23简单的轴对称图形件.pptx

3 简单的轴对称图形第1课时1.1.了解了解线段垂直平分线线段垂直平分线及角的平分线及角的平分线的性质的性质和判定和判定.2.2.会应用线段垂直平分线及角的平分线的性质和判定会应用线段垂直平分线及角的平分线的性质和判定解决问题解决问题.不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角两个相等的角.你有什么办法？你有什么办法？AOBC对折后再打开纸片对折后再打开纸片 ，看看折痕，看看折痕与这个角有何关系？与这个角有何关系？对折对折【探究探究】画线段画线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线l，在，在l上取任意点上取任意点P P，量量一量点一量点P P到到A A与与B B的距离，你有什么发现？再取几个点试试的距离，你有什么发现？再取几个点试试.你能说明理由吗？你能说明理由吗？结论：结论：线段垂直平分线上的点到这条线段线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等两个端点的距离相等反过来反过来,若若AP=BPAP=BP，则，则P P在线段在线段ABAB的垂直平的垂直平分线上分线上.结论：结论：到一条线段两个端点距离相等的点，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.线段的垂直平分线可以看成是到线段两端点距离相等线段的垂直平分线可以看成是到线段两端点距离相等的所有点的集合的所有点的集合.1.1.如图，如图，MNMN是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线,下列说法正确的有：下列说法正确的有：.ABMN,AD=DBABMN,AD=DB，MD=DNMD=DN，ABAB是是MNMN的垂直平分线的垂直平分线.A AB BM MN ND D【练一练练一练】2.2.下列说法：下列说法：若直线若直线PEPE是线段是线段ABAB的垂直平分线，则的垂直平分线，则EA=EBEA=EB，PA=PBPA=PB；若若PA=PBPA=PB，EA=EBEA=EB，则直线，则直线PEPE垂直平分垂直平分线段线段ABAB；若若PA=PBPA=PB，则点，则点P P必是线段必是线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上的点；的点；若若EA=EBEA=EB，则过点，则过点E E的直线垂直平分线段的直线垂直平分线段ABAB其其中正确的有（）中正确的有（）A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个C C 问题思考：问题思考：既然轴对称图形的对称轴是任何一对既然轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对对应点所连线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对称轴如何来作呢？称轴如何来作呢？只要我们找到一对对应点，只要我们找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形分线，就可以得到这两个图形的对称轴了的对称轴了【思考思考】如何作出线段的垂直平分线？如何作出线段的垂直平分线？由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可 【基本作图基本作图】作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线.已知：线段已知：线段ABAB，求作：线段求作：线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线.A AB BC CD D作法：作法：（2 2）作直线）作直线CD.CD.CDCD即为所求即为所求.结论：结论：对于轴对称图形，只要对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴就得到此图形的对称轴.（1 1）分别以点）分别以点A A，B B为圆心，为圆心，以大于以大于 AB AB的长为半径作弧，两的长为半径作弧，两弧交于弧交于C C，D D两点；两点；1.1.下图中的五角星有几条对称轴？作出下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴这些对称轴 A AB B作法：作法：(1)(1)找出五角星的一对找出五角星的一对对应点对应点A A和和B B，连接，连接ABAB(2)(2)作出线段作出线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线n n则则n n就是这个五角星的一条对称轴就是这个五角星的一条对称轴 n n用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五五条条对称轴对称轴【跟踪训练跟踪训练】2.2.如图，如图，ABCABC中，边中，边ABAB，BCBC的垂的垂直平分线交于点直平分线交于点P.P.（1 1）求证：）求证：PA=PB=PC.PA=PB=PC.（2 2）点）点P P是否也在边是否也在边ACAC的垂直平分的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？线上呢？由此你能得出什么结论？A AP PC CB B结论：结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等点到三角形三个顶点的距离相等.猜想猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.将将AOBAOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？折痕，你能得出什么结论？【探究探究】【验验证证】已已知知：OCOC平平分分AOBAOB，点点P P在在OCOC上上，PDOAPDOA于于D D，PEOBPEOB于于E E，求证求证:PD=PE.:PD=PE.P PA AO OB BC CE ED D证明证明:因为因为 C C平分平分,P,P是是OCOC上一点（已知）上一点（已知）所以所以D DP=BP=BP P（角平分线定义）（角平分线定义）因为因为PDOA,PEOB PDOA,PEOB（已知）（已知）所以所以ODP=OEP=90ODP=OEP=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在OPDOPD和和OPEOPE中中 DOP=BOP DOP=BOP（已证）（已证）ODP=OEP ODP=OEP（已证）（已证）OP=OPOP=OP（已知）（已知）所以所以 OPDOPE(AAS)OPDOPE(AAS)所以所以PDPDPEPE（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.用符号语言表示为：用符号语言表示为：因为因为1=21=2 PD OA PD OA，PE OBPE OB所以所以PD=PE.PD=PE.P PA AO OB BC CE ED D1 12 2角的平分线的性质角的平分线的性质 如图，要在如图，要在s s区建一个贸易市场，使它到铁路和区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，公路距离相等，离公路与铁路交叉处离公路与铁路交叉处500 m500 m，这个贸，这个贸易市场应建在何处？（比例尺为易市场应建在何处？（比例尺为1 12000020000）s s【跟踪训练跟踪训练】DCs【解析解析】作夹角的角平分线作夹角的角平分线OCOC，截取，截取OD=2.5cm,DOD=2.5cm,D即为即为所求所求.O 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？否一定在这个角的平分线上呢？角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.因为因为QDOAQDOA，QEOBQEOB，QDQDQEQE所以点所以点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上用数学语言表示为：用数学语言表示为：【结论结论】(1)(1)因为因为1=2,DCAC,DEAB1=2,DCAC,DEAB，所以所以_._.(_).(_).(2)(2)因为因为DCAC,DEAB,DC=DE,DCAC,DEAB,DC=DE,所以所以_(_).(_).ACDEB121=21=2DC=DEDC=DE角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等【跟踪训练跟踪训练】1.1.（临沂临沂中考）正方形中考）正方形ABCDABCD边长为边长为a a，点点E E，F F分别是对角线分别是对角线BDBD上的两点，过点上的两点，过点E E，F F分别作分别作ADAD，ABAB的平行线，如图所示，的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于则图中阴影部分的面积之和等于 【解析解析】运用轴对称、转化的思想，阴运用轴对称、转化的思想，阴影部分面积等于正方形面积的一半，为影部分面积等于正方形面积的一半，为 .答案：答案：2.2.直线表示三条相互交叉的公路直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物现要建一个货物中转站中转站,要求它到三条公路的距离相等要求它到三条公路的距离相等,则可供选择则可供选择的地址有的地址有:():()A.A.一处一处 B.B.两处两处 C.C.三处三处 D.D.四处四处【解析解析】选选D.D.由于没有限制在何处选址由于没有限制在何处选址,故要求的故要求的地址共有四处地址共有四处,在各自夹角的平分线上，即：在各自夹角的平分线上，即：A,B,C,DA,B,C,D各一处各一处.A AD DC CB B3.3.（宁德（宁德中考）如图，已知中考）如图，已知ADAD是是ABCABC的角平分线，的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使在不添加任何辅助线的前提下，要使AEDAFDAEDAFD，需，需添加一个条件是：添加一个条件是：_，并给予证明，并给予证明.BAEFCD【解析解析】解法一：解法一：添加条件：添加条件：AEAEAF.AF.在在AEDAED与与AFDAFD中，中，因为因为AEAEAFAF，EADEADFADFAD，ADADADAD，所以所以AEDAFDAEDAFD（SASSAS）.解法二：解法二：添加条件：添加条件：EDAEDAFDA.FDA.在在AEDAED与与AFDAFD中，中，因为因为EADEADFADFAD，ADADADAD，EDAEDAFDAFDA，所以所以AEDAFDAEDAFD（ASAASA）.(答案不唯一答案不唯一)4.4.有有A A，B B，C C三个村庄，现准备要建一所学校，要三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置置.A AB BC C【提示提示】学校在连接任意学校在连接任意两点的两条线段的垂直平两点的两条线段的垂直平分线的交点处分线的交点处.5.5.如图，如图，A A，B B是路边两个新建小区，要在公路边增设是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？公共汽车站应建在什么地方？【提示提示】连接连接ABAB，作，作ABAB的垂直平分线，则与公路的交点的垂直平分线，则与公路的交点即是要建的公共汽车站即是要建的公共汽车站.6.6.如图，若如图，若AC=12AC=12，BC=7BC=7，ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于E E，交，交ACAC于于D D，求，求BCDBCD的周长的周长.D DC CB BE EA A【解析解析】因为因为EDED是线段是线段ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，所以所以因为因为 BCDBCD的周长的周长=BD+DC+BC,=BD+DC+BC,所以所以BCDBCD的周长的周长=BD=ADBD=AD，AD+DC+BCAD+DC+BCAC+BCAC+BC12+7=19.12+7=19.7.7.如图，如果如图，如果ACDACD的周长为的周长为18cm18cm，ABCABC的周长为的周长为28cm28cm，DEDE是是BCBC的垂直平分线的垂直平分线,根据这些条件，你可以根据这些条件，你可以求出哪条线段的长求出哪条线段的长?（1 1）ACDACD的周长的周长AD AD CDCDACAC18cm18cm；（2 2）ABCABC的周长的周长ABABACACBCBC28cm28cm；（3 3）由）由DEDE是是BCBC的垂直平分线得：的垂直平分线得：BDBDCDCD；所以；所以ADADCDCDADADBDBDAB.AB.（4 4）由（）由（2 2）（）（1 1）得）得BCBC10cm.10cm.【解析解析】通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：3.3.角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等4.4.角平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.1.1.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等2.2.线段垂直平分线线段垂直平分线的判定：的判定：到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上.在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.康托尔