旋转矢量法在平面简谐波研究中的应用_王杰.pdf

第 43卷 第 1期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.1 2023年 1月 Journal of Science of Teachers College and University Jan.2023 文章编号：1007-9831（2023）01-0087-03 旋转矢量法在平面简谐波研究中的应用 王杰1，王光辉2（1.海军航空大学，山东 烟台 264001；2.海军潜艇学院，山东 青岛 266199）摘要：针对如何应用旋转矢量研究平面简谐波的问题，在介绍空间旋转矢量的基础上，研究了空间旋转矢量的内涵，归纳了其遵循的规律在此基础上，探讨了波函数与空间旋转矢量、波形图与空间旋转矢量之间的相互获取方法研究表明，采用空间（波动）旋转矢量，可以形象直观地描述平面简谐波，能够较大程度地降低分析解决平面简谐波问题的难度 关键词：空间（波动）旋转矢量；平面简谐波；波函数；波形图 中图分类号：O4G642.423 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.01.019 Application of rotation vector method to plan simple harmonic wave WANG Jie1，WANG Guanghui2（1.Naval Aviation University，Yantai 264001，China；2.Naval Submarine Academy，Qingdao 266199，China）AbstractAbstract：Aiming at the problem of how to use the rotation vector to study the plane simple harmonic wave，on the basis of introducing the space rotation vector，the connotation of space rotation vector is studied，and summarize the rules it follows On the basis，the wave function and spatial rotation vector，mutual acquisition method between wave form graph and space rotation vector are discussedResearches show that using space（wave）rotation vector which can be described intuitively and vividly plane simple harmonic waves It can greatly reduce the difficulty of analyzing and solving plane harmonic wave problem K Key wordsey words：space（wave）rotation vector；plane simple harmonic wave；wave function；wave form graph 在理工科本科教育大学物理课程各种版本的教材中，普遍介绍了应用旋转矢量分析解决简谐振动的方法1，该方法研究过程直观形象、简单方便，在很大程度上简化了解决简谐振动问题的难度，特别是在处理相位、相位差相关问题中，优势明显但是，对于平面简谐波问题的研究，却没有采用类似的方法针对此种不足，何长英2提出了空间旋转矢量的概念，并给出了采用空间旋转矢量确定机械波相位或初相位的方法在此基础上，杨庆怡3等提出了波动旋转矢量的概念，并应用振动旋转矢量和波动旋转矢量 2 种工具研究了驻波波形的描述问题空间旋转矢量和波动旋转矢量实质上是一致的，如何充分利用空间（波动）旋转矢量研究平面简谐波，成为需要解决的一个重要问题 1 空间（波动）旋转矢量 设沿x轴传播的平面简谐波，角速度为2=k（即简谐波的波数）、矢径大小为振幅A，分别沿顺时针方向（简谐波沿x轴传播，相位随x坐标的增大而减小）或逆时针方向（简谐波沿x轴负向传播，相位随x坐标的增大而增大）旋转的矢量则其空间（波动）旋转矢量分别见图 1ab216 收稿日期：2022-07-05 作者简介：王杰（1972-），男，山东青岛人，副教授，硕士，从事物理学教学研究E-mail： 88 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 AOyk(t)-kx a 顺时针旋转 AOyk(t)+kx b 逆时针旋转 图 1 空间（波动）旋转矢量 由空间（波动）旋转矢量的定义不难看出：空间（波动）旋转矢量与y轴之间的夹角为t时刻x位置质点的振动相位，逆时针方向为正；旋转矢量中圆周的各点，对应平面简谐波的x坐标，正方向与波数k的方向一致；对于沿x轴传播的简谐波，沿顺时针方向旋转，随x坐标增大，相应质点的相位减小；对于沿x轴负向传播的简谐波，沿逆时针方向旋转，随x坐标增大，相应质点的相位增大 空间（波动）旋转矢量满足规律：旋转矢量转动一周，表示简谐波传播了一个空间周期，即对应x坐标变化了，相位变化了2；旋转矢量处于不同位置，相应不同x坐标处的质点，对应该质点的位移y；不论沿顺时针方向旋转的旋转矢量，还是沿逆时针方向旋转的旋转矢量，当旋转矢量在y轴的左侧时，旋转矢量对应质点的速度方向沿y轴负方向，反之沿y轴正方向 2 波函数与空间（波动）旋转矢量 2.1 由波函数获取空间（波动）旋转矢量 沿x轴正方向和x轴负方向传播的平面简谐波的波函数可表示为 coscos 2cosxyAtutxyATyAtkx=+=+=+（1）式中：当简谐波沿x轴正方向传播时，“”取“-”，沿x轴负方向传播时，“”取“+”由式（1）可得，坐标原点处（0 x=）质点在t时刻的相位为()()0ttt=+，x处质点在t时刻的相位为()xtkx=，（见图 2），由波函数可得x处质点在t时刻的空间（波动）旋转矢量 由图 2 可见，利用t时刻的空间（波动）旋转矢量，可以获取：t时刻，x处质点的振动位移和振动速度方向，从而确定x处质点的振动方程；x时刻，任意1x，2x处 2 个质点之间振动的相位差为2x=因此，利用简谐波的空间（波动）旋转矢量，可以方便地实现波传播路径上不同质点之间，x，三者之间的相互关系 AOyk(t)x=0 xkx a 顺时针旋转 AOyk(t)xkxx=0 b 逆时针旋转 图 2 空间（波动）旋转矢量 第 1 期 王杰，等：旋转矢量法在平面简谐波研究中的应用 89 2.2 由空间（波动）旋转矢量获取波函数 由空间（波动）旋转矢量可得：简谐波的振幅At，时刻x处质点的振动相位()tkx=（简谐波沿x轴正方向传播时，取“-”，沿x轴负方向传播时，取“+”），因此，相应简谐波的波函数可写为()cosyAtkx=（2）可见，利用空间（波动）旋转矢量，可以方便地获取简谐波的波函数 3 波形图与空间（波动）旋转矢量 3.1 由波形图获取空间（波动）旋转矢量 根据简谐波的传播方向，由沿x轴方向传播的平面简谐波在t时刻的波形图（见图 3），可得简谐波传播路径上0 x=，1234xxxx，等处质点的位移和振动方向由图 3b 可见，由各质点在t时刻的振动情况和波数k的方向，可得相应质点对应的空间（波动）旋转矢量位置（图 3 中绘出了1234xxxx，位置质点对应的旋转矢量位置）同理可得，沿x轴负方向传播的平面简谐波在t时刻的波形图所对应的空间（波动）旋转矢量（见图 3cd）A-AxuyOyy0 x1x2x3kx4x=0y0 xx1x2x3x4x5O1350013 a 沿 x 轴正向传播 b 顺时针旋转 A-Ay0 xuyAOy00 x1x2x3x4x5y0Ox1x2x3kx4x=013513 c 沿 x 轴负向传播 d 逆时针旋转 图 3 空间（波动）旋转矢量与波形 由图 3 可见，利用空间（波动）旋转矢量，很方便地计算原点处质点的振动相位；当波形图中曲线与横轴交点坐标12345xxxxx，的数值已知时，也很容易地计算这些位置的质点振动相位；当仅已知12345xxxxx，中一个坐标时，利用波形图不方便对简谐波波长的求解，但是，利用空间（波动）旋转矢量可得已知坐标处质点与原点处质点之间的相位差（即对应旋转矢量之间的夹角），进而由2x=获取该简谐波的波长利用该方法求波长，要比待定系数法简便得多 3.2 由空间（波动）旋转矢量获取波形图 由图 3b，d 可知，从t时刻的不同坐标处质点对应的空间（波动）旋转矢量图中，连续选取一些具有特殊位移（如位移为 0，A）的振动质点，利用它们的位置坐标x和位移y，结合三角函数曲线规律，便可绘出简谐波相应时刻的波形图因此，由某一时刻各个质点对应的空间（波动）旋转矢量，可以方便地获得简谐波在该时刻的波形图 可见，对于平面简谐波，可以利用空间（波动）旋转矢量来描述，该旋转矢量随简谐波传播路径上的x坐标的变化，以波数为角速度旋转利用空间（波动）旋转矢量，可以方便地实现对简谐波传播问题的分析和求解 综上所述，与利用振动旋转矢量分析解决简谐振动问题类似，利用空间（波动）旋转矢量能够使平面简谐波的波动过程直观明了，简化对平面简谐波问题的分析和求解，降低求解难度因此，应进一步研究和完善空间（波动）旋转矢量理论 参考文献：1 马文蔚，周雨青，解希顺物理学M7 版北京：高等教育出版社，2020：6-8 2 何长英旋转矢量在机械波教学中的应用J物理与工程，2007，17（4）：15-17 3 杨庆怡，刘奕新，郭进用振动旋转矢量和波动旋转矢量描述驻波波形J物理与工程，2009，19（3）：57-58