椭圆和双曲线练习题及答案.doc

圆锥曲线测试题
一、选择题（ 60 ）
1已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长为（ ）
（A）10 （B）20 （C）2（D）
2椭圆上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ ）
（A）15 （B）12 （C）10 （D）8
3椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（ ）
（A）9 （B）12 （C）10 （D）8
4以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ）
（A） （B）
（C）或 （D）或
5双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P点到左准线的距离为（ ）
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
6过双曲线的右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（ ）
（A）28 （B）（C）（D）
7双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2，，则双曲线的离心率为（ ）
（A）（B）（C）（D）
8在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为( C )
A、 B、2 C、 D、2

9 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
（A）（B）（C）（D）
10 如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（　A 　）
A、　　 　B、 　　C、　　 　D、
11 中心在原点，焦点在y轴的椭圆方程是 ，，
则 （ ）
A． B． C． D．
12 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为（ A ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.
m A、 B、 C、 D、
二、填空题（ 20 ）
13 与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是 。
14 离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是 。
15 以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 9
16已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
三、解答题（ 70 ）
17) 已知椭圆C的焦点F1（－，0）和F2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标

18) 已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.

19)求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程。

20．(1)椭圆C:(a＞b＞0)上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4,
求椭圆的方程;
(2)设K是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。
解：(1)
(2)设中点为(x,y), F1(-1,0) K(-2-x,-y)在上 Þ
(3)设M(x1,y1), N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1
则 为定值.

2120. 已知双曲线方程为与点P(1,2),
（1）求过点P（1，2）的直线的斜率的取值范围，使直线与双曲线
有一个交点，两个交点，没有交点。
(2) 过点P（1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，
求直线AB的方程；
（3）是否存在直线，使Q（1，1）为被双曲线所截弦的中点？若存在，
求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率
存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得
(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (*)
(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点
(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时
Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)
①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.
②当Δ＞0,即k＜,又k≠±故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.
③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.
综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；
当k＞时，l与C没有交点.
（2）假设以P为中点的弦为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=4 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB==1
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与有交点，所以以P为中点的弦为：.
(3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB==2
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.

13)与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是 或。
14）离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是。
17) 已知椭圆C的焦点F1（－，0）和F2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。(8分)
解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
.联立方程组,消去y得, .
设A(),B(),AB线段的中点为M()那么: ,=
所以=+2=.也就是说线段AB中点坐标为(-,).
18) 已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.(10分)解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,
从而c=4,a=2,b=2.
所以求双曲线方程为: .
20)求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程。(10分)
解:设双曲线方程为x2-4y2=.
联立方程组得: ,消去y得，3x2-24x+(36+)=0
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(),B()，那么：
那么：|AB|=
解得: =4,所以，所求双曲线方程是：
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