资源描述
一维线性谐振子
一维线性谐振子
势能为
能量本征值
能量本征函数
递推公式
求导公式
2.1 利用Hermite多项式的递推公式,证明谐振子波函数满足下列递推关系:
并由此证明,在态下,,。
证:利用
,
2.2 利用Hermite多项式的求导公式,证明谐振子波函数满足下列关系:
证明:Hermite多项式的求导公式
, 所以
2.3 计算一维谐振子
, 对于基态, 。
2.4 一维谐振子处在基态,求:
(1)势能的平均值;
(2)动能的平均值;
(3)动量的几率分布函数。
(解法一):
(二 )(1)
(2)
或
(3)
动量几率分布函数为
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解:
几率密度
令 ,得
由的表达式可知,时,。显然不是最大几率的位置。
可见 是所求几率最大的位置。
2.6:试证明是线性谐振子的波函数,并求此波函数对应的能量。
证:线性谐振子的S-方程为
①
把代入上式,有
把代入①式左边,得
只有当时,左边 = 右边,即 。
,
是线性谐振子的波函数,其对应的能量为。
2.7: 时,处于谐振子势中的一粒子波函数波函数
其中、为常数,,且厄密多项式是归一的,即:
区别
(1)写出表示式;
(2)在该态下粒子能量的测值及相对几率;
(3)时,,求及随时间的变化。
解:(1)方法一 把写成谐振子本征函数的叠加
方法二。 把按谐振子本征函数展开
所以:
(2)可测得的能量为 , 。
测得二者的相对几率为
(2) 因、都是偶宇称,所以是偶宇称,。
且不随时间变化。
2.8 在时,一个线性谐振子处于下列归一化的波函数所描写的状态 ,
式中是线性谐振子的第n个本征函数。
(1)试求的数值;
(2)写出在时刻的波函数;
(3)在时谐振子能量的平均值是多少?秒时是多少?
解:(1),解得。
(2)。
(3)。
由于谐振子的哈密顿量不显含时间,所以能量是守恒量,其平均值不随时间变化,因而任何时刻谐振子的能量平均值都是
2.9 设t=0时,粒子的状态为
求此时粒子的平均动量和平均动能。
解:
可见,动量的可能值为
动能的可能值为
对应的几率应为
或。
上述的A为归一化常数,可由归一化条件,得
∴
∴ 动量的平均值为
2.10 .在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为,如果粒子的状态由波函数
描写,A为归一化常数,求粒子的几率分布和能量的平均值。
解:先把归一化,由归一化条件,
,
∴
一维无限深势阱中运动的粒子,能量的本征函数和本征值为
将按一维无限深势阱中粒子能量的本征函数展开,
∴
所以动量的几率分布函数为
2.11 .在势阱宽度为的一维无限深势阱中运动的粒子,如果粒子的状态由波函数
描写,求粒子能量的可能值和相应的几率。
解:一维无限深势阱中运动的粒子,能量的本征函数和本征值为
方法一:用三角函数把化为若干正弦函数的叠加
可见 ,,能量的可能值;
,, 能量的可能值 ;
方法二:把按能量的本征函数展开
由三角函数的正交性
得,,能量的可能值;
,, 能量的可能值 ;
2.12 一维运动粒子的状态是
其中,求:(1)粒子动量的几率分布函数;
(2)粒子的平均动量。
解:(1)先求归一化常数,由
∴
将按自由粒子动量的本征函数展开,
[ 应用公式: ]
动量几率分布函数为
(2)
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