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一维线性谐振子.doc

上传人:精**** 文档编号:4750716 上传时间:2024-10-11 格式:DOC 页数:18 大小:754KB
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一维线性谐振子 一维线性谐振子 势能为 能量本征值 能量本征函数 递推公式 求导公式 2.1 利用Hermite多项式的递推公式,证明谐振子波函数满足下列递推关系: 并由此证明,在态下,,。 证:利用 , 2.2 利用Hermite多项式的求导公式,证明谐振子波函数满足下列关系: 证明:Hermite多项式的求导公式 , 所以 2.3 计算一维谐振子 , 对于基态, 。 2.4 一维谐振子处在基态,求: (1)势能的平均值; (2)动能的平均值; (3)动量的几率分布函数。 (解法一): (二 )(1) (2) 或 (3) 动量几率分布函数为 2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解: 几率密度 令 ,得 由的表达式可知,时,。显然不是最大几率的位置。 可见 是所求几率最大的位置。 2.6:试证明是线性谐振子的波函数,并求此波函数对应的能量。 证:线性谐振子的S-方程为 ① 把代入上式,有 把代入①式左边,得 只有当时,左边 = 右边,即 。 , 是线性谐振子的波函数,其对应的能量为。 2.7: 时,处于谐振子势中的一粒子波函数波函数 其中、为常数,,且厄密多项式是归一的,即: 区别 (1)写出表示式; (2)在该态下粒子能量的测值及相对几率; (3)时,,求及随时间的变化。 解:(1)方法一 把写成谐振子本征函数的叠加 方法二。 把按谐振子本征函数展开 所以: (2)可测得的能量为 , 。 测得二者的相对几率为 (2) 因、都是偶宇称,所以是偶宇称,。 且不随时间变化。 2.8 在时,一个线性谐振子处于下列归一化的波函数所描写的状态 , 式中是线性谐振子的第n个本征函数。 (1)试求的数值; (2)写出在时刻的波函数; (3)在时谐振子能量的平均值是多少?秒时是多少? 解:(1),解得。 (2)。 (3)。 由于谐振子的哈密顿量不显含时间,所以能量是守恒量,其平均值不随时间变化,因而任何时刻谐振子的能量平均值都是 2.9 设t=0时,粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能。 解: 可见,动量的可能值为 动能的可能值为 对应的几率应为 或。 上述的A为归一化常数,可由归一化条件,得 ∴ ∴ 动量的平均值为 2.10 .在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为,如果粒子的状态由波函数 描写,A为归一化常数,求粒子的几率分布和能量的平均值。 解:先把归一化,由归一化条件, , ∴ 一维无限深势阱中运动的粒子,能量的本征函数和本征值为 将按一维无限深势阱中粒子能量的本征函数展开, ∴ 所以动量的几率分布函数为 2.11 .在势阱宽度为的一维无限深势阱中运动的粒子,如果粒子的状态由波函数 描写,求粒子能量的可能值和相应的几率。 解:一维无限深势阱中运动的粒子,能量的本征函数和本征值为 方法一:用三角函数把化为若干正弦函数的叠加 可见 ,,能量的可能值; ,, 能量的可能值 ; 方法二:把按能量的本征函数展开 由三角函数的正交性 得,,能量的可能值; ,, 能量的可能值 ; 2.12 一维运动粒子的状态是 其中,求:(1)粒子动量的几率分布函数; (2)粒子的平均动量。 解:(1)先求归一化常数,由 ∴ 将按自由粒子动量的本征函数展开, [ 应用公式: ] 动量几率分布函数为 (2) 18
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