一类奇摄动时滞反应扩散方程的空间对照结构_甘清照.pdf

文章编号：1000-5641(2023)02-0034-14一类奇摄动时滞反应扩散方程的空间对照结构甘清照,倪明康（华东师范大学 数学科学学院,上海200241）摘要:研究了一类具有非线性反应项的奇摄动时滞反应扩散方程的 Neumann 边值问题.运用边界层函数法、空间对照结构理论和压缩映射原理构造该问题解的渐近展开式并证明了解的存在性.最后给出一个具体的例子说明了结果的有效性.关键词:时滞;反应扩散方程;奇摄动;角层;空间对照结构;渐近展开中图分类号:O175.26文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.1000-5641.2023.02.006Contrast structure in a singularly perturbed delay reaction-diffusion equationGAN Qingzhao,NI Mingkang（School of Mathematical Sciences,East China Normal University,Shanghai200241,China）Abstract:This paper considers a Neumann boundary value problem of a singularly perturbed delayreaction-diffusion equation with a nonlinear reactive term.By using the boundary layer function method,contrast structure theory,and contraction mapping principle,the asymptotic expansion of the solution isconstructed,and the existence of a uniformly valid solution is proven.Finally,an example is presented toshow the effectiveness of our result.Keywords:delay;reaction-diffusion equation;singular perturbation;triangle layer;contrast structure;asymptotic expansion 0 引言近年来,时滞反应扩散问题在生物种群、传染病、工程控制等领域中有着重要应用1-4.Wu5总结了这一领域的部分成果.Pao6-9运用上下解方法研究了这类问题解的存在性、稳定性和不变性等问题.此外,时滞反应扩散问题的行波解、周期解、平衡解和分支理论等也得到了较深入的研究10-18.另一方面,许多理论和方法被用来研究奇摄动时滞微分方程19-21.其中多尺度方法22和文献 23-24所提出的边界层函数理论是处理这类问题的有效方法.事实上,随着奇摄动理论和方法的快速发展,文献 25-27 对于这类时滞微分方程解的存在性及其渐近近似的研究取得了许多进展.Ni 等28考虑了一类非线性奇摄动时滞问题:2v(t)=K(v(t),v(t ),t,),0 t 0K T 2V上式中:为小参数,函数 和 充分光滑,为常数.文献 28 证明了该问题存在具 收稿日期:2021-05-19基金项目:国家自然科学基金(11471118);上海市科学技术委员会基金(18dz2271000)通信作者:倪明康,男,教授,研究方向为奇摄动理论和方法.E-mail: 第 2 期华东师范大学学报(自然科学版)No.22023 年 3 月Journal of East China Normal University(Natural Science)Mar.2023有转移层的解,并构造了解的一致渐近近似.然而,由于在研究过程中,常常遇到空间对照结构和角层等问题所造成的困难,目前针对奇摄动时滞反应扩散问题的讨论还很少29-32.特别地,Mo 等33处理过一类小时滞奇摄动反应扩散问题:|vt Bv=G(t,x,v(t,x),v(t ,x),0 0 RnB上式中:为小参数,为一致椭圆型算子.在某些情况下,方程中的小参数会出现在偏微分算子前,但是这类问题还没有得到充分研究.基于以上讨论,本文将利用奇摄动理论和压缩映射原理来研究一类非线性奇摄动时滞反应扩散方程:2(a22x2t)u=F(u,u(x,t ,),x,t,),(x,t).(1)=(x,t)|0 x 1,0 t T T 2a式(1)中:,为非零常数.式(1)满足如下初值条件和Neumann 边界条件:u(x,t,)=(x,t),(x,t),(2)ux(0,t,)=ux(1,t,)=0,0 t T.(3)=(x,t)|0 x 1,t 0式(2)中:.假设以下条件成立.F(u,u(x,t ,),x,t,)(x)x(0,0)=x(1,0)=0假设 1函数 和 充分光滑,且 .F(u,u(x,t ,),x,t,)(x)n+2n注 1当 和 为 阶光滑函数时,式(1)(3)解的 阶渐近展开可构造出来.F(u()0,(x,t ),x,t,0)=0()u()0=(x,t)()=(x,t)|0 x 1,0 t F(u(+)0,u()0(x,t ),x,t,0)=0(+)u(+)0=(x,t)(+)=(x,t)|0 x 1,0,(x,t)();Fu(u(+)0(x,t),u()0(x,t ),x,t,0)0,(x,t)(+).假设 4初值问题|?u=F(?u(x,),(x,),x,0,0),?v=F(?v(x,),?u(x,),x,0),?u(x,0)=(x,0),?v(x,0)=(x,)(4)0lim+?u(x,)=(x,0)lim+?v(x,)=(x,)的解对于 存在,且满足 ,.(x,0),(x,)注 2假设 4 意味着式(4)的初值点在其平衡点 的吸引域内.事实上,由假设 3 可知这个平衡点是渐近稳定的.第 2 期甘清照,等:一类奇摄动时滞反应扩散方程的空间对照结构35 1 渐近展开式的构造()u(x,t,)u()(x,t,),(x,t)()u(+)(x,t,),(x,t)(+)u()(x,t,)u(+)(x,t,)(x,t)|0 x 1,t=在矩形区域 上分别构造式(1)(3)的解 的渐近展开.从这个问题中分离出的左问题和右问题的解分别记为 和 .在本章的最后证明函数 和 在 处满足光滑缝接条件u()(x,)=u(+)(x,),(5)u()t(x,)=u(+)t(x,).(6)事实上,只要满足式(5),则式(6)成立.()首先,将式(1)(3)划分为在 上的左问题|2(a22u()x2u()t)=F(u(),u()(x,t ,),x,t,),u()(x,0,)=(x,0),u()x(0,t,)=u()x(1,t,)=0(7)(+)和在 上的右问题|2(a22u(+)x2u(+)t)=F(u(+),u(+)(x,t ,),x,t,),u(+)(x,)=u()(x,),u(+)x(0,t,)=u(+)x(1,t,)=0.(8)=t2,=x,=t 2,=1 x其次,为了详尽地展示问题在初始层、边界层、内部层和角层邻域内解的行为,引入伸长变量.在假设 14 成立的情况下,可以构造式(1)(3)的渐近解:u()=u()+L+()+()+H+H=+i=0i(u()i(x,t)+Li(x,)+()i(,t)+()i(,t)+Hi(,)+Hi(,),(9)u(+)=u(+)+R+(+)+(+)+P+P=+i=0i(u(+)i(x,t)+Ri(x,)+(+)i(,t)+(+)i(,t)+Pi(,)+Pi(,).(10)u()iLiRi()i()i(+)i(+)it=0,t=,x=0 x=1HiHiPiPi(0,0)(1,0)(0,)(1,)i 0式(9)(10)中:为正则部分的系数函数;,分别是在 和 附近的边界层函数;,分别表示顶点 ,附近的角边界层函数.对于 ,边界层函数需满足lim+Li(x,)=0,lim+Ri(x,)=0,lim+()i(,t)=0,lim+()i(,t)=0.(11)F(u()+L+()+()+H+H,(x,t ),x,t,)根据 Vasileva 边界层函数法,将式(9)(10)代入式(1),将右端函数 展开为类似于式(9)的类型:F()+LF+()F+()F+HF+HF,(12)其中36华东师范大学学报(自然科学版)2023 年F()=F(u(),x,t,),LF=(F(u()+L,x,t,)F(u(),x,t,)|t=2,()F=(F(u()+(),x,t,)F(u(),x,t,)|x=,HF=(F(u()+L+()+H,x,t,)F()LF()F)|t=2,x=,()FHF()FHFF(u(+)+R+(+)+(+)+P+P,u()+L+()+()+H+H,x,t,)和 的结构分别与 和 相同.类似地,将 改写为F(+)+RF+(+)F+(+)F+PF+PF,(13)其中F(+)=F(u(+),u(),x,t,),RF=(F(u(+)+R,u()+L,x,t,)F(+)|t=2+,(+)F=(F(u(+)+(+),u()+(),x,t,)F(+)|x=,PF=(F(u(+)+R+(+)+P,u()+L+()+H,x,t,)F(+)RF(+)F)|t=2+,x=,(+)FPF(+)FPF 和 类似于 和 .通过将式(12)(13)中各项展开成小参数 的幂级数,并比较正则级数和各边界层级数的 的同次幂系数,可以得到关于渐近展开中各项的方程.将式(9)和式(10)分别代入式(2)和式(3),可以得到定解条件:u()(x,0,)+L(x,0,)=(x,0),(14)()(,0,)+H(,0,)=0,(15)()(,0,)+H(,0,)=0,(16)u()x(0,t,)+1()(0,t,)=0,(17)u()x(1,t,)1()(0,t,)=0,Lx(0,)+1H(0,)=0,(18)Lx(1,)1H(0,)=0.(19)类似地,有 u(+)(x,)+R(x,)=u()(x,),(20)(+)(,)+P(,0,)=()(,),(21)(+)(,)+P(,0,)=()(,),(22)u(+)x(0,t,)+1(+)(0,t,)=0,(23)第 2 期甘清照,等:一类奇摄动时滞反应扩散方程的空间对照结构37 u(+)x(1,t,)1(+)(0,t,)=0,Rx(0,)+1P(0,)=0,(24)Rx(1,)1P(0,)=0.(25)1.1正则部分A 2(a22x2t)A u()=F()为了方便起见,引入算子 .容易得到方程 的零阶展开式:F(u()0(x,t),(x,t ),x,t,0)=0,F(u(+)0(x,t),u()0(x,t ),x,t,0)=0.u()0(x,t)=(x,t)u(+)0(x,t)=(x,t)i 1 u()i由假设 2 可知,上述方程存在解 和 .对于 ,正则项 是线性方程f()u(x,t)u()i=F()i(x,t)的解,其中f()u(x,t)=Fu(x,t),(x,t ),x,t,0),(x,t)(),f(+)u(x,t)=Fu(x,t),(x,t ),x,t,0),(x,t)(+),F()i(x,t)u()j(x,t)(j 0 ,以及R0=F(x,)+R0(x,),(x,0)+L0(x,),x,0),R0(x,0)=(x,)(x,),R0(x,+)=0,(29)0 .事实上,引入变量替换?u(x,)=(x,0)+L0(x,),?v(x,)=(x,)+R0(x,),可将式(28)(29)改写为式(4)的形式.根据假设 3 和假设 4,类似于文献 25,有如下指数估计:|L0(x,)|c exp(),|R0(x,)|c exp(),c,0其中 为常数.在不致混淆的情况下,本文中反复出现的字母 仅表示当时所需的足够小正常数.Li(x,)Ri(x,)(i 1)通过比较式(26)(27)中 的同次项,得到了确定系数函数 和 的问题:Li=d()u(x,)Li+li(x,),(30)Ri=d(+)u(x,)Ri+ri(x,),(31)Li(x,0)+u()i(x,0)=0,Li(x,+)=0,(32)Ri(x,0)+u(+)i(x,)=u()i(x,),Ri(x,+)=0,(33)其中d()u(x,)=Fu(x,0)+L0(x,),(x,),x,0,0),d(+)u(x,)=Fu(x,)+R0(x,),(x,0)+L0(x,),x,0).li(x,)Li(x,)(j i)ri(x,)Ri(x,)(j i)Li(x,)(j i)式(30)中:函 数 由 表 示.同 时,式(31)中 函 数 由 和 表示.例如,l1(x,)=(f()u(x,0)d()u(x,)u()1(x,0)+f()(x,0)d()(x,),r1(x,)=(f(+)u(x,)d(+)u(x,)u(+)1(x,)+f(+)(x,)u()1(x,0)(u()1(x,0)+L1(x,)d(+)(x,)+f(+)(x,)d(+)(x,),其中d()(x,)=F(x,0)+L0(x,),(x,),x,0,0),d(+)(x,)=Fu(x,)+R0(x,),(x,0)+L0(x,),x,0),d(+)(x,)=F(x,)+R0(x,),(x,0)+L0(x,),x,0).LiRi得到 和 的显式表达式Li(x,)=u()i(x,0)exp(0d()u(x,s)ds)+0li(x,s)exp(sd()u(x,s)ds)ds,Ri(x,)=(u()i(x,)u(+)i(x,)exp(0d(+)u(x,s)ds)+0ri(x,s)exp(sd(+)u(x,s)ds)ds.利用这些显示表达式有引理 1 成立.第 2 期甘清照,等:一类奇摄动时滞反应扩散方程的空间对照结构39Li(x,)Ri(x,)引理 1在假设 3 下,函数 和 满足指数估计|Li(x,)|Ci1exp(),|Ri(x,)|Ci2exp(),i 0,Ci1,Ci2,其中 是一系列正常数.()(,t,)A()=()F,()0将 的展开式代入方程 并结合式(11)、式(17)和式(23),得到确定 的问题:|a22()02=F(0,t)+()0(,t),(0,t ),0,t,0),a22(+)02=F(0,t)+(+)0(,t),(0,t )+()0(,t ),0,t,0),()0(0,t)=0,()0(+,t)=0,t()0=0()i(,t)(i 1)其中 视作参数,从而 .进一步,对于函数 可以得到以下拟线性边值问题:|a22()i2=f()u(0,t)()i+()i(,t),()i(0,t)=u()i1x(0,t),()i(+,t)=0.(34)()i(,t)()i(,t)(j i)(+)i(,t)(+)i(,t)(j 0,0.类似地|a22P02P0=F(0,)+R0(0,)+P0,(0,0)+L0(0,)+H0(,),0,0)F(0,)+R0(0,),(0,0)+L0(0,),0,0),P0(,0)=()0(,)(+)0(,)=0,P0(0,)=0,0,0.H0=0P0=0Hi(,)(i 1)容易得到上述问题的唯一解 和 .而对于函数 有拟线性问题:|a22Hi2Hi d()u(0,)Hi=hi(,),Hi(,0)=()i(,0),Hi(0,)=Li1x(0,).Pi(,)(i 1)同理,对 有|a22Pi2Pi d(+)u(0,)Pi=pi(,),Pi(,0)=()i(,)(+)i(,),Pi(0,)=Ri1x(0,).hi(,)Li()i(j i)Hi(j i)pi(,)LiHi()iRi(+)i(j i)Pi(j i)上式中:函数 由 ,和 表示.则由 ,和 表示.例如,h1(,)=(d()u(0,)f()u(0,0)()1(,0),p1(,)=(d(+)u(0,)f(+)u(0,)(+)1(,)+d(+)(0,)H1(,)+(d(+)(0,)f(+)(0,)()1(,0).HiPi(0,0)(0,)注意到 ,所满足问题的初始条件和 Neumann 边界条件在角点 和 是相容的,即有()i(0,0)=xLi1(0,0),(35)()i(0,)(+)i(0,)=xRi1(0,0).(36)()i(0,0)=u()i1x(0,0)Li1(x,0)=u()i1(x,0)(+)i(0,)=u(+)i1x(0,)()i(0,)=u()i1x(0,)Ri1(x,0)u()i1(x,)=u(+)i1(x,)其中式(35)由方程 和 得到.类似地,式(36)可由方程,和 得到.第 2 期甘清照,等:一类奇摄动时滞反应扩散方程的空间对照结构41Hi(,)Pi(,)容易求出函数 ,的显式表达式:Hi(,)=i(,)+00G(,0,0)exp(0d()u(0,s)ds)i(0,0)d0d0,Pi(,)=i(,)+00G(,0,0)exp(0d(+)u(0,s)ds)i(0,0)d0d0.上式中:i(,)=()i(,0)e+(Li1x(0,)Li1x(0,0)e)e,i(,)=()i(+)i)(,)e+(Ri1x(0,)Ri1x(0,0)e)e,i(,)=hi(,)+(a222 d()u(0,)i(,),i(,)=pi(,)+(a222 d(+)u(0,)i(,).Green 函数具有形式:G(,0,0)=12a(0)(exp(0)24a2(0)+exp(+0)24a2(0),且满足估计式G(,0,0)exp(0d()u(0,s)ds)c 0exp(|0|+0).cHPH(,)P(,)上式中:为常数,为某足够小常数.类似函数 和 ,可确定函数 和 .利用上述这个不等式不难证明以下结论.HiPi,引理 3对所有的 ,下列指数估计成立|Hi(,)|ciexp(+),|Pi(,)|?ciexp(+),|Hi(,)|ciexp(+),|Pi(,)|?ciexp(+),ci,?ci,ci,?ci其中 为一系列正常数.下面证明光滑缝接条件成立.u()t(x,)=u(+)t(x,)引理 4在式(8)中的初值条件下,等式 成立.证明从式(7)和式(8)中可以得到u()t(x,)=12F(u()(x,),(x,0),x,)+a22u()x2(x,),u(+)t(x,)=12F(u(+)(x,),(x,0),x,)+a22u(+)x2(x,).u()(x,)=u(+)(x,)由于等式 成立,则引理 4 成立.事实上,由各渐近级数的构造容易得出方程A(u()+L+()+()+H+H)|t=A(u()+L)|t=+O(n+1)=F(u()(x,)+()(x,),(x,0),x,)+F(u()(x,)+()(1 x,),(x,0),x,)F(u()(x,),(x,0),x,)+O(n+1)42华东师范大学学报(自然科学版)2023 年和A(u(+)+R+(+)+(+)+P+P)|t=A(u(+)+R)|t=+O(n+1)=F(u(+)(x,)+R(x,0,)+(+)(x,)+P(x,0,),u()(x,0,)+L(x,0,)+()(x,0,)+H(x,0,),x,)+F(u(+)(x,)+R(x,0,)+(+)(1 x,)+P(1 x,0,),u()(x,0,)+L(x,0,)+()(1 x,0,)+H(1 x,0,),x,)F(u(+)(x,)+R(x,0,),u()(x,0,)+L(x,0,),x,).从而根据式(14)(16)和式(20)(22),可得:R0(x,0)=0,R1(x,0)=0,Ri(x,0)+u(+)i2t(x,)=u()i2t(x,),i 2.2 主要结果下面讨论式(1)(3)解的存在性和余项估计.Un(x,t,)n+1首先,引入分段函数 表示式(9)(10)的前 项和Un=|U()ndef=ni=0i(u()i+Li+()i+()i+Hi+Hi),0 t ,U(+)ndef=ni=0i(u(+)i+Ri+(+)i+(+)i+Pi+Pi),t T.?U(x,t,)然后,引入函数 如下:U=U()n+n+1(u()n+1+Li+()n+1+()n+1+Hn+1+Hn+1),0 t ,U(+)n+n+1(u(+)n+1+Rn+1+(+)n+1+(+)n+1+Pn+1+Pn+1),t T,?U=|(x,t),t 0,U(x,t,),0 t ,U+(U()nU(+)n)(x,)+(U()ntU(+)nt)(x,)t e(t),0u(x,t,)u(x,t,)maxu Un=O(n+1)定理 1在假设 14 下,对于足够小的 ,式(1)(3)存在唯一解 .它在矩形区域 中的渐近展开为式(9)(10),且对 存在着余项估计 .w=u?U证明对于 ,可将式(1)改写为:Aw+fu(x,t,)w=(w,x,t,),(37)其中第 2 期甘清照,等:一类奇摄动时滞反应扩散方程的空间对照结构43fu(x,t,)=|Fu(x,t)+L0(x,t2),(x,t ),x,t,0),0 t ,Fu(x,t)+R0(x,t 2)+L0(x,2),(x,t )+L0(x,t 2),x,t,0),t T.同时(w,x,t,)=F(?U+w,?U+w,x,t,)+A?U+fu(x,t,)w,0 t T,?U(x,t,)+w(x,t,)=?U(x,t ,)+w(x,t ,)(w,x,t,)其中 .函数 有以下两条性质.(0,x,t,)=O(n+1)性质 1 .这是由于(0,x,t,)=F(?U,(x,t ),x,t,)+A?U,0 t ,F(?U,u()(x,t ,),x,t,)+A?U,t T,其中(0,x,t,)=O(n+1),0 t ,且有(0,x,t,)=F(U(+)n,U()n(x,t ,),x,t,)+AU(+)n+O(n+1)=O(n+1),00 00 0,(w,x,t,)性质 2如果 则存在常数 和 ,使得对任意 都对 成立着以下不等式:sup|(w2,x,t,)(w1,x,t,)|C2sup|w2 w1|.0 t ,这是由于对 有(w2,x,t,)(w1,x,t,)=Fu(?U+O(),(x,t ),x,t,)(w2 w1)+fu(x,t,)(w2 w1)=Fu(x,t)+L0(x,t2)+O(),(x,t ),x,t,)(w2 w1)+fu(x,t,)(w2 w1)=O()(w2 w1).0(x,t,)Z(w,x,t,)其中 为常数.根据 的性质,积分算子 也具有类似的性质.对上述积分方程构造逐次逼近序列w0=0,wi+1=Z(wi,x,t,),i=1,2,.Z(w,x,t,),w(x,t,)类似文献 35,由 的性质和压缩映射原理可得:对于充分小的 方程存在唯一解 .它拥有估计max|w(x,t,)|=O(n+1),maxu Un=O(n+1)从而得到余项估计式 .3 例子0 1,=1,T=2例 1考虑奇摄动微分边值问题()|2(a22x2t)u=(23+x22)u u(x,t ,),(x,t),u(x,t,)=1,(x,t),ux(0,t,)=ux(1,t,)=0,0 t T.(38)=0当 ,可得方程(38)的退化方程(23+x22)u u(x,t ,)=0.因此,(x,t)=(23+x22)1,0 t ,(x,t)=(23+x22)2,t T,(x,t),(x,t)其中 是假设 2 中方程的解.=t2=x=t 2=1 xu(x,t,)引入伸长变量 ,则由定理 1 可知方程(38)的解 存在且有零次近似u(x,t,)=+L0+()0+()0+H0+H0+O(),0 t ,+R0+(+)0+(+)0+P0+P0+O(),0,R0(x,)=(23+x22)1(23+x22)2+(1(23+x22)1)exp(23+x22),0.()0=()0=H0=H0=P0=P0=0u(x,t,)另外,由第 1 章知道 .因此,得到 的一致有效渐近近似:U0=|(23+x22)1+(1(23+x22)1)exp(23+x22),(x,t)(),(23+x22)1(23+x22)2+(1(23+x22)1)exp(23+x22)+(23+x22)2,(x,t)(+),如图 1 所示.2.52.01.51.00.500.20.40.60.81.000.51.01.52.0u xtu(x,t,)图 1 方程(38)解 的零次近似Fig.1 Zero order asymptotic solution of Equation(38)4 结论本文运用边界层函数法证明了这类非线性奇摄动时滞反应扩散初边值问题解的存在性,并构造了解的渐近展开式.这里只研究了有限时间的情形,无限时间情形下的问题是否存在稳态解且解的结构呈何种性态尚待考察.此外,期待运用奇摄动理论和方法来处理具有其他边值条件或者具有对流项的时滞反应扩散问题,相关应用将在未来的研究工作中探索.参考文献 HUANG C X,TAN Y X.Global behavior of a reaction-diffusion model with time delay and Dirichlet condition J.Journal ofDifferential Equations,2021,271:186-215.1 PAO C V.Global attractors of some predator-prey reaction-diffusion systems with density-dependent diffusion and time-delays J.Journal of Mathematical Analysis and Applications,2018,464(1):164-187.2 WU C F,YANG Y,WU Z H.Existence and uniqueness of forced waves in a delayed reaction-diffusion equation in a shiftingenvironment J.Nonlinear Analysis:Real World Applications,2021,57:103198.3 WU K N,REN M Z,LIU X Z.Exponential input-to-state stability of stochastic delay reactiondiffusion neural networks J.Neurocomputing,2020,412:399-405.4 WU J H.Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations M.New York:Springer,1996.5 PAO C V.Dynamics of nonlinear parabolic systems with time delays J.Journal of Mathematical Analysis and Applications,1996,6 46华东师范大学学报(自然科学版)2023 年198(3):751-779.PAO C V.Convergence of solutions of reactiondiffusion systems with time delays J.Nonlinear Analysis,2002,48(3):349-362.7 PAO C V.Global asymptotic stability of LotkaVolterra 3-species reactiondiffusion systems with time delays J.Journal of MathematicalAnalysis and Applications,2003,281:186-204.8 PAO C V.Periodic solutions of parabolic systems with time delays J.Journal of Mathematical Analysis and Applications,2000,251(1):251-263.9 HE L H,LIU A P.Existence and uniqueness of solutions for nonlinear impulsive partial differential equations with delay J.Nonlinear Analysis:Real World Applications,2010,11(2):952-958.10 LI S Y,MA Z E.Estimation of a stability region on uncertain large-scale nonlinear systems with time delay J.International Journalof Systems Science,2002,33(5):1187-1193.11 WANG C Y.Existence and stability of periodic solutions for parabolic systems with time delays J.Journal of Mathematical Analysisand Applications,2008,339(2):1354-1361.12 WANG C Y,WANG S.Oscillation of partial population model with diffusion and delay J.Applied Mathematics Letters,2009,22(12):1793-1797.13 WANG C Y,WANG S,YAN X P,et al.Oscillation of a class of partial functional population model J.Journal of MathematicalAnalysis and Applications,2010,368(1):32-42.14 WANG Z C,LI W T,RUAN S G.Travelling wave fronts in reaction-diffusion systems with spatio-temporal delays J.Journal ofDifferential Equations,2006,222(1):185-232.15 YAN X P,ZHANG C H.Direction of Hopf bifurcation in a delayed LotkaVolterra competition diffusion system J.Nonlinear Analysis:Real World Applications,2009,10:2758-2773.16 YAN Z M.Existence of solutions for nonlocal impulsive partial functional integro-differential equations via fractional operators J.Journal of Computational and Applied Mathematics,2011,235(8):2252-2262.17 YE R P.Existence of solutions for impulsive partial neutral functional differential equation with infinite delay J.Nonlinear Analysis,2010,73(1):155-162.18 AMIRALIYEVA I G,AMIRALIYEV G M.Uniform difference method for parameterized singularly perturbed delay differentialequations J.Numerical Algorithms,2009,52(4):509-521.19 LANGE C G,MIURA R M.Singular perturbation analysis of boundary-value problems for differential-difference equations():Smallshifts with rapid oscillations J.Siam Journal on Applied Mathematics,1994,54(1):273-283.20 TIAN H J.Asymptotic expansion for the solution of singularly perturbed delay differential equations J.Journal of MathematicalAnalysis and Applications,2003,281(2):678-696.21 KUEHN C.Multiple Time Scale Dynamics M.New York:Springer,2015.22 VASILEVA A B.An equation of neutral type with small lag J.Doklady Akademii Nauk SSSR,1962,145:495-497.23 VASILEVA A B,BUTUZOV V F.Asymptotic Methods in the Theory of Singular Perturbations M.Moscow,Russia:High School,1990.24 NI M K.On the internal layer for a singularly perturbed system of second-order delay differential equations J.DifferentialEquations,2013,49(8):941-954.25 倪明康,林武忠.具有内部层的奇摄动微分差分方程的渐近解 J.数学物理学报,2010,30(6):1413-1423.26 WANG A F,NI M K.The interior layer for a nonlinear singularly perturbed differential-difference equation J.Acta MathematicaScientia,2012,32(2):695-709.27 NI M K,NEFEDOV N N,LEVASHOVA N T.Asymptotics of the solution of a singularly perturbed second-order delay differentialequation J.Differential Equations,2020,56(3):290-303.28 MO J Q,FENG M C.The nonlinear singularly perturbed problems for reaction diffusion equations with time delay J.ActaMathematica Scientia,2001,21(2):254-258.29 MO J Q.A class of singularly perturbed differential-difference reaction diiffusion equations J.Advances in Mathematics,2009,38(2):227-232.30 MO J Q.Singul