有理参数曲线的C-1分段根式弧角重新参数化算法研究_顾特.pdf

第 22卷 第 2期2023年 2月Vol.22 No.2Feb.2023软 件 导 刊Software Guide有理参数曲线的C1分段根式弧角重新参数化算法研究顾特（广西民族大学 人工智能学院，广西 南宁530006）摘要：曲线和曲面的参数化与重新参数化是计算机辅助几何设计研究中的基本问题。针对一类角速度函数在单位区间上存在零点的有理曲线参数表示，研究其近似弧角重新参数化，通过分段根式变换复合分段Mbius变换并结合C1连续的弧角新参数化算法，提出一种基于C1分段根式变换的重新参数化算法。实验表明，该算法能极大提升有理参数表示的角速度均匀度。关键词：有理曲线参数表示；近似弧角重新参数化；C1分段根式变换DOI：10.11907/rjdk.221239开 放 科 学（资 源 服 务）标 识 码（OSID）：中图分类号：TP301.6 文献标识码：A文章编号：1672-7800（2023）002-0100-08Research on C1 Piecewise Radical Arc Angle Re-parameterization Algorithm for Rational Parametric CurvesGU Te（School of Artificial Intelligence，Guangxi University for Nationalities，Nanning 530006，China）Abstract：Parameterization and re-parameterization of curves and surfaces is a basic problem in computer-aided geometric design.The approximate arc angle re-parameterization is studied for a class of rational curve parameter representation of angular velocity function with zero on unit interval.Based on the piecewise radical transformation and the piecewise Mbius transformation combined with the C1 arc angle new parameterization algorithm，a re-parameterization algorithm based on the C1 piecewise radical transformation was proposed.Experiments show that this algorithm can greatly improve the angular velocity uniformity represented by the rational parameters.Key Words：rational parameter representation；approximate arc angle re-parameterization；C1 piecewise radical transformation0 引 言曲线曲面的参数表示常被应用于计算机图形学与计算机辅助几何设计领域，其优点为表达方便、易于显示。对于参数曲线而言，有些参数具有几何意义，主要包括弧长参数、弦长参数和弧角参数等。其中，曲线的弧长参数能够均匀划分曲线的长度，在实际生活中有广泛应用1-4；弧角参数则能更好地反映曲线在各个位置上曲率的变化。尽管所体现的性质有所不同，但是在研究弧长和弧角参数的过程中所采用的思想有很多相似之处。在几何设计和造型中，有理参数表示具有简单、直观、易于实现的优点，因此研究有理弧长参数和有理弧角参数具有重要意义。关于有理弧长参数，Gil等5证明了任意平面曲线都具有弧长参数，但是这些参数表达式不一定是有理的；Farouki等6证明了在平面曲线中，只有直线具有有理弧长参数化；Salkkalis等7证明了在Rn空间中，仅有直线具有有理弧长参数。因此，求得一般曲线的有理弧长参数表示几乎是不可能的。于是研究者们转而寻找一般曲线的有理近似弧长参数。例如，Farouki8提出一种当次数不变的情况下，基于Mbius参数变换计算B线条的最优参数化方法；Costantini等9提出用一种分段的Mbius变换近似弧长参数化变换，并且证明了分段区间越小分段越多，得到的参数变换越接近于弧长参数变换；Liang等10提出一种C1连续的分段有理在参数化算法，该算法是基于实验结果实现的。收稿日期：2022-03-06基金项目：广西科技计划项目（GUIKE-AD18126010）作者简介：顾特（1993-），男，广西民族大学人工智能学院硕士研究生，研究方向为高性能计算。第 2 期顾特：有理参数曲线的C1分段根式弧角重新参数化算法研究关于有理弧角参数，最早由Patterson等11提出一种曲率参数，该参数是由参数曲线的弧长参数和曲率公式推导得到的。利用曲率参数作图能将更多的点集中在曲率更大的地方，从而反映曲线在各个位置的弯曲程度。与弧长参数表示相似，一般来说曲率参数没有解析表达式，因此对一般曲线无法精确求出其曲率参数表示。为此，Patterson等给出了一种数值近似曲率参数化的算法，但该算法高度依赖于作图点的数目，如果作图点数目发生改变，则必须重新计算其曲率参数化，因而效率较低。此后，Yang等12-16提出一套曲线均匀弧角参数化理论，该理论首先定义了一个角速度均匀度函数，用衡量曲线的某种参数表示接近弧角参数表示的程度，同时指出如果一条参数曲线某一参数表达式的角速度是均匀的（也就是角速度函数等于不为0的常数），那么随着参数变化曲线的弯曲程度也是均匀的，这也就是标准弧角参数，其与曲率参数在作图时有着相同的特性。同样，弧角参数也难以求得有理的解析表达式。因此，该理论提出了计算曲线有理近似弧角参数表示的多种算法，其主要思想是通过分段的Mbius变换近似非有理的弧角参数变换。此后，刘振华等17根据曲线均匀弧角参数化理论设计出软件包ImUp+，这个软件包可以对原来曲线参数进行优化而得到新的参数，利用新参数绘制的曲线比原来的曲线更加光滑。然而，如果给出的参数角速度函数含零点，这些重新参数化的算法无法很好地均匀化零点附近的角速度，这也是为什么ImUp+17要求处理的参数角速度函数不含有零点。为了完善曲线均匀弧角参数化理论，优化角速度函数含有零点参数表达式的角速度均匀度，本文针对角速度包含零点的参数曲线，考虑其 C1连续的根式近似弧角参数化。通过引入C1连续性的约束计算得到角速度不包含零点的C1连续参数表示，然后使用文献 16 中C1连续的优化弧角重新参数化算法，对已经得到的参数表示进行有理的重新参数化，以得到曲线的近似弧角参数表示。计算实例表明本文方法可以在C1连续性的约束条件下有效解决角速度包含零点的弧角重新参数化问题。1 研究背景本章阐述关于角速度均匀的变量用于衡量近似弧角参数接近弧角参数的程度，给出分段Mbius变换的定义，其将在 2.1 节求取曲线角速度函数不含零点的参数以及2.2节优化角速度均匀度时被用到。对平面曲线的某一参数表示为：p=p(x(t)，y(t)（1）其角速度函数为：p(t)=x(t)y(t)-x(t)y(t)2 x(t)2+y(t)2（2）定义其角速度均匀度为15：up=11+2p2p=2p012p(t)dt（3）其中：p=01p(t)dt，p2=01(p(t)-p)2dt（4）设t=r(s)为 0，1 上的单调变换，将p与r复合可以得到原曲线的一个新的参数表示p r，该过程称为重新参数化，可以证明重新参数化后的角速度函数为15：p r(s)=p(r(s)r(s)（5）其角速度均匀度为：p r(s)=p(r(s)r(s)（6）定义 113 若T=t0，.，ti，.，tN，S=s0，.，si，.，sN，=1，.，i，.，N，其 中ti-1 ti，si-1 si，t0=s0=0，tN=sN=1，0 i 0。式（10）是一个微分方程，通过求解该方程，即可得到想要的变换(z)。另一方面，参数表示的角速度函数可能有多个零点，而式（10）所得到的结果只针对其中某个零点，为了能够处理每一个零点，考虑(z)为分段变换。通过调整式（10）解的形式，可以使得(z)在 ti-1012023 年软 件 导 刊，ti+上保持连续，从而p (z)在 ti-，ti+上连续，但是(z)在区间端点ti-和ti+由于左右极限不连续，p (z)将出现跳跃间断点。为了使得变换后角速度函数在0，1上连续，再对z做分段Mbius变换mc，使得变换后p mc(s)在0，1连续。定理1 设p为曲线的一个参数表示，p的角速度函数在(0，1)仅有N个零点t1，.，ti，.，tN，i为零点ti的重数，那么参数表达式p mc的角速度函数在(0，1)上连续且不含零点，其中为分段根式变换，表示为：(z)=i(z)z ti-，ti+z，其他 （11）其中：i(z)=-(-iz+iti)1i+1+ti，z t1-，ti(iz-iti)1i+1+ti，z ti，ti+（12）此处，0 0，而p (z)=p(z)(z)，当t ti，p(t)0，因此对除zi=-1(ti)以外的点，p (z)0。现 在 考 虑zi=-1(ti)的 情 况，当t ti-，ti+时，p(t)可以表示为：p(t)=|t-ti|i(t)，(t)0（17）则：p (zi)=p(zi)(zi)=|-diz+diti|ii+1di|-diz+diti|-ii+1i+1(ti)=di(ti)i+1 0（18）综上可知，p (z)在(0，1)上不含零点。以下证明p mc(s)在(0，1)上连续且不含零点，首先证 明p mc(s)不 含 零 点。由 于mi(s)=(1-i)i(1-i)s?+(1-s?)i2 0，故p mc=p (mc)mc 0。下 证p mc(s)连 续：由 于p mc=p(mc)(mc)mc，而和mc分段点相同（即ti-和ti+），且在分段内是连续的，因此p mc在除端点ti-和ti+外连续。下面考虑p mc在端点ti-的连续性：lims (ti-)+(z(s)mc(s)=i(-i(ti-)+iti)-ii+1i+1 1-2i2i=1i+11-2i2i（19）lims (ti-)-(z(s)mc(s)=1 2i-11-2i-1=2i-11-2i-1因为2i=12i-11-2i-1(i+1)+1，所以：lims (ti-d)-(z(s)mc(s)=lims (ti-d)+(z(s)mc(s)=(z(si)mc(si)（20）故p mc在端点ti-处连续，同理可证p mc在端点ti+处也连续，因此p mc在(0，1)上没有零点且连续。利用定理 1中的变换对于角速度函数含有零点的参 102第 2 期顾特：有理参数曲线的C1分段根式弧角重新参数化算法研究数表示重新参数化后，可以得到角速度函数不含零点且连续的参数表示，这一过程称为去零点。2.2重新参数化后的角速度均匀度优化2.1节中去零点的过程并未对参数表示的角速度均匀度进行优化，以下将改进文献 16 中的变换，对定理 1中得到的参数表示p*=p mc进行重新参数化，继续对角速度均匀度进行优化，从而得到原参数曲线的近似弧角参数化。定理216 若p为曲线的参数表达式，p在 0，1 上C1连续，mo是由序列S，R，确定的分段Mbius变换，其中S、R表示为：S=sj：p(sj)=0 sj=0 sj=1，sj-1 up，且p mo在 0，1 上连续。定理2要求p在 0，1 上C1连续，而p*仅在分段内满足C1连续的条件，在分段点ti-和ti+处则为C0连续。若要使用定理2对p*进行优化的重新参数化，则需对连续条件进行弱化。定理2中选取分段点的目的是将p拆分为单调的分段，虽然p*在分段点处不连续，但仍可以根据其左右导数的符号确定是否将该分段点加入S中。即：若lims (ti-)+p*(s)lims (ti-)-p*(s)0，则 将ti-并 入S；若lims (ti+)+p*(s)lims (ti+)-p*(s)0成立，则将ti+并入S。在定理2中式（21）用于确认分段点，保证分段点内部角速度函数单调性一致，式（22）是求得基于式（21）的分段Mbius变换最优的。在保证分段内角速度函数单调性一致的条件下，分段数越多，定理2给出的分段Mbius变换能更好地近似弧角参数变换。文献 16 还给出了一种加细划分的算法，对式（21）给出的分段做进一步划分，这种划分方式是基于式（23）对分段 si-1，si进行求解：p*(si-si-1)is-si-1si-si-1+(1-i)(1-s-si-1si-si-1)-2p*(1-2i)=0（23）将得到的新解并入S得到新的分段S1，令S=S1，重复定理2的过程就能得到分段数更多的分段Mbius变换，反复执行这一过程就能得到近似弧角参数变换m*。由于p*在分段点处不连续，若要使用式（23）进行加细划分，也需要对连续条件进行弱化，令：F(s)=p*(si-si-1)is-si-1si-si-1+(1-i)(1-s-si-1si-si-1)-2p*(1-2i)（24）若lims (ti-)+F(s)lims (ti-)-F(s)0则ti+并 入S；若lims (ti+)+F(s)lims (ti+)-F(s)0成立，则将ti+并入S。2.3基于分段根式变换的近似弧角参数变换m*可 与mc复 合 为 一 分 段 Mbius 变 换mf，即mf=mc m*。最后得到*=mf，即为C1连续的近似弧角参数变换。定 理 3 设m1为 分 段 Mbius 变 换，其 参 数 序 列 为T1，S1，1；m2为相容的分段 Mbius 变换，其参数序列为S2，R2，2，变换m3=m1 m2，那么m3也是分段 Mbius 变换且由T3，R3，3确定，其中：T1=t10，t11，.，t1n，S1=s10，s11，.，s1n，1=11，12，.，1nS2=s20，s21，.，s2m，R2=r20，r21，.，r1m，2=21，22，.，2ms10=s20=r10=r20=0，s1n=s2n=r1m=r2m=1T3=s3 k：t3 k=t1 i t3 k=m-11 i(s2 j)，s1 i-1 s2 j s1 i+1，t3 k t3 k+1，k=0.m+n+1 R3=r3 k：r3 k=r2 j r3 k=m2 j(s1 i)，s2 j-1 s1 i s2 j+1，r3 k r3 k+1，k=0.m+n+13=31，32，.，3 m+n+1（25）当 t3 k-1，t3 k t1 i-1，t1 i，r3 k-1，r3 k r2 j-1，r2 j时：3 k=(2s2 j-1+2s2 j-2s1 i-1-2s1 i)t3 k+(-t1 i-1-t1 i)s2 j+2s1 i-1t1 i-s2 j-1t1 i-t1 i-1(s2 j-1-2s1 i)2 j+(s1 i-2s2 j+s1 i-1)t3 k+(t1 i-1+t1 i)s2 j-t1 i-1s1 i-s1 i-1t1 i)1 i-(s2 j+s2 j-1-2s1 i)2 j-s2 j+s1 i-1)(t3 k-t1 i)/(2s2 j-1+2s2 j-2s1 i-1-2s1 i)t3 k+(-2t1 i-1+2t3 k-1-2t1 i)s2 j+(-2t3 k-1+4t1 i)s1 i-1-2s2 j-1t1 i+(2s2 j-1-2s1 i)t3 k-1-2t1 i-1(s2 j-1-2s1 i-1)2 j+(s1 i-2s2 j+s1 i-1)t3 k+(2t1 i-1-2t3 k-1+2t1 i)s2 j+(t3 k-1-2t1 i)s1 i-1-(2t1 i-1-t3 k-1)s1 i)1 i-(t3 k+t3 k-1-2t1 i)(s2 j-1+s2 j-2s1 i-1)2 j-s2 j+s1 i-1)（26）1032023 年软 件 导 刊当 t3 k-1，t3 k t1 i-1，t1 i，r3 k-1，r3 k r2 j-1，r2 j时：m1=m1 i(s)=t1 i-1+(t1 i-t1 i-1)(1-1 i)(s-s1 i-1s1 i-s1 i-1)(1-1 i)(s-s1 i-1s1 i-s1 i-1)+(1-s-s1 i-1s1 i-s1 i-1)1 i（27）m2=m2 j(r)=s2 j-1+(s2 j-s2 j-1)(1-2 j)(r-r2 j-1r2 j-r2 j-1)(1-2 j)(r-r2 j-1r2 j-r2 j-1)+(1-r-r2 j-1r2 j-r2 j-1)2 j（28）从而有m3(r)=m1 m2=Kr+MNr+L，其中：K=-(1 i-1)(s2 j-1+s2 j-2s1 i-1)2 j-s2 j+2s1 i-1)t1 i-(s2 j-1+s2 j-2s1 i)2 j-s2 j+s1 i)1 it1 i （29）N=(2s1 i-2s2 j-1-2s2 j+2s1 i-1)2 j+2s2 j-s1 i-s1 i-1)1 i+(s2 j-1+s2 j-2s1 i-1)2 j-s2 j+s1 i-1（30）M，L为常数，那么：Kr+MNr+L=KN+M-KLNNr+L（31）又由于：m3(r)=t3 k-1+(t3 k-t3 k-1)(1-3 k)(r-r3 k-1r3 k-r3 k-1)(1-3 k)(r-r3 k-1r3 k-r3 k-1)+(1-r-r3 k-1r3 k-r3 k-1)3 k=3 kt3 k-1+3 kt3 k-t3 k23 k-1+A(23 k-1)r-3 kt3 k-1-3 kt3 k+t3 k-1（32）这里A，-3 kt3 k-1-3 kt3 k+t3 k-1为常数，故：KN=3 kt3 k-1+3 kt3 k-t3 k23 k-1（33）因此式（26）成立。3 示例与实验基于定理1-3，本节给出一个平面曲线的弧角重新参数化算法，用于对角速度包含零点的平面有理参数曲线进行C1分段近似弧角重新参数化。算法1为主算法，设计思路包括两部分，第一步是将角速度包含零点的平面有理参数曲线重新参数化，使得新参数表示的角速度函数不再包含零点且角速度函数保持C1连续性；第二步是对新参数表示计算C1连续的有理分段近似弧角参数变换（即算法2）。3.1算法算法 1 为C1分段近似弧角重新参数化算法：Arc_angle_reparam（p，）输入：p=(x(t)，y(t)，一条平面曲线的有理参数表示；，根式变换的作用半径。输出：p mf，p的具有C1连续角速度函数的近似弧角重新参数化。1.计算p的角速度函数p(t)=x(t)y(t)-x(t)y(t)2 x(t)2+y(t)2；2.计算p(t)的零点对0，1区间的分割Z=zi：p(zi)=0 zi=0 zi=1，zi-1 zi；3.计算p(t)各零点的重数U=i：i=mult(p，zi)；4.计算 0，1 区间的划分Z的加细划分，得到参数序列：T=ti：ti=0 ti=1 ti=zi ti=zi-ti=zi+，ti ti+1；5.取p 的参数序列S=si：si=ti；6.计 算mc的 参 数 序 列Sc=ri：ri=0 ri=1 ri=zi+ti=zi-，ri ri+1；7.根据U对p做形如式（11）的变换，得到p ；8.根据式（13）计算mc的参数c。9.利用算法2计算p mc的均匀变换m*，得到分段变换m*变换前后的参数序列：S*，R*，*。10.利用式（26）复合mc和m*得到mf。11.复合p 和mf得到p mf。算法2 为角速度均匀度优化算法：Optimize（p*，S，Z，n）输入：p*，分段参数表示p*的角速度函数；n，优化次数。输出：m*，对p*的C1连续的近似弧角参数变换。1.求解p*(s)=0得到参数序列S；2.求解p(t)=0得到参数序列Z；3.将p*的极值点插入集合S，得到S的分割S1；4.利用S1和式（21）计算第一次优化之后的参数序列R1。5.利用S1和R1根据式（22）求得第一次优化变换的参数序列1。6.令S=S1。7.利用Z和 S，R1，1根据式（23）得到分割So，令S1=So。8.将步骤2-5重复n-1次，得到 S，R，。构造m*=S，R，此即为所求优化弧角参数变换。3.2示例计算示例：曲线的参数表示p=(t，(t-12)3)。1.计算p的角速度函数为：p=|96t-48144t4-288t3+216t2-72t+25|2.计算p的零点集Z=12 及零点的重数U=1。3.计算p的角速度均值及角速度均匀度为：p=01p(t)dt=1.287，up=2p012p(t)dt=0.806；4.对p做分段变换(z)，令=0.1，对12-0.1，12+1做变 104第 2 期顾特：有理参数曲线的C1分段根式弧角重新参数化算法研究换1(z)，其他区域做恒等变换得到：(z)z 0 z 0.4-0.1z+0.05+12 0.4 z 0.50.1z-0.05+12 0.5 z 0.6 z 0.6 z 15.对p 做分段 Mbius 变换mc使得p mc连续，计算得参数序列为：mc=Tc，Sc，c，Tc=0，0.4，0.6，1，Sc=0，0.4，0.6，1，c=12，13，456.复合p 和mc并计算p mc得：p mc=|96t-48|144t4-288t3+216t2-72t+25|0 t 0.4 0.384|1.667t-0.333|2(t-0.2)2|44.804t2-18.114t+1.856|0.4 t 0.50.384|1.667t-0.333|2(t-0.2)2|44.804t2-18.114t+1.856|0.5 t 0.630.72|1.5t-1.7|0.823t+0.823|10-3(3t-3.4)2|-1.87+t5-5.667t4+12.844t3-14.557t2+8.249t|0.6 t 17.计算p mc的极值点为s=0.6，得到第一次优化变换前后的参数序列为：S*=0，0.6，1，R*=0，00.6p mc(s)ds，1=0，0.523，1，再由式（21）计算得到*=0.767，0.182。8.由式（23）和S*，R*，*计算得到对S*新的分割Snew，令S*=Snew再计算R*和*，重复2次以后得到一个新的加细划分S*及对应的R*和*：S*=0，0.191，0.265，0.290，0.400，0.467，0.600，0.866，0.970，1，R*=0，0.283，0.372，0.398，0.477，0.500，0.523，0.625，0.850，1，*=0.515，0.537，0.506，0.580，0.597，0.575，0.253，0.343，0.4569.设m*为由S*，R*，*构造的Mbius变换，则m*即为参数表示p mc的近似弧角参数变换。10.利用式（26）对m*，mc复合得到mf，再对和mf复合得到 mf，此即为曲线p的近似弧角参数变换：mf(s)=-13.475s4.353s-21.215 0 s 0.283 -4.872s-0.82117.701s-16.539 0.283 s 0.372-71.883s-0.414100.933s-140.178 0.372 s 0.3980.078s-3.93647.115s-32.205 0.398 s 0.477-0.340s-0.1703.433s-2.429+12 0.477 s 0.51.244s-0.62212.355s-3.569+12 0.5 s 0.5236.240s-2.4826.193s-1.935 0.523 s 0.6254.371s-0.5142.333s+1.569 0.625 s 0.850-0.921s-1.0290.404s-2.354 0.850 s 1此时计算p mf的角速度均匀度为：up mf=2p mf012p mf(s)ds=0.999图1左右图分别为原参数表示的角速度函数p(t)和再参数化后角速度函数p mf(s)对比p的函数图像。p的弧角参数变换为：v(s)=-3tan(-2arctan(34)s+arctan(34)3+12 s 12 3tan(2arctan(34)s-arctan(34)3+12 s 1；（34）图2左图为p的弧角参数变换函数v(s)，右图为p的近似弧角参数变换函数 mf(s)。Fig.1Angular velocity functions for parameters t and s图1参数t和s的角速度函数Fig.2Approximate arc-angle parameter transformation and arc-angle parameter transformation图2近似弧角参数变换和弧角参数变换 1052023 年软 件 导 刊图3左图为利用参数表达p(t)对t均匀取点后作图的效果，右图为利用p mf(s)参数表达对s均匀取点后作图的效果。3.3实验结果与分析本文算法已在Maple 19上进行了初步实现，并对文献18 中部分角速度函数有零点的有理参数曲线进行计算，对本文提出的C1分段近似弧角重新参数化算法的有效性进行了验证。实验环境配置如下：PC 处理器为 Intel（R）Core（TM）i7-9750H CPU 2.60GHz，内存为8GB RAM。实验结果如表1所示，其中up表示曲线的参数表示p的角速度均匀度，up mf表示对p再参数化后得到的参数表示p mf的角速度均匀度。对角速度包含零点的参数表示计算其C1近似弧角重新参数化的问题是在本文中首次得到解决的，因而没有可比较的文献。分段数和角速度函数的复杂性决定了本文算法的运算效率。从表1中可以看出，C1分段根式重新参数化使得角速度均匀度有了显著提高。然而，计算结果中的分段数通常都大于10，这是由于在第一次去除零点的根式变换中做了一次分段，并在后续优化角速度均匀度时又进行了加细分段，每一个零点会增加3个分段，优化角速度均匀度的过程一般需要迭代34次。而3.2节中所采用的方法对曲线角速度均匀性的改善有限，这是由于该方法对某些特殊的例子仍存在局限，需要对初始分段点进行一定优化，以得到更好的效果。4 结语本文介绍了一种C1分段根式近似弧角重新参数化的算法，在利用参数曲线绘图时，利用这一算法可有效提升带有拐点曲线的光滑度。由于该算法在重新参数化的过程中会大量用到角速度函数的积分，如何简化角速度的形式以提高算法的运行效率是未来需要考虑的一个问题。此外，本文算法思想也适用于一些弧长参数化的应用19-21，可以对非正则有理参数曲线计算其C1分段根式近似弧长重新参数化。参考文献：1 HU X Z，LIANG Y，LYU D，et al.Approximate merging of QG-Ball curves using GIMT and arc-length parameterizationJ.Journal of Graphics，2021，42（5）：790-800.胡先智，梁艳，吕丹，等.基于GIMT和弧长参数化的QG-Ball曲线近似合并 J.图学学报，2021，42（5）：790-800.2 LIU D P.Research on tooth contact analyses and parameter optimization of spiral bevel gearD.Shenyang：Shenyang University of Technology，2017.刘大鹏.弧齿锥齿轮齿面接触分析及参数优化研究 D.沈阳：沈阳工业大学，2017.3 HAO W D，LI J，YAN W，et al.Trajectory planning of robot based on nearly arc-length parameterize curve J.Computer 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reparameterization表1根式弧角重新参数化实验结果参数曲线C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10up0.4770.5850.5270.8060.2200.6350.5980.5960.3530.328p零点的最大重数1211111111p零点的个数1121111111up mf0.9990.9990.9990.9990.9920.9970.9930.9980.9950.996变换的分段数N1414209131316122414时间（sec）5.4771.79026.1720.93029.6828.1489.19718.3317.2267.986 106第 2 期顾特：有理参数曲线的C1分段根式弧角重新参数化算法研究composite re-parameterizationsJ.Computer Aided Geometric Design，2001，18（9）：875-897.10 LIANG X，ZHANG C，LI Z，et al.C1 continuous rational re-parameterization using monotonic parametric speed partition C/Hongkong：International Conference on Computer Aided Design&Computer Graphics，2005.11 PATTERSON R，BAJAJ C.Curvature adjusted parameterization of curves R.USA：Purdue University，Computer Science Technical Report，CSD-TR-907，1989.12 HONG H，WANG D，YANG J.A framework for improving uniformity of parameterizations of curvesJ.Science China Information Sciences，2013，56（10）：1-22.13 YANG J，WANG D，HONG H.Improving angular speed uniformity by optimal C0 piecewise re-parameterization 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