨论：当 a时，当a1 时，当 a1 时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解：（1）f（x）=（x0），曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为 0，f（1）=a+（1a）1b=0，解得 b=1（2）函数 f（x）的定义域为（0，+），由（1）可知：f（x）=alnx+，=当 a时，则，则当 x1 时，f（x）0，函数 f（x）在（1，+）单调递增，存在 x01，使得 f（x0）的充要条件是，即，解得；当a1 时，则，则当 x时，f（x）0，函数 f（x）在上单调递减；当 x时，f（x）0，函数 f（x）在上单调递增 存在 x01，使得 f（x0）的充要条件是，而=+，不符合题意，应舍去 若 a1 时，f（1）=，成立 综上可得：a 的取值范围是【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本第 14 页（共 15 页）技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题 请考生在第请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。【选修题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。【选修 4-1：几：几何证明选讲】何证明选讲】22（10 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE（）证明：D=E；（）设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：ADE 为等边三角形 【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】15：综合题；5M：推理和证明【分析】（）利用四边形 ABCD 是O 的内接四边形，可得D=CBE，由 CB=CE，可得E=CBE，即可证明：D=E；（）设 BC 的中点为 N，连接 MN，证明 ADBC，可得A=CBE，进而可得A=E，即可证明ADE 为等边三角形【解答】证明：（）四边形 ABCD 是O 的内接四边形，D=CBE，CB=CE，E=CBE，D=E；（）设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MB=MC 知 MNBC，O 在直线 MN 上，AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，OMAD，ADBC，A=CBE，CBE=E，A=E，由（）知，D=E，ADE 为等边三角形 【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 【选修【选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】23已知曲线 C：+=1，直线 l：（t 为参数）（）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程（）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程菁优网版权所有【专题】5S：坐标系和参数方程【分析】（）联想三角函数的平方关系可取 x=2cos、y=3sin 得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数 t 得直线 l 的普通方程；（）设曲线 C 上任意一点 P（2cos，3sin）由点到直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离，除以 sin30进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值 第 15 页（共 15 页）【解答】解：（）对于曲线 C：+=1，可令 x=2cos、y=3sin，故曲线 C 的参数方程为，（为参数）对于直线 l：，由得：t=x2，代入并整理得：2x+y6=0；（）设曲线 C 上任意一点 P（2cos，3sin）P 到直线 l 的距离为 则，其中 为锐角 当 sin（+）=1 时，|PA|取得最大值，最大值为 当 sin（+）=1 时，|PA|取得最小值，最小值为【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题 【选修【选修 4-5：不等式选讲】：不等式选讲】24若 a0，b0，且+=（）求 a3+b3的最小值；（）是否存在 a，b，使得 2a+3b=6？并说明理由 【考点】RI：平均值不等式菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】（）由条件利用基本不等式求得 ab2，再利用基本不等式求得 a3+b3的最小值（）根据 ab2 及基本不等式求的 2a+3b8，从而可得不存在 a，b，使得 2a+3b=6【解答】解：（）a0，b0，且+=，=+2，ab2，当且仅当 a=b=时取等号 a3+b3 22=4，当且仅当 a=b=时取等号，a3+b3的最小值为 4（）2a+3b2=2，当且仅当 2a=3b 时，取等号 而由（1）可知，22=46，故不存在 a，b，使得 2a+3b=6 成立【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题