2013年广东高考（文科）数学试题及答案.pdf

2013 广东文科数学 第 1 页20132013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷广东卷)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1(2013 广东，文 1)设集合Sx|x22x0，xR R，Tx|x22x0，xR R，则ST()A0 B0,2 C2,0 D2,0,2 2(2013 广东，文 2)函数的定义域是()lg11xyx A(1，)B1，)C(1,1)(1，)D1,1)(1，)3(2013 广东，文 3)若 i(xyi)34i，x，yR R，则复数xyi 的模是()A2 B3 C4 D5 4(2013 广东，文 4)已知，那么 cos()51sin25A B C D 251515255(2013 广东，文 5)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为 3，则输出s的值是()A1 B2 C4 D7 6(2013 广东，文 6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A B C D1 1613237(2013 广东，文 7)垂直于直线yx1 且与圆x2y21 相切于第象限的直线方程是()Axy0 Bxy10 Cxy10 Dxy0 228(2013 广东，文 8)设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若 l，l，则 B若 l，l，则 C若 l，l，则 D若，l，则 l 9(2013 广东，文 9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()12A B C D 22134xy22143xy22142xy22143xy10(2013 广东，文 10)设a a是已知的平面向量且a a0 0.关于向量a a的分解，有如下四个命题：给定向量b b，总存在向量c c，使a ab bc c；给定向量b b和c c，总存在实数和，使a ab bc c；给定单位向量b b和正数，总存在单位向量c c和实数，使a ab bc c；给定正数和，总存在单位向量b b和单位向量c c，使a ab bc c.上述命题中的向量b b，c c和a a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A1 B2 C3 D4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，考生作答小题，考生作答 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分(一一)必做题必做题(11(111313 题题)11(2013 广东，文 11)设数列an是首项为 1，公比为2 的等比数列，则a1|a2|a3|a4|_.12(2013 广东，文 12)若曲线yax2ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.13(2013 广东，文 13)已知变量x，y满足约束条件则zxy的最大值是_ 30,11,1,xyxy (二二)选做题选做题(14(141515 题，考生只能从中选做一题题，考生只能从中选做一题)14(2013 广东，文 14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为2cos.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为_ 15(2013 广东，文 15)(几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足为E，3则ED_.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16(2013 广东，文 16)(本小题满分 12 分)已知函数，xR R.()2cos12f xx(1)求的值；3f(2)若 cos，求.353,226f 17(2013 广东，文 17)(本小题满分 12 分)从一批苹果中，随机抽取 50 个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量)80,85)85,90)90,95)95,100)频数(个)5 10 20 15(1)根据频数分布表计算苹果的重量在90,95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在80,85)和95,100)的苹果中共抽取 4 个，其中重量在80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在80,85)和95,100)中各有 1 个的概率 2013 广东文科数学 第 2 页18(2013 广东，文 18)(本小题满分 14 分)如图(1)，在边长为 1 的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥ABCF，其中BC.22 图(1)图(2)(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当AD时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG.23 19(2013 广东，文 19)(本小题满分 14 分)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足 4Snan124n1，nN N*，且a2，a5，a14构成等比数列(1)证明：；2145aa(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.1223111112nna aa aa a 2013 广东文科数学 第 3 页20(2013 广东，文 20)(本小题满分 14 分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：xy20 的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点 3 22(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值 2013 广东文科数学 第 4 页21(2013 广东，文 21)(本小题满分 14 分)设函数f(x)x3kx2x(kR R)(1)当k1 时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k0 时，求函数f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.2013 广东文科数学 第 5 页20132013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷广东卷)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 答案：答案：A 解析：解析：S2,0，T0,2，ST0 2 答案：答案：C 解析：解析：要使函数有意义，则 10,10,xx 解得x1 且x1，故函数的定义域为(1,1)(1，)3 答案：答案：D 解析：解析：i(xyi)yxi34i，4,3.xy xyi43i.|xyi|5.2243 4 答案：答案：C 解析：解析：5sinsin 222cos，sin215cos.155 答案：答案：C 解析：解析：i1，s1，i3，s101，i2；i3，s112，i3；i3，s224，i4；i3，s4.6 答案：答案：B 解析：解析：由俯视图知底面为直角三角形，又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是 1，且三棱锥的高为 2，故V三棱锥112.1312137 答案：答案：A 解析：解析：由于所求切线垂直于直线yx1，可设所求切线方程为xym0.由圆心到切线的距离等于半径得，解得.|12m2m 又由于与圆相切于第象限，则.2m 8 答案：答案：B 解析：解析：如图，在正方体A1B1C1D1ABCD中，对于 A，设l为AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1为，.A1A平面B1BCC1，A1A平面DCC1D1，而平面B1BCC1平面DCC1D1C1C；对于 C，设l为A1A，平面ABCD为，平面DCC1D1为.A1A平面ABCD，A1A平面DCC1D1，而平面ABCD平面DCC1D1DC；对于 D，设平面A1ABB1为，平面ABCD为，直线D1C1为l，平面A1ABB1平面ABCD，D1C1平面A1ABB1，而D1C1平面ABCD 故 A，C，D 都是错误的 而对于 B，根据垂直于同一直线的两平面平行，知 B 正确 9 答案：答案：D 解析：解析：由中心在原点的椭圆C的右焦点F(1,0)知，c1.又离心率等于，则，得a2.1212ca由b2a2c23，故椭圆C的方程为.22143xy10 答案：答案：B 解析：解析：对于，由向量加法的三角形法则知正确；对于，由平面向量基本定理知正确；对于，以a a的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量b b有交点，这个不一定能满足，故不正确；对于，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|b b|c c|a a|，故不正确 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，考生作答小题，考生作答 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分(一)必做题(1113 题)11答案：答案：15 解析：解析：由数列an首项为 1，公比q2，则an(2)n1，a11，a22，a34，a48，则a1|a2|a3|a4|124815.12答案：答案：12解析：解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为 0，由y2ax及导数的几何意义得y|x11x2a10，解得a.1213答案：答案：5 解析：解析：由线性约束条件画出可行域如下图，平移直线l0，当l过点A(1,4)，即当x1，y4 时，zmax5.2013 广东文科数学 第 6 页(二二)选做题选做题(14(141515 题，考生只能从中选做一题题，考生只能从中选做一题)14答案：答案：(为参数)1 cos,sinxy 解析：解析：由曲线C的极坐标方程2cos 知以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C是以(1,0)为圆心，半径为 1 的圆，其方程为(x1)2y21，故参数方程为(为参数)1 cos,sinxy 15 答案：答案：212解析：解析：在 RtABC中，AB，BC3，tanBAC，33BCAB 则BAC60，AEAB.1232在AED中，EAD30，AD3，ED2AE2AD22AEADcosEAD 3223cos 30 23232923 343232.214ED.212三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 解：解：(1).2cos2cos133124f(2)cos，353,22sin，241 cos5 2cos64f.12 cos cossin sin445 17 解：解：(1)苹果的重量在90,95)的频率为0.4；2050(2)重量在80,85)的有 41 个；55 15(3)设这 4 个苹果中80,85)分段的为 1，95,100)分段的为 2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 种任取 2 个，重量在80,85)和95,100)中各有 1 个记为事件A，则事件A包含有(1,2)，(1,3)，(1,4)，共 3 种，所以P(A).316218(1)证明：在等边三角形ABC中，ADAE，.ADAEDBEC又，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，ADAEDBECDEBC DE平面BCF，BC平面BCF，DE平面BCF.(2)证明：在等边三角形ABC中，F是BC的中点，BC1，AFCF，BFCF.12在三棱锥ABCF中，BC，22BC2BF2CF2.CFBF.BFAFF，CF平面ABF.(3)解：解：由(1)可知GECF，结合(2)可得GE平面DFG.VFDEGVEDFGDGFGGE.1312111131332332332419(1)证明：当n1 时，4a1a225，a224a15.an0，.2145aa(2)解：解：当n2 时，4Sn1an24(n1)1，4Snan124n1，由，得 4an4Sn4Sn1an12an24，an12an24an4(an2)2.an0，an1an2，当n2 时，an是公差d2 的等差数列 a2，a5，a14构成等比数列，a52a2a14，(a26)2a2(a224)，解得a23.由(1)可知，4a1a2254，a11.a2a1312，an是首项a11，公差d2 的等差数列 数列an的通项公式为an2n1.2013 广东文科数学 第 7 页(3)证明：12231111nna aa aa a 11111 33 55 72121nn 1111111112335572121nn.11112212n20 解：解：(1)依题意，解得c1(负根舍去)|02|3 222cd 抛物线C的方程为x24y.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)由x24y，即yx2，得yx.1412抛物线C在点A处的切线PA的方程为yy1(xx1)，12x即yxy1x12.12x12y1x12，yxy1.1412x点P(x0，y0)在切线PA上，y0 x0y1.12x同理，y0 x0y2.22x综合，得，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标都满足方程y0 x0y.2x经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线是唯一的，直线AB的方程为y0 x0y，即x0 x2y2y00.2x(3)由抛物线的定义可知|AF|y11，|BF|y21，|AF|BF|(y11)(y21)y1y2y1y21.联立 2004,220,xyx xyy消去x得y2(2y0 x02)yy020，y1y2x022y0，y1y2y02.点P(x0，y0)在直线l上，x0y020.|AF|BF|x022y0y021 y022y0(y02)21 2y022y05.2019222y当y0时，|AF|BF|取得最小值为.129221 解：解：f(x)3x22kx1，(1)当k1 时，f(x)3x22x1，41280，f(x)0，即f(x)的单调递增区间为 R R.(2)(方法一)当k0 时，f(x)3x22kx1，其开口向上，对称轴，且过(0,1)3kx 当4k2120，4(3)(3)kk即k0 时，f(x)0，f(x)在k，k上单调递增 3从而当xk时，f(x)取得最小值mf(k)k；当xk时，f(x)取得最大值Mf(k)k3k3k2k3k.当4k2120，即k时，4(3)(3)kk3令f(x)3x22kx10，解得：，注意到kx2x10.2133kkx2233kkx(注：可用韦达定理判断x1x2，x1x2k，从而kx2x10；或者由对称结合图象判断)1323kmminf(k)，f(x1)，Mmaxf(k)，f(x2)f(x1)f(k)x13kx12x1k(x1k)(x121)0，f(x)的最小值mf(k)k.f(x2)f(k)x23kx22x2(k3kk2k)(x2k)(x2k)2k210，f(x)的最大值Mf(k)2k3k.综上所述，当k0 时，f(x)的最小值mf(k)k，最大值Mf(k)2k3k.(方法 2)当k0 时，对xk，k，都有 f(x)f(k)x3kx2xk3k3k(x21)(xk)0，故f(x)f(k)f(x)f(k)x3kx2xk3k3k(xk)(x22kx2k21)(xk)(xk)2k210.故f(x)f(k)f(k)k0，f(k)2k3k0，f(x)maxf(k)2k3k，f(x)minf(k)k.