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圆锥曲线测试题
一、选择题( 60 )
1已知椭圆的两个焦点为、,且,弦AB过点,则△的周长为( )
(A)10 (B)20 (C)2(D)
2椭圆上的点P到它的左准线的距离是10,那么点P 到它的右焦点的距离是( )
(A)15 (B)12 (C)10 (D)8
3椭圆的焦点、,P为椭圆上的一点,已知,则△的面积为( )
(A)9 (B)12 (C)10 (D)8
4以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是( )
(A) (B)
(C)或 (D)或
5双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为2,则P点到左准线的距离为( )
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12
6过双曲线的右焦点F2有一条弦PQ,|PQ|=7,F1是左焦点,那么△F1PQ的周长为( )
(A)28 (B)(C)(D)
7双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,,则双曲线的离心率为( )
(A)(B)(C)(D)
8在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,则该双曲线的离心率为( C )
A、 B、2 C、 D、2
9 如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( )
(A)(B)(C)(D)
10 如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2,那么点到轴的距离是( A )
A、 B、 C、 D、
11 中心在原点,焦点在y轴的椭圆方程是 ,,
则 ( )
A. B. C. D.
12 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点,若,则的离心率为( A )w.w.w.k.s.5.u.c.o.
m A、 B、 C、 D、
二、填空题( 20 )
13 与椭圆具有相同的离心率且过点(2,-)的椭圆的标准方程是 。
14 离心率,一条准线为的椭圆的标准方程是 。
15 以知F是双曲线的左焦点,是双曲线右支上的动点,则的最小值为 9
16已知双曲线的左、右焦点分别为,若双曲线上存在一点使,则该双曲线的离心率的取值范围是 .
三、解答题( 70 )
17) 已知椭圆C的焦点F1(-,0)和F2(,0),长轴长6,设直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标。
18) 已知双曲线与椭圆共焦点,它们的离心率之和为,求双曲线方程.
19)求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程。
20.(1)椭圆C:(a>b>0)上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4,
求椭圆的方程;
(2)设K是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时,那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质,并加以证明。
解:(1)
(2)设中点为(x,y), F1(-1,0) K(-2-x,-y)在上 Þ
(3)设M(x1,y1), N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1
则 为定值.
2120. 已知双曲线方程为与点P(1,2),
(1)求过点P(1,2)的直线的斜率的取值范围,使直线与双曲线
有一个交点,两个交点,没有交点。
(2) 过点P(1,2)的直线交双曲线于A、B两点,若P为弦AB的中点,
求直线AB的方程;
(3)是否存在直线,使Q(1,1)为被双曲线所截弦的中点?若存在,
求出直线的方程;若不存在,请说明理由。
解:(1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率
存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),代入C的方程,并整理得
(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*)
(ⅰ)当2-k2=0,即k=±时,方程(*)有一个根,l与C有一个交点
(ⅱ)当2-k2≠0,即k≠±时
Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)
①当Δ=0,即3-2k=0,k=时,方程(*)有一个实根,l与C有一个交点.
②当Δ>0,即k<,又k≠±,故当k<-或-<k<或<k<时,方程(*)有两不等实根,l与C有两个交点.
③当Δ<0,即k>时,方程(*)无解,l与C无交点.
综上知:当k=±,或k=,或k不存在时,l与C只有一个交点;
当<k<,或-<k<,或k<-时,l与C有两个交点;
当k>时,l与C没有交点.
(2)假设以P为中点的弦为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=4 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即kAB==1
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与有交点,所以以P为中点的弦为:.
(3)假设以Q为中点的弦存在,设为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即kAB==2
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点,所以假设不正确,即以Q为中点的弦不存在.
13)与椭圆具有相同的离心率且过点(2,-)的椭圆的标准方程是 或。
14)离心率,一条准线为的椭圆的标准方程是。
17) 已知椭圆C的焦点F1(-,0)和F2(,0),长轴长6,设直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标。(8分)
解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
.联立方程组,消去y得, .
设A(),B(),AB线段的中点为M()那么: ,=
所以=+2=.也就是说线段AB中点坐标为(-,).
18) 已知双曲线与椭圆共焦点,它们的离心率之和为,求双曲线方程.(10分)解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,
从而c=4,a=2,b=2.
所以求双曲线方程为: .
20)求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程。(10分)
解:设双曲线方程为x2-4y2=.
联立方程组得: ,消去y得,3x2-24x+(36+)=0
设直线被双曲线截得的弦为AB,且A(),B(),那么:
那么:|AB|=
解得: =4,所以,所求双曲线方程是:
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