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函数最值问题的求解方法

专 业： 数 学 教 育
准考证号： 070105100111
姓 名：
指导教师：
完成时间： 2013年11月25日
- 22 -

函数最值问题的求解方法

摘 要 函数最值问题是数学领域中的重要研究内容。它不仅仅只在教学中解决一些数学问题，而且经常运用于解决实际问题。在工农业生产、经济管理和经济核算中，常常遇到一些解决在满足一定条件下怎样使产出最多、效益最高但投入最小等之类的问题。生活中也时常会见到求用料最省、效率最高、利润最大等问题。而这些生活和经济问题一般都可以转化为数学中的函数类问题来分析研究，进而转化为求函数最大（小）值的问题，即为函数的最值探讨，这尤其对研究实际问题的人们来说尤为重要。而函数最值问题的解法包括一元函数和多元函数，同时也有初等与高等解法之分。本文主要通过从初等解法方面对一元函数最值问题进行研究，探讨各种不同的求解方法，阐述函数最值问题研究的重要性，得到求解函数最值的几种方法及求解时应注意的一些问题.

关键词 函数 最值 高等解法 初等解法 微分

目录

1 引言 - 4 -
2 求函数最值的几种解法探讨 - 5 -
2.1 判别式法 - 5 -
2.2 配方法 - 6 -
2.3 均值不等式法 - 6 -
2.4 换元法 - 7 -
2.5 三角函数法 - 8 -
2.6 单调性法 - 9 -
2.7 导数法 - 9 -
3 求解函数最值时应注意的一些问题 - 10 -
3.1 注意定义域 - 10 -
3.2 注意值域 - 11 -
3.3 注意参变数的约束条件 - 12 -
3.4 注意对判别式的运用 - 13 -
3.5 注意均值不等式的运用 - 13 -
4 函数最值在实际问题中的应用 - 15 -
4 结论 - 19 -
致谢 - 20 -
参考文献 - 21 -

1 引言
函数是中学数学的主体内容，贯穿于整个中学阶段，而函数最值问题是函数的重要组成部分．处理函数最值的过程就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化，虽然解决问题的具体过程不尽相同，但就其思维方式来讲，通常是将待解决的问题通过一次又一次的转化，直至划归为一类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答．
函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一．由于其综合性强，解法灵活，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，灵活选择合适的解题方法．函数最值的定义：
一般地，函数的最值分为最小值和最大值:设函数在处的函数值是
如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最小值，记作；
如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最大值，记作.
函数的最值一般有两种特殊情况：
（1）如果函数在上单调增加(减少)， 则是在上的最小值(最大值)，是在上的最大值(最小值).
（2）如果连续函数在区间内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间上的最大(小)值.
2 求函数最值的几种解法探讨
2.1 判别式法
对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件来求出的最值.
例. 求函数的最值.
解：因为，所以，
而，所以有

所以，当时，；
当时，.
应注意：用判别式法求函数的最值时，是表示或，并非要此二者同时成立.因此，在利用求出的的取值范围：或且中，不能随意断定或，还必须求出与、对应的的值，并将其代入原来的函数中进行验算，只有当、的对应值存在,并满足所求得的不等式时，才能确定为原来函数的最值.
2.2 配方法
如果给定函数是二次函数或变形后可转化为二次函数的问题，一般可用此法求解.
例. 求在区间内的最值.
解：配方得,
因为,所以，从而当即，取得最大值；当即时取得最小值1.
2.3 均值不等式法
设是n个正数，则有，其中等号成立的条件是.
运用均值不等式求最值，必须具备三个必要条件，即一正二定三等，缺一不可.“正”是指各项均为正数，这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件.
例. 设，求的最大值.
解：由，有.
又因为=
=

其中当时，上式等号成立，即时成立，故的最大值为.
2.4 换元法
用换元法求函数最值，就是根据函数表达式的特点，把某一部分看做一个整体或用一个新变元来代替，达到化繁难为简易，化陌生为熟悉，从而使原问题得解.
例. 求函数的最值.
解：因为，即给定函数的定义域为：.
于是令 ，.
则给定函数可变形为:
=
=2[]-2
=
=

而..
又因在是增函数，所以其最值在端点处取得.
2.5 三角函数法
如果给定函数，经变形后能化成：或（、是常数）的形式，则由或
可知：当或时，（设）
当或时，（设）
例. 求函数的最大值.
解：因为

=
当时，；
当时，
即，所以，当时，.
2.6 单调性法
当自变量的取值范围为一区间时，有时也用单调性法来求函数的最值．在确定函数在指定区间上的最值时，首先要考虑函数在这个区间上的单调情况．若函数在整个区间上是单调的，则该函数在区间端点上取得最值．若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值[5]．
例. 设函数是奇函数，对任意、均有关系，若时，且．求在上的最大值和最小值.
解：先确定在上的单调性，设任意、且，则.
所以有

即.
所以，在上是减函数.
因此，的最大值是;
的最小值是.
2.7 导数法
设函数在上连续，在上可导，则在上的最大值和最小值为在内的各极值与，中的最大值与最小值．
要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数式的最值，通常都用该方法．导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视．
例. 求函数，的最大值和最小值．
解：求导得.
令，方程无解.
因为，所以函数在上时增函数.
故 当时，;
当时，.
综上可知，函数最值问题内涵丰富，解法灵活.没有通用的方法和固定模式，在解题时要因题而异，而且上述介绍的几种求解方法也并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法，函数的最值解题方法是灵活多样性的，除了以上讲的，还有很多种方法，如：消元法、数形结合法、复数法、几何法、待定系数法、万能公式法等等.因此，解题的关键在分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，减少解题时间．
3 求解函数最值时应注意的一些问题
3.1 注意定义域
遇到求最值问题的时候，我们切记在求解的过程当中，要注意观察定义域的变化情况，
在最初解题之时，应当先把函数的定义域确定；在解题过程中，当函数变形时注意定义域是否发生改变，如果又引入新变量也要确定这个变量的取值范围，以免在后面的求解过程中出现错误；在解题结束时，必须检验所求得的使函数取得最值的自变量是否包含在定义域的范围内．
例. 求函数的最值.
错解：将两边同时平方并去分母得.
因为，所以，化简得.
所以，故，.
分析：这个答案致错原因是两边平方及去分母，使函数的定义域扩大了.
正解：将两边平方并去分母，得.
因为，所以，化简得.
所以，注意到原函数的定义域是，则有，，于是必有.
所以，故，.
3.2 注意值域
求函数的最值，不但对几种基本初等函数的值域要非常熟悉，而且在解题过程中还要注意函数取值范围的变化.
例. 求的最值.
错解：原式变形为，因为，所以.
解之得，所以，.
分析：把代入得.而这个方程无解，故不在函数的值域内.
事实上，由知，故只有最小值-2无最大值.由此可以看出用“判别式法”求最值，有可能扩大的取值范围.
3.3 注意参变数的约束条件
有一类求最值的问题，在题设函数里含有参变数，在计算过程中，当问题转化为参数的二次函数时，如不考虑参变数的约束条件，易误人用一般情况下求函数最值的方法代替求函数在特定区间最值的歧途．
例. 设，，，求的最值.
错解：由题设知，，
对其分别平方得：，，则.
所以 ，.
分析：根据约束条件，，要，只有且而它们又不满足，因此不是的最小值，类似可推知也不是的最大值，错误处在上面不等式的变形不是同解变形，为了避免这类错误，一方面要尽量减少不等式之间的四则运算，另一方面，对不等式进行四则运算时，要注意等号成立的条件.
正确的解法是：通过把原式转换为一个一元二次函数即（），从而转化为求函数在区间上的最值问题.
3.4 注意对判别式的运用
用判别式求函数的最值，由于各种因素、各种条件的互相约束一不留神就会出现错误，所以用这种方法解题时应注意把握好约束条件.
例. 求函数的最值.
错解：原式可化为，因为，所以即,解得.
则,.
分析：本题错在只保证有实根，而不能保证其根属于，当时，方程变为，不属于，因此不能立即就断定函数最小值认为是，最大值是，应对判别式取等号时的值进行校验.事实上，因为，可知，，即.所以可知原函数最小值.最大值由前面分析可知即为.
3.5 注意均值不等式的运用
注意当且仅当这些正数相等时，它们的积(和)才能取大(小)值.
例. 求函数的最小值.
错解：因为，所以，，，于是

所以的最小值是.
分析：上面解法错误，是没有注意到当且仅当时，函数才能取得最小值，但显然不等于，所以不能取.
对均值不等式中等号成立的条件生搬硬套
例. 已知，且，求的最小值，并求的最小值时的，，的值.
错解：因为，
所以，，从而，，，当且仅当时，上式取等号，又，所以当且仅当时，有最小值162.
分析：上面解法错误，是对均值不等式中等号成立的条件没有理解而直接套用的结果，事实上，当时，不等于162.正确的解法是：在，即中，等号当且仅当，即，，时成立，所以当，，时，有最小值162.
连续进行几次不等式变形，并且各次不等式中的等号不能同时成立而造成的错误
例. 已知，且，求的最小值.
错解：因为，所以，则，所以，因此的最小值是8.
分析：上面解法中，连续进行了两次不等变形：与，且这两次不等式中的等号不能同时成立，第一个不等式当且仅当时等号成立，第二个是当且仅当即，时等号成立，因此不可能等于8.事实上，题中的依然可以由替换，从而将转化成关于的函数：

.
由题意知，所以运用均值不等式即可求得该函数最小值,
即当时取最小值，求得，，符合题意.所以最小值为9.
4 函数最值在实际问题中的应用
例1. 某工厂要建造一个长方形无盖储水池，其容积为4800，深为，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
分析：从题中分析可以得出，水池高度已知，进而问题转化为求池壁的长和宽的问题，从而确定取什么值使总造价最低.即涉及到两个变量，因为池壁的长和宽不可能为负数，由此我们可以想到利用均值不等式来求解.
解：设底面的长为,宽为，水池的总造价为元.
根据题意有：，由容积为4800，可得，因此，.由均值不等式与不等式的性质，可得：

即 .
当，即时，等号成立.所以，将水池的地面设计成边长为40的正方体时总造价最低，最低总造价是297600元.
例2. 某工厂2003年的纯收入为500万元，因设备老化等原因，工厂的生产能力将逐年下降.如果不对技术进行改造,从今年起预计每年将比上一年减少纯收入20万元, 所以今年年初该工厂为了进行技术改造，一次性投入资金600万元，预计在未扣除技术改造资金的情况下，第年（第一年从今年算起）的利润为万元（为正整数）.设从第一年起的前年，如果该工厂不进行技术改造的累计纯收入为万元，进行技术改造后的累计纯收入为万元（须扣除技术改造资金），则从今年起该工厂至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯收入超过不进行技术改造的累计纯收入？
分析：首先根据题意写出、的表达式，可知它们都为数学上一个简单的数列求和问题.继而对它们作差就建立起一个函数关系式，即转化为数学上的函数最值问题,再利用合适的方法进行求解即可.
解：依题设有
.
则

.
因为函数在上为增函数，所以
当时，；
当时，.
所以，仅当时，.即至少要经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
p

q
1
60
24
40
58
81
例3. 某公司为资助尚有26.8万元无息贷款尚未偿还的化妆品商店，借出20万元将该店铺改造成经营状况良好的某体育用品专卖店，并约好用该店赚取的利润逐步对债务进行偿还(全部债务均不算利息)．已知该体育用品的进价为40元/件；该店月销量(百件)与售价(元/件)之间的关系可用右图(图一)的一条折线表示；员工的月工资为600元/人，该店还需交纳的其他费用为13200元/月．
(1)若售价为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的员工有多少；
图一
(2)若该店只招聘了40名员工，则该店最快可在几年后把所有债务还清，此时每件体育用品的价格定为多少元？
分析：由题中给出的图可以看出，我们可以把它看做是在闭区间上的一个分段函数问题，从而转化为数学问题，利用函数图象所表示的几何意义，借助于几何图形的直观性来求分段函数最值问题．
解：(1)设该店的月利润为元，有职工名.则．
又由图可知：
所以，
由此知，当 时，，即，解得，即此时该店有50名职工.
(2)若该店只安排40名职工，则月利润

当时，求得时，取最大值7800元；
当时，求得时，取最大值6900元．
综上，当时，有最大值7800元．
设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有，解得．
所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元．
由此我们可以总结出实际问题利用函数求最值的一般步骤：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，正确选择自变量和因变量，找准等量关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步；
(2)确定函数定义域，根据函数关系式，选择合适的求解方法；
(3)求出满足条件的定义域范围，结合实际，确定最值或最值点.
4 结论
本文简单的介绍了几种有关求函数最值问题的解法，以及在解题时需要注意的一些问题，告诉我们在解题时要学会分析思考，选择合适的解法，尽量用简便的方法快速地解答出问题，通过几个在实例问题中的运用分析，学好函数最值的求解方法是至关重要的,通过它可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题,即要“学以致用”.当然对于函数最值求解的方法还有很多，例如，反函数法、二次函数法等．本文中只是对求最值问题的方法作部分的介绍与探讨，具体的求解方法还有待我们更深层次去的发现、研究和总结．由于函数最值问题的求解方法的灵活多样性，所以不管是我们在对待最值问题的教学内容，还是我们在求解实际问题的时候，都应该把思想方法的掌握与渗透作为重点，把建构和发展数学思维作为一项重要任务.致谢
行文至此，我的这篇论文也快完了，回顾这几年来的学习经历，有辛酸，也有欢乐，面对现在的自己，我感到无限欣慰.在此论文撰写过程中，要特别感谢我的导师指导与督促，同时感谢她的谅解与包容.求学的历程是艰苦的，但又是快乐的，感谢这几年来传授我专业知识的各位老师，是你们的悉心教导使我有了良好的专业课知识，这也是论文得以完成的基础. 同时感谢我身边的同学，感谢你们给我学习、生活中的帮助，由于你们的帮助和支持，我才能一个一个克服困难、解明疑惑，才使我顺利的完成了这篇论文.

参考文献
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