高等工程力学样本.doc

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一、 已知函数f=a(x4 -y4), 试检查它能否作为应力函数? 若能, 试求出应力分量( 不计体力) , 并求出如图所示矩形薄板边界上的面力。

解: 按逆解法
1、 将f=a(x4-y4)代入相容方程, 可知其是满足的。因此, 它有可能作为应力函数。
　2、 则, 应力分量:

3、 由边界形状和应力分量反推出边界上的面力:
在主要边界上:

在次要边界上:

二、 如图所示, 矩形截面长柱体( 长度 h 远大于深度 2b) , 宽度为1, 远小于深度和长度, 在顶部受集中力F和力矩 M=Fb/2 作用, 体力不计。试用如下应力函数:
求解: 应力分量;

2、 求应力分量
　已知了应力函数, 考虑用逆解求解此平面应力问题。
( 1) 考察所假设的应力函数是否满足相容方程

经验证, 它满足相容方程。
( 2) 由应力函数求应力分量

( 3) 考察边界条件, 并求选定系数
在主要边界 x=±b 上

可得

在次要边界y=0上, 只给出了面力的主失量和主矩, 应用圣维南原理, 用三个积分边界条件代替:
即为:
由此得:
代入得:

三、 如图所示有压隧洞, 内压为q1=100kPa, 外压为q2=50kPa, 内外半径分别为r=3m和R=6m, 泊松比。求极径处的三个主应力

解: 根据轴对称平面应变问题即坐标系下的控制方程, 可得, 该隧洞中应力分量为

故, 主应力分别为
; ;
四、 如图所示单自由度体系, 质量块m沿竖直方向自由振动。已知k=100m, 写出其运动方程, 并计算自振频率。(20分)

解: 质量块在竖直方向运动时, 系统刚度为K=
以质量块为研究对象, 分析其受力, 利用动量定理, 可得质量块运动的控制方程为

其自振频率
则, 该单自由度系统自振频率为
五、 如图所示体系, 已知地面光滑无摩擦, 且k=100m写出其自由振动方程, 并计算自振频率和振型。(20分)

解: 运动方程为

自振频率及振型为下列特征值问题的解

其中: ; ; X为振型
则, 自振频率可由 及k=100m得

一阶频率, 相应振型由下列方程求解:

解得
二阶频率, 相应振型由下列方程求解:

解得
故, 该MDOF体系自振频率为, 相应振型为;