2013年广东高考（文科）数学试题及答案.doc

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013广东，文1)设集合Sx|x22x0，xR，Tx|x22x0，xR，则ST()A0 B0,2 C2,0 D2,0,22(2013广东，文2)函数的定义域是()A(1，) B1，)C(1,1)(1，) D1,1)(1，)3(2013广东，文3)若i(xyi)34i，x，yR，则复数xyi的模是()A2 B3 C4 D54(2013广东，文4)已知，那么cos ()A B C D5(2013广东，文5)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是()A1 B2 C4 D76(2013广东，文6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A B C D17(2013广东，文7)垂直于直线yx1且与圆x2y21相切于第象限的直线方程是()Axy0 Bxy10 Cxy10 Dxy08(2013广东，文8)设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若l，l，则 B若l，l，则C若l，l，则 D若，l，则l9(2013广东，文9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A B C D10(2013广东，文10)设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使abc；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A1 B2 C3 D4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分(一)必做题(1113题)11(2013广东，文11)设数列an是首项为1，公比为2的等比数列，则a1|a2|a3|a4|_.12(2013广东，文12)若曲线yax2ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.13(2013广东，文13)已知变量x，y满足约束条件则zxy的最大值是_ (二)选做题(1415题，考生只能从中选做一题)14(2013广东，文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为_15(2013广东，文15)(几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足为E，则ED_.三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(2013广东，文16)(本小题满分12分)已知函数，xR.(1)求的值；(2)若cos ，求.17(2013广东，文17)(本小题满分12分)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量)80,85)85,90)90,95)95,100)频数(个)5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在90,95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在80,85)和95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在80,85)和95,100)中各有1个的概率18(2013广东，文18)(本小题满分14分)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥ABCF，其中BC. 图(1) 图(2)(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当AD时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG.19(2013广东，文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Snan124n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列(1)证明：；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.20(2013广东，文20)(本小题满分14分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值21(2013广东，文21)(本小题满分14分)设函数f(x)x3kx2x(kR)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k0时，求函数f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：A解析：S2,0，T0,2，ST02答案：C解析：要使函数有意义，则解得x1且x1，故函数的定义域为(1,1)(1，)3答案：D解析：i(xyi)yxi34i，xyi43i.|xyi|5.4 答案：C解析：cos ，cos .5答案：C解析：i1，s1，i3，s101，i2；i3，s112，i3；i3，s224，i4；i3，s4.6答案：B解析：由俯视图知底面为直角三角形，又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1，且三棱锥的高为2，故V三棱锥112.7答案：A解析：由于所求切线垂直于直线yx1，可设所求切线方程为xym0.由圆心到切线的距离等于半径得，解得.又由于与圆相切于第象限，则.8答案：B解析：如图，在正方体A1B1C1D1ABCD中，对于A，设l为AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1为，.A1A平面B1BCC1，A1A平面DCC1D1，而平面B1BCC1平面DCC1D1C1C；对于C，设l为A1A，平面ABCD为，平面DCC1D1为.A1A平面ABCD，A1A平面DCC1D1，而平面ABCD平面DCC1D1DC；对于D，设平面A1ABB1为，平面ABCD为，直线D1C1为l，平面A1ABB1平面ABCD，D1C1平面A1ABB1，而D1C1平面ABCD故A，C，D都是错误的而对于B，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B正确9 答案：D解析：由中心在原点的椭圆C的右焦点F(1,0)知，c1.又离心率等于，则，得a2.由b2a2c23，故椭圆C的方程为.10答案：B解析：对于，由向量加法的三角形法则知正确；对于，由平面向量基本定理知正确；对于，以a的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量b有交点，这个不一定能满足，故不正确；对于，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|b|c|a|，故不正确二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分(一)必做题(1113题)11答案：15解析：由数列an首项为1，公比q2，则an(2)n1，a11，a22，a34，a48，则a1|a2|a3|a4|124815.12答案：解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y2ax及导数的几何意义得y|x12a10，解得a.13答案：5解析：由线性约束条件画出可行域如下图，平移直线l0，当l过点A(1,4)，即当x1，y4时，zmax5.(二)选做题(1415题，考生只能从中选做一题)14答案：(为参数)解析：由曲线C的极坐标方程2cos 知以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x1)2y21，故参数方程为(为参数)15 答案：解析：在RtABC中，AB，BC3，tanBAC，则BAC60，AEAB.在AED中，EAD30，AD3，ED2AE2AD22AEADcosEAD3223cos 30923.ED.三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16解：(1).(2)cos ，sin ，.17解：(1)苹果的重量在90,95)的频率为0.4；(2)重量在80,85)的有41个；(3)设这4个苹果中80,85)分段的为1，95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种任取2个，重量在80,85)和95,100)中各有1个记为事件A，则事件A包含有(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，所以P(A).18(1)证明：在等边三角形ABC中，ADAE，.又，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，DEBCDE平面BCF，BC平面BCF，DE平面BCF.(2)证明：在等边三角形ABC中，F是BC的中点，BC1，AFCF，BFCF.在三棱锥ABCF中，BC，BC2BF2CF2.CFBF.BFAFF，CF平面ABF.(3)解：由(1)可知GECF，结合(2)可得GE平面DFG.VFDEGVEDFGDGFGGE.19(1)证明：当n1时，4a1a225，a224a15.an0，.(2)解：当n2时，4Sn1an24(n1)1，4Snan124n1，由，得4an4Sn4Sn1an12an24，an12an24an4(an2)2.an0，an1an2，当n2时，an是公差d2的等差数列a2，a5，a14构成等比数列，a52a2a14，(a26)2a2(a224)，解得a23.由(1)可知，4a1a2254，a11.a2a1312，an是首项a11，公差d2的等差数列数列an的通项公式为an2n1.(3)证明：.20解：(1)依题意，解得c1(负根舍去)抛物线C的方程为x24y.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)由x24y，即yx2，得yx.抛物线C在点A处的切线PA的方程为yy1(xx1)，即yxy1x12.y1x12，yxy1.点P(x0，y0)在切线PA上，y0x0y1.同理，y0x0y2.综合，得，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标都满足方程y0x0y.经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线是唯一的，直线AB的方程为y0x0y，即x0x2y2y00.(3)由抛物线的定义可知|AF|y11，|BF|y21，|AF|BF|(y11)(y21)y1y2y1y21.联立消去x得y2(2y0x02)yy020，y1y2x022y0，y1y2y02.点P(x0，y0)在直线l上，x0y020.|AF|BF|x022y0y021y022y0(y02)212y022y05.当y0时，|AF|BF|取得最小值为.21解：f(x)3x22kx1，(1)当k1时，f(x)3x22x1，41280，f(x)0，即f(x)的单调递增区间为R.(2)(方法一)当k0时，f(x)3x22kx1，其开口向上，对称轴，且过(0,1)当4k2120，即k0时，f(x)0，f(x)在k，k上单调递增从而当xk时，f(x)取得最小值mf(k)k；当xk时，f(x)取得最大值Mf(k)k3k3k2k3k.当4k2120，即k时，令f(x)3x22kx10，解得：，注意到kx2x10.(注：可用韦达定理判断x1x2，x1x2k，从而kx2x10；或者由对称结合图象判断)mminf(k)，f(x1)，Mmaxf(k)，f(x2)f(x1)f(k)x13kx12x1k(x1k)(x121)0，f(x)的最小值mf(k)k.f(x2)f(k)x23kx22x2(k3kk2k)(x2k)(x2k)2k210，f(x)的最大值Mf(k)2k3k.综上所述，当k0时，f(x)的最小值mf(k)k，最大值Mf(k)2k3k.(方法2)当k0时，对xk，k，都有f(x)f(k)x3kx2xk3k3k(x21)(xk)0，故f(x)f(k)f(x)f(k)x3kx2xk3k3k(xk)(x22kx2k21)(xk)(xk)2k210.故f(x)f(k)f(k)k0，f(k)2k3k0，f(x)maxf(k)2k3k，f(x)minf(k)k.2013 广东文科数学 第7页