一维线性谐振子.doc

一维线性谐振子

一维线性谐振子
势能为
能量本征值
能量本征函数

递推公式
求导公式

2.1 利用Hermite多项式的递推公式，证明谐振子波函数满足下列递推关系：
并由此证明，在态下，，。
证：利用

，

2.2 利用Hermite多项式的求导公式，证明谐振子波函数满足下列关系：
证明：Hermite多项式的求导公式
， 所以

2.3 计算一维谐振子

， 对于基态， 。
2.4 一维谐振子处在基态，求
(1)势能的平均值；
(2)动能的平均值；
(3)动量的几率分布函数。
（解法一）：

（二 ）（1）

(2)

或
(3)

动量几率分布函数为

2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：
几率密度

令 ，得

由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。

可见 是所求几率最大的位置。

2.6：试证明是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。
证：线性谐振子的S-方程为
①
把代入上式，有

把代入①式左边，得

只有当时，左边 = 右边，即 。
，
是线性谐振子的波函数，其对应的能量为。
2.7： 时，处于谐振子势中的一粒子波函数波函数

其中、为常数，，且厄密多项式是归一的，即：
区别
（1）写出表示式；
（2）在该态下粒子能量的测值及相对几率；
（3）时，，求及随时间的变化。
解：（1）方法一 把写成谐振子本征函数的叠加

方法二。 把按谐振子本征函数展开

所以：
（2）可测得的能量为 ， 。
测得二者的相对几率为
（2） 因、都是偶宇称，所以是偶宇称，。
且不随时间变化。

2.8 在时，一个线性谐振子处于下列归一化的波函数所描写的状态 ，
式中是线性谐振子的第n个本征函数。
（1）试求的数值；
（2）写出在时刻的波函数；
（3）在时谐振子能量的平均值是多少？秒时是多少？
解：（1），解得。
（2）。
（3）。
由于谐振子的哈密顿量不显含时间，所以能量是守恒量，其平均值不随时间变化，因而任何时刻谐振子的能量平均值都是
2.9 设t=0时，粒子的状态为

求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：

可见，动量的可能值为
动能的可能值为
对应的几率应为

或。
上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得

∴
∴ 动量的平均值为

2.10 .在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数
描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：先把归一化，由归一化条件，

，
∴

一维无限深势阱中运动的粒子，能量的本征函数和本征值为

将按一维无限深势阱中粒子能量的本征函数展开，

∴

所以动量的几率分布函数为

2.11 .在势阱宽度为的一维无限深势阱中运动的粒子，如果粒子的状态由波函数
描写，求粒子能量的可能值和相应的几率。
解：一维无限深势阱中运动的粒子，能量的本征函数和本征值为

方法一：用三角函数把化为若干正弦函数的叠加

可见 ，，能量的可能值；
，， 能量的可能值 ；
方法二：把按能量的本征函数展开

由三角函数的正交性
得，，能量的可能值；
，， 能量的可能值 ；
2.12 一维运动粒子的状态是

其中，求：(1)粒子动量的几率分布函数；
(2)粒子的平均动量。
解：(1)先求归一化常数，由

∴

将按自由粒子动量的本征函数展开，

[ 应用公式： ]
动量几率分布函数为

(2)

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