排列组合问题常用的解题方法含答案.doc

高中数学排列组合问题常用的解题方法
一、相邻问题捆绑法
题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．
例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有 种。

二、相离问题插空法
元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．
例2：七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 。

三、定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．
例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有 。

四、标号排位问题分步法
把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．
例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。

五、有序分配问题逐分法
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。
例5：有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有 。

六、多元问题分类法
元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。
例6：由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 个。

例7：从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？

例8：从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种？

七、交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式。
例 9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？

八、定位问题优先法
某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。
例10：1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有_______ _种。

九、多排问题单排法
把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理。
例11：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 。

例12：8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？

十、“至少”问题间接法
关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便。
例13：从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 种。

十一、选排问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。
例14：四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_____ ___种

例15：9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？

十二、部分合条件问题排除法
在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求。
例16：以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 个。

例17：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共
有 种。

十三、复杂排列组合问题构造模型法
例18：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

十四、利用对应思想转化法
例19：圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？

高中数学排列组合问题常用的解题方法
一、相邻问题捆绑法
题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．
例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有 种。
分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相当于4人的全排列，种。
二、相离问题插空法
元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．
例2：七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 。
分析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种。
三、定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．
例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有 。
分析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种。
四、标号排位问题分步法
把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．
例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。
分析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。
五、有序分配问题逐分法
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。
例5：有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有 。
分析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种。
六、多元问题分类法
元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。
例6：由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 个。
分析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，个，合并总计300个。
例7：从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？
分析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种。
例8：从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种？
分析：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种。
七、交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式。
例 9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？
分析：设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，
B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

八、定位问题优先法
某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。
例10：1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有_______ _种。
分析：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。

九、多排问题单排法
把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理。
例11：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 。
分析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种。
例12：8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？
分析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法。
十、“至少”问题间接法
关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便。
例13：从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 种。
分析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种。
分析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有种。
十一、选排问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。
例14：四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_____ ___种
分析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种。
例15：9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？
分析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种。
十二、部分合条件问题排除法
在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求。
例16：以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 个。
分析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个。
例17：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共
有 种。
分析：10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个；所以四点不共面的情况的种数是种。
十三、复杂排列组合问题构造模型法
例18：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
分析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。所以满足条件的关灯方案有10种。
十四、利用对应思想转化法
例19：圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？
分析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个。

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